Frequentiedichtheid.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
In een onderzoek naar obesitas (ernstig overgewicht) bij kinderen staan hieronder de gegevens van de gewichten van de kinderen van basisschool  Dik Trom uit de groepen 8.
   
gewicht (kg) 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75
aantal 2 3 8 6 10 12 15 8 4 4 1
   
De juf van groep 8 maakt daarvan het histogram hiernaast. Zoals je ziet heeft zij gebruik gemaakt van de klassenindeling: 
20-40, 40-50, 50-60, 60-65, 65-70, 70-75.

Ze is tevreden over haar klas, want de zwaardere kinderen lijken een veel kleiner aandeel te hebben dan de lichtere.
Maar daarbij heeft ze (expres????) een belangrijke wiskundige fout gemaakt.

Zie je al welke?

   
Met dezelfde gegevens zou je net zo goed het histogram hiernaast kunnen maken. Daar is gebruik gemaakt van de klassenindeling:
20-25, 25-30, 30-35, 35-45, 45-55, 55-75

En dit tweede histogram geeft een heel andere kijk op het gewicht van de kinderen. Hierin lijken de zwaardere kinderen een veel groter deel te hebben dan de lichtere kinderen. Met dezelfde gegevens!!!
Wat is er fout gegaan?
   
De klassen die zijn gebruikt in bovenstaande voorbeelden zijn niet even breed. Als je een klasse breder kiest is het logisch dat er ook een grotere frequentie bij hoort. Als je die frequentie dan als hoogte tekent is de oppervlakte veel groter dan bij een indeling in smallere klassen.
Omdat we willen dat bij een histogram de oppervlakte het aantal weergeeft moet je daar rekening mee houden.
Oppervlakte  =  breedte hoogte
Dus wil je dat geldt:   aantal = breedte hoogte  ofwel:   hoogte = aantal/breedte
Deze hoogte, die dus rekening houdt met de klassenbreedte, heet ook wel de frequentiedichtheid.
   
   
Als je de twee histogrammen hierboven opnieuw tekent, maar nu met de frequentiedichtheid in plaats van de frequentie, dan krijg je dit:
   

   
Nu zijn ze tenminste redelijk "vergelijkbaar". De oppervlaktes kloppen weer met de aantallen.
Zo is bijvoorbeeld de totale oppervlakte tussen 0 en 40 kg in beide figuren gelijk.
   
Een andere eenheid.
   
In plaats van de frequentiedichtheid per kg, zoals hierboven is gebruikt, kun je ook een andere eenheid nemen.
Als je bijvoorbeeld de frequentiedichtheid per  5 kg neemt, dan verandert de schaalverdeling van de y-as.
Die wordt dan  2,5 - 5 - 7,5 - 10  in plaats van  0,5 - 1 - 1,5 - 2.
De "frequentiedichtheid per 5 kg"  betekent eigenlijk:  "De hier getekende hoogte hoort bij een klasse van 5 kg breed"
Als je de klassen in gedachten verdeelt in staafjes met breedte 5 kg zou dat de volgende plaatjes opleveren:
   

   
In het rechterplaatje zie je bijvoorbeeld dat bij de klasse 50-60 een frequentiedichtheid per 5 kg van ongeveer 11,5 hoort.
Dat betekent dat bij beide staafjes van breedte 5 die frequentie hoort. Dus de hele klasse heeft frequentie 2 11,5 = 23.
Dat klopt inderdaad precies met de tabel helemaal boven aan deze les.

Da's dan weer mooi.....
   

   

discreet en continu

   

frequentiepolygoon

   
   
       
1. Het KNMI houdt nauwkeurig de gemiddelde temperaturen bij. Voor een aantal dagen in de winter gaf dat het histogram op het werkblad. Op de verticale as staat de frequentiedichtheid.

     
  a. Waarom is er een frequentiedichtheid gebruikt en niet gewoon een frequentie?
     
  b. Hoeveel dagen was de gemiddelde temperatuur onder nul?
     

36 dagen

     
2. Bij IKEA heeft men apparatuur om de duurzaamheid van stoelen te testen, zoals je ziet in het filmpje hiernaast
  Men buigt een stoel een groot aantal keer, en meet elke keer na hoeveel keer buigen de stoel kapot gaat.
Dat leverde de volgende tabel:
       
 
aantal buigingen 0 - 10000 10000 - 30000 30000 - 100000 100000 - 500000
frequentie 120 800 3400 6000
       
  Maak van deze tabel een histogram
       
3. Het histogram hiernaast geeft het aantal doelpunten dat op een bepaald tijdstip van de wedstrijd is gemaakt.
Men heeft daarbij alle competitiedoelpunten van het seizoen 2009-2010 meegeteld. Daarbij telde men doepunten die in de blessuretijd van een helft gemaakt werden mee alsof ze in de laatste minuut van die helft waren gemaakt.

De competitie bestond uit 18 teams die twee keer tegen elkaar speelden (een keer UIT en een keer THUIS).

Wat was het gemiddeld aantal doelpunten per wedstrijd in 2090-2010?

     

2,79

   
4. Een lugubere statisticus heeft 120 vliegtuigongelukken geanalyseerd. Van elke vlucht noteerde hij hoeveel minuten na aanvang van de vlucht het ongeluk plaatsvond. Elke vlucht duurde precies 150 minuten.
Dat leverde hem het volgende histogram op:
       
 
       
  a. De vijf staven stellen de vijf fasen van een vlucht voor: opstijgen, klim, vlucht, dalen, landen.
Maak een cirkeldiagram voor de tijdsduur van deze vijf fasen.
       
  b. Helaas is de laatste staaf niet meer af te lezen omdat er een stuk van het papier afgescheurd is.
Bereken hoe lang de laatste staaf moet zijn.
     

12

       
  Neem voor het vervolg van deze opgave aan dat de laatste staaf  lengte 12 heeft.
       
  c. Geef een benadering voor het gemiddelde aantal vluchtminuten vr een ongeluk.
     

77,75 min.

       
  d. Hoeveel procent van de vluchten kreeg tussen t = 20 en t = 80 een ongeluk? Geef een benadering.
     

26,7%

       
5. Het histogram hieronder komt uit de Volkskrant van 30 april 2011. 
       
 

       
  Het blijkt dat in 2007 al deze landen samen ongeveer 72 miljard kg dierlijk eiwit aten.
       
  a. Hoeveel procent daarvan werd door Arm Azi gegeten?
     

18%

  Volgens de prognose zal de hoeveelheid in 2030 sterk vermeerderd zijn. Dat komt enerzijds doordat de wereldbevolking groeit, en anderzijds doordat men meer kg dierlijk eiwit per hoofd van de bevolking zal gaan eten.
       
  b. Onderzoek met het histogram welk van deze beide effecten de grootste bijdrage zal leveren in de vergroting van de consumptie van dierlijke eiwitten.
       
6. In een grote stad is gekeken naar het aantal werknemers van de daar aanwezige bedrijven. Dat gaf de volgende tabel.
       
 
aantal werknemers aantal bedrijven
1 - 10
11 - 50
51 - 100
100 - 141
2
48
40
10
       
  Teken een histogram bij deze gegevens. Je mag ervan uit gaan dat de aantallen gelijkmatig over de klassen zijn verdeeld.
       
7. Een onderzoeker heeft het aantal glazen bier dan men in een week drinkt aan een groot aantal mensen gevraagd.
Zij maakte er het volgende histogram van.
       
 

       
  a. Hoeveel personen zijn ondervraagd?
     

840

  b. Wat is het gemiddeld aantal glazen dat men drinkt in een week?
     

23,8

   
8. Van een groot aantal gloeilampen heeft men bijgehouden hoeveel dagen de lampen brandden voordat ze stuk gingen. Dat gaf de volgende tabel:
       
 

aantal dagen

0 - < 10

10 - < 40

40 - < 70

70 - < 130

130 - < 160

160 - < 280

aantal lampen

20

60

70

100

40

120

       
  Teken hiervan een histogram met frequentiedichtheid.  Neem 10 dagen als eenheid van klassenbreedte
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)