Zelf een formule maken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We weten nu intussen hoe we van een formule de maxima en minima van de bijbehorende grafiek kunnen opsporen. Het grote probleem is echter dat die formules niet zo maar overal kant en klaar voor het oprapen liggen. Meestal krijg je één of ander probleem voorgeschoteld en is het de bedoeling dat je eerst zelf een formule opstelt die de situatie beschrijft.
Dat zelf maken van een formule kun je gelukkig oefenen.

Er zijn eigenlijk  twee methode om een formule te maken, en die zullen we stuk voor stuk bekijken.

Neem het volgende probleem:

Ik wil een konijnenhok achter in de tuin maken. Het hok wordt overal van hout, behalve aan de voorkant, daar komt gaas. De zijkanten van het hok moeten vierkant worden, en de inhoud moet gelijk worden aan  2 m3 . Het hout kost per m2  €1,20 en het gaas kost per m2 €0,60.
Maak een formule voor de materiaalkosten K van het hok, en bereken daarna algebraïsch bij welke afmetingen mijn hok zo goedkoop mogelijk wordt.

METHODE 1: met een getallenvoorbeeld.

Laten we zomaar eens een afmeting van het hok kiezen.
Bijvoorbeeld:  Stel dat de zijkant  0,8 bij 0,8 wordt.
Dan kunnen we uitrekenen hoeveel het hok gaat kosten.
Deel je papier in twee stukken en schrijf zo'n berekening op het linkerstuk:

Ga nu ernaast precies dezelfde berekening overnemen, maar elke keer als je het getal 0,8 gebruikt vervang je dat door een B (van breedte). Dat geeft het volgende:

Vooral die tweede regel,is erg lastig; je moet je goed afvragen waar die 3,125 van de linkerkant nou precies vandaan kwam. Hoe je die hebt berekend uit de 0,8.
Nou daar onderaan staat de gezochte formule voor de totale kosten.
Die kan nog wel vereenvoudigd worden, maar je hebt ten,minste al wel iets.
Vereenvoudigen geeft:  K = 2,4B2 + (4,8B + 2,4B + 1,2B)/ = 2,4B2 + 8,4B/ = 2,4B2 + 8,4/B
Nog even controleren:  B = 0,8 geeft inderdaad K = 12,036
METHODE 2. Direct opstellen.
Deze methode is misschien iets lastiger, maar wel een heel stuk sneller.
Het gaat in twee stappen:

STAP 1 
Geef alles wat onbekend is een letter. Wat wil je maximaal/minimaal?  Maak daar een formule van.
In dit geval:  stel de afmetingen L en B en H (lengte en breedte en hoogte)
Wat wil ik minimaal?  de kosten. Dus ik maak een formule voor de kosten:
•  links + rechts:  2 • B • H • 1,2 = 2,4BH
•  boven en onder:  2 • L • B • 1,2 = 2,4LB
•  achter:  L • H • 1,2 = 1,2LH
•  voor:   L • H • 0,60 = 0,6LH
Totaal:  K = 2,4BH + 2,4LB + 1,2LH + 0,6LH =  2,4BH + 2,4LB + 1,8LH
Klaar. 
STAP 2
Zorg ervoor dat er één letter in je formule komt te staan. Dat doe je door extra gegevens te zoeken en daar extra formules met jouw letters van te maken. Zo gauw je een extra "formule" hebt gevonden kun je die gebruiken om een letter uit de K-formule weg te krijgen. Dat gaat als volgt:

Het voorbeeld zal een boel duidelijk maken over dit principe:

Het valt op dat ik nog niet gebruikt heb dat  H = B.  Aha! Een extra verband!!
Er staat al H = ... dus ga ik elke H in mijn formule vervangen door B. 
Dat geeft  K = 2,4BB + 2,4LB + 1,8LB = 2,4B2 + 4,2LB
Zo. Dat is een letter minder.

Het valt me nu nog op dat ik nog niet heb gebruikt dat de inhoud 2 moet zijn, dus dat  L • B • B = 2.
Aha! Alweer een extra verband!!  Ik ga hier L = ... van maken:  L = 2/
Nu vervang ik elke L in mijn formule door  2/:  
dat geeft  K = 2,4B2 + 4,2 • 2/ • B = 2,4B2 + 8,4/B
En daar is de formule al.

Nu nog even minimaliseren.....
Dat is hopelijk intussen routinewerk:  voor minimale kosten moet gelden K' = 0
K = 2,4B2 + 8,4  • B-1  dus  K ' = 4,8B - 8,4 • B-2  =  4,8B - 8,4/
4,8B - 8,4/ = 0  ⇒  4,8B = 8,4/  ⇒  4,8B3 = 8,4  ⇒  B3 = 1,75  ⇒  B = 1,75(1/3) ≈ 1,21
Dan is H = B ≈ 1,21  en  L = 2/ ≈ 1,38
De kosten zijn dan  K = 2,4 • 1,212 + 8,4/1,21 €10,46
Héhé  ik ben eruit:  mijn hok wordt  1,21 ×1,21 × 1,38  en gaat € 10,46 kosten.
   
Bij de volgende opgaven wordt vaak een formule gegeven die je moet aantonen. In die gevallen moet je net doen alsof je de formule zelf moet afleiden. Je mag dus NIET een paar waarden controleren! Dat is voor een wiskundige geen bewijs dat een formule klopt.
       
  OPGAVEN
       
1. Weiland omheinen.  
  Een boer heeft een rol kippengaas van 50 meter lang. Hij wil ermee een stuk land omheinen dat aan een sloot ligt. Het omheinde stuk moet de vorm van een rechthoek krijgen, maar aan de slootkant hoeft geen gaas.

Hij wil graag weten hoe hij het grootste stuk land kan omheinen.

Los dat probleem voor de boer op.

       
  Een tweede boer heeft een sloot met een haakse bocht erin. Precies in die bocht wil hij aan de buitenkant een stuk land omheinen. Zie de figuur hiernaast. Hij wil dat mooi doen: zijn omheinde stuk krijgt een symmetrische L-vorm.
Ook deze boer heeft 50 meter gaas, en wil zoveel mogelijk land omheinen.

Los het probleem voor deze boer op.

2. Nietjes zijn maar rare dingen.
Al je ze goed bekijkt zijn er vele verschillende vormen in omloop. Hiernaast staan drie soorten nietjes die variëren van "hoog en smal"  tot "laag en breed". 
Zo'n nietje is een stukje afgeplat metaaldraad waarvan de twee zijkanten worden omgebogen over een hoek van 90º.
Als de totale lengte van dat draad gelijk is aan 20 mm, hoe moet dat dan omgebogen worden zodat de oppervlakte van het vooraanzicht van een nietje maximaal is? 

     
3. Je hebt een stuk karton van 40 bij 60 cm en gaat daar een doosje zonder deksel van vouwen. Dat doe je door er in de hoeken 4 vierkantjes uit te knippen zoals hiernaast getekend is. De stippellijnen worden vouwlijnen.

Wat is de grootste inhoud van een doosje dat je zo kunt maken?

       
  Natuurlijk is het mooier om een doosje met deksel te maken, zoals van de bouwplaat hiernaast. Nu moeten er zes vierkantjes uit worden gesneden.

Wat is nu de grootste inhoud die te halen is?

       
4. Iemand heeft een aantal houten blokken met afmetingen zoals in de bovenste figuur hiernaast . Hij lijmt een aantal (n) van zulke blokken op elkaar (zie onderste figuur) en krijgt zo één nieuw blok dat een inhoud heeft van 1000 cm3  (eventueel mag van het laatste blok een stuk afgezaagd worden, dus n hoeft niet geheel te zijn).
Voor de oppervlakte van dit nieuwe blok geldt dan:

  a. Toon dat aan.
     
  b. Bereken algebraïsch wat de minimale oppervlakte van het nieuwe blok is.
     

O ≈ 730 cm2

5. De leiding van een politieke partij wil met het oog op de komende verkiezingen reclame gaan maken door overal posters op te gaan hangen.
Voor de tekst die men kwijt wil is een oppervlakte van 1,4 m2 nodig.
De drukker van de posters vertelt verder dat aan de bovenkant en aan de onderkant een vrije ruimte van 10 cm nodig is, en aan beide zijkanten een vrije ruimte van 5 cm.

Stel dat de afmetingen van de tekst x bij y cm worden.
Dan wordt de oppervlakte van de poster:

   O = 11600 + 20x + 114000/x 

a. Toon dat aan.
b. Bij welke afmetingen zal de totale poster dan zo klein mogelijk zijn?  
     

x = 932/3

       
6. Een rijke sultan wil één van zijn bedienden belonen en doet hem het volgende voorstel. Hij zegt;
"Ik heb hier een plaat goud met een dikte van 12 cm. Jij mag op de bovenkant een vierkant aftekenen met zijde x kleiner dan 12. Uit de plaat zaag ik de balk waarvan dat vierkant het bovenvlak is. Daarna zaag ik van die balk weer een plakje af om er een kubus van te maken. Dat plakje mag jij hebben!"
       

       
  Welke afmetingen moet de bediende kiezen om zoveel mogelijk goud te krijgen?
     

x = 8

7. Een atletiekbaan bestaat eigenlijk altijd uit twee rechte stukken en twee halve cirkels, zoals hiernaast getekend. De omtrek van de baan is de lengte van één rondje en dat is 400 meter.
Het binnenterrein van de baan is het gekleurde rechthoekige deel hiernaast. Op dit binnenterrein moeten vaak andere sporten als hoogspringen, verspringen e.d. plaatsvinden.

  (Je schaamt je natuurlijk dood als je het niet wist, maar de oppervlakte van een cirkel is natuurlijk pr2 en de omtrek 2pr)
       
  a. Toon aan dat, als r de straal van de cirkeldelen is, de oppervlakte van het binnenterrein gelijk is aan :
 
O(r) = 400r - 2πr2
 
  b. Hoe moet men de afmetingen van de atletiekbaan kiezen om een zo groot mogelijk binnenterrein (qua oppervlakte) te hebben? Hoe groot wordt die oppervlakte?
       
8. Een cilindervormig erwtensoepblik heeft inhoud 1 liter.
Natuurlijk wil de fabrikant zijn blikken zo goedkoop mogelijk fabriceren. Dat betekent dat er zo min mogelijk materiaal voor gebruikt moet worden, dus dat de oppervlakte ervan zo klein mogelijk is.
Maar er moet wel een liter in!
Stel dat de straal van het bovenvlak gelijk is aan  r  (dm)
Dan is de totale oppervlakte O van het blik gelijk aan:  
O = 2/r + 2πr2  

 

a. Toon dat aan.
     
b. Bereken algebraïsch de afmetingen van het blik waarvoor de oppervlakte minimaal is.
r 5,42 en  h 10,84
 
 
SPECIAAL GEVAL:  OPTIMALISEREN bij GRAFIEKEN
Als het gaat om afstanden of oppervlakten bij grafieken waar een functievoorschrift van is gegeven, dan hoef je eigenlijk maar op één ding te letten:

De  y  van een punt op de grafiek vind je
door de x in de gegeven formule in te vullen

Als je dat logisch vindt, zelfs misschien eigenlijk een beetje domme opmerking, een dooddoener, een open deur, een vanzelfsprekendheid, ga dan vooral meteen verder naar de opgaven aan het eind.
Vertrouw je de zaak niet helemaal, lees dan de volgende twee voorbeelden nog even door.
voorbeeld 1.  De afstand tussen twee grafieken.
Hiernaast staan een gedeelte van de grafiek van f(x) = 2x3 - 3x2  en de lijn y = 2x getekend. Tussen beide grafieken zijn een aantal verbindingslijnstukken getekend. Bereken algebraïsch de lengte van het langst mogelijk verbindingslijnstuk tussen x = 0 en x = 2.

oplossing.
De lengte van zo'n lijnstuk is de y van de lijn 2x min de y van de grafiek.
Dus  L = 2x - (2x3 - 3x2 ) = 2x - 2x3 + 3x2
Afgeleide nulstellen:  2 - 6x2 + 6x = 0 
  x 1,264 (met de ABC formule. de tweede oplossing ligt niet tussen 0 en 2)
Daaruit volgt L
3,28

Voorbeeld 2. Een oppervlakte.
Hiernaast staat een gedeelte van de parabool y = 4x - x2 . Vanaf een punt P (xP tussen 0 en 4) wordt een loodlijn op de x-as neergelaten naar punt Q.
Wat is de maximale oppervlakte van driehoek OPQ?

oplossing.
De oppervlakte is  0,5 • basis • hoogte = 0,5 • OQ • PQ
OQ is gelijk aan x
PQ is gelijk aan y en dat is 4x - x2
Dat geeft  opp. = 0,5 • x • (4x - x2 ) = 2x2 - 0,5x3
Afgeleide nulstellen:  4x - 1,5x2 = 0  ⇒  x = 0  ∨  x = 12/3.
De tweede is de goede en geeft  oppervlakte ongeveer 3,241 (exact 175/54)

9. Naast de parabool  y = (x - 2)2 wordt een rechthoek getekend waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de x-as en de y-as, en waarvan de oorsprong een hoekpunt is. Het hoekpunt diagonaal tegenover de oorsprong ligt op de parabool. Zie de figuur hiernaast.

Bereken de maximale oppervlakte van zo'n rechthoek.

10. Gegeven zijn de parabolen  y = -4 - x2  en  y = 2x2 - 8x + 14.
Zie de figuur hiernaast

Bereken de minimale verticale afstand tussen deze twee parabolen.

11. Gegeven is de grafiek van y = √x tussen x = 0 en x = 9
Vanaf punt P(9,0) trek je een lijn naar een punt Q van de grafiek.
R is de projectie van Q op de x-as.

Bereken de maximale oppervlakte van driehoek PQR.

 

     
12. Gegeven is de functie  f(x) = 8x2 – 2x3  met x in  [0,4]
Zie de grafiek hiernaast.
Op de grafiek van  f  ligt een punt P met x-coördinaat p
Q is de projectie van P op de x-as en R is het punt (4,0)
Voor de oppervlakte van driehoek PQR geldt: 

O = p4 – 8p3 + 16p2
   
  a. Toon deze formule aan.
     
  b. Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van driehoek PQR.
       
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)