|
|||||
| 1. | a. | De oppervlakte is
O = L · B en die moet
maximaal. De omtrek is L + 2B en die is 50 L + 2B = 50 L = 50 - 2B Vul dat in in de oppervlakteformule: O = (50 - 2B) · B = 50B - 2B2 O ' = 50 - 4B = 0 B = 12,5 en dan is L = 20 - 2 · 12,5 = 25 Het land wordt 25 bij 12,5 en heeft dan oppervlakte 312,5 m2 |
|||
| b. | Kies de afmetingen x en
y als hiernaast. Dan is de oppervlakte O = xy + x2 + xy = 2xy + x2 De omtrek is 4x + 2y = 50 2x + y = 25 y = 25 - 2x invullen in de oppervlakteformule: |
|
|||
| O = 2x(25
- 2x) + x2 | O = 50x - 4x2 + x2 O = 50x - 3x2 O ' = 50 - 6x = 0 6x = 50 x = 81/3 en dan is y = 25 - 2x = 81/3 De korte zijden worden dus 81/3 en de langen 162/3 De oppervlakte wordt dan 2081/3. |
|||||
| 2. | Noem de hoogte h
en de breedte B. Dan is de oppervlakte O = h · B De totale lengte is 20, dus 2h + B = 20 Daaruit volgt B = 20 - 2h en dat vul je in in de oppervlakteformule: O = h (20 - 2h) = 20h - 2h2 O ' = 0 20 - 4h = 0 h = 5 Dan is B = 10 en O = 50 mm2 |
||||
| 3. | a. | Noem de zijden van de
vierkantjes die er worden uitgeknipt allemaal h Dan wordt de hoogte van het doosje h De breedte is dan 40 - 2h en de lengte is 60 - 2h De inhoud is I = l · b · h = (60 - 2h)(40 - 2h )h I = (2400 - 120h - 80h + 4h2) h I = (2400 - 200h + 4h2 )h I = 2400h - 200h2 + 4h3 I ' = 2400 - 400h + 12h2 2400 - 400h + 12h2 = 0 ABC-formule: h = (400 ±√(160000 - 115200))/24 = 25,48 of 7,85 Het eerste antwoord is onzin, dus blijft over h = 7,85 Dan is I = 8450,45 cm3 |
|||
| b. | Noem de zijden van de
vierkantjes die er worden uitgeknipt allemaal h Dan wordt de hoogte van het doosje h De breedte is dan 40 - 2h en de lengte is (60 - 3h)/2 = 30 - 1,5h De inhoud is I = l · b · h = (30 - 1,5h)(40 - 2h )h I = (1200 - 60h - 60h + 3h2) h I = (1200 - 120h + 3h2 )h I = 1200h - 120h2 + 3h3 I ' = 1200 - 240h + 9h2 1200 - 240h + 9h2 = 0 ABC-formule: h = (240 ±√(57600 - 43200))/18 = 62/3 of 20 Het tweede antwoord is onzin, dus blijft over h = 62/3 Dan is I = 35555/9 cm3 |
||||
| 4. | a. | Als er n
blokken op elkaar worden gelijmd is de hoogte 5n De inhoud is dan 5n · 5r · r = 1000 25nr2 = 1000 n = 400/r2 De oppervlakte: voor en achterkant 2 · 5r · 5n links en rechts: 2 · r · 5n boven en onder: 2 · 5r · r Samen: O = 50rn + 10rn + 10r2 = 60rn + 10r2 Vul nu in n = 400/r2 : O = 60r · 400/r2 + 10r2 O = 2400/r + 10r2 |
|||
| b. | O = 2400r
-1 + 10r2 O '= -2400r-2 + 20r = 0 vermenigvuldig met r2 : -2400 + 20r3 = 0 20r3 = 2400 r3 = 120 r = 1201/3 = 4,6723... Dan is O = 731,97 cm2 |
||||
| 5. | a. | De oppervlakte van de
hele poster is O = (x + 10)(y +
20) = xy + 20x + 10y + 200 Het tekstdeel is 1,4 m2 en dat is 11400 cm2 Dus moet gelden xy = 11400 y = 11400/x en dat kun je invullen in de formule voor O: O = x · 11400/x + 20x + 10 · 11400/x + 200 O = 11400 + 20x + 114000/x + 200 O = 11600 + 20x + 114000/x |
|||
| b. | O = 11600 + 20x
+ 114000 · x-1
O ' = 20 - 114000x-2 = 0 20 = 114000x-2 x-2 = 0,0001754 x = 75,5 Dan is y = 11400/x = 151,0 |
||||
| 6. | De hoogte van het
blauwe plakje is 12 - x De inhoud van het plakje is I = x · x · (12 - x) = x2 (12 - x) = 12x2 - x3 I ' = 24x - 3x2 = 0 x(24 - 3x) = 0 x = 0 ∨ x = 8 Het maximum is bij x = 8 |
||||
| 7. | a. | Noem de lente van het
rechthoekige terrein L en de breedte B. Dan is de oppervlakte O = L · B Maar B = 2r dus O = L · 2r De omtrek is 400, en dat is twee rechte stukken plus een hele cirkel: 2L + 2πr = 400 2L = 400 - 2πr L = 200 - πr en dat kun je invullen in O O = (200 - πr) · 2r = 400r - 2πr2 |
|||
| b. | O ' =
400 - 4πr = 0 400 = 4r r = 100/π Dan is B = 200/π en L = 200 - πr = 200 - π · 100/π = 100 |
||||
| 8. | a. | De oppervlakte
bestaat uit twee cirkels en een rechthoek. Noem de hoogte h, dan heeft de rechthoek afmetingen h en 2πr De oppervlakte is dan O = 2πr2 + 2πrh De inhoud is πr2 h = 1 (we rekenen in dm, en 1 liter is 1 dm3) h = 1/πr2 en dat kun je invullen in de O -formule: O = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr · 1/πr2 = 2πr2 + 2/r |
|||
| b. | O = 2πr2 +
2/r = 2πr2 +
2r-1 O ' = 4πr - 2r -2 = 0 vermenigvuldig met r2 : 4πr3 - 2 = 0 r3 = 2/4π = 1/2π r = (1/2π)1/3 = 0,5419 dm Dan is h = 1/πr2 = 1,0838 dm (overigen is O = 5,536 dm3) |
||||
| 9. | Als de rechterkant
van de rechthoek bij x = p zit, dan is de hoogte
f(p) = (p - 2)2 Oppervlakte is O = p • (p - 2)2 = p(p2 - 4p + 4) = p3 - 4p2 + 4p O ' = 3p2 - 8p + 4 = 0 ABC-formule geeft p = (8 ±√(64 - 48))/6 = 2 of 2/3 p = 2/3 geeft Omax = 32/27 |
||||
| 10. | De verticale afstand
tussen de parabolen is y1 - y2
= (2x2 - 8x + 14) - (-4 - x2)
= 3x2 - 8x + 18 Afgeleide is nul: 6x - 8 = 0 ⇒ x = 4/3 Dan is de afstand 122/3 |
||||
| 11. | Noem de x-coördinaat
van Q gelijk aan q PR = 9 - q QR = √q oppervlakte driehoek is 1/2 • PR • QR = 1/2 • (9 - q) • q = 41/2q - 1/2q2 afgeleide is nul: 41/2 - q = 0 ⇒ q = 41/2 Dan is O = 41/2q - 1/2q2 = 101/8 |
||||
| 12. | a. | QR = 4 - p PQ = 8p2 -2p3 O = 0,5 • QR • PQ = 1/2 • (4 - p) • ( 8p2 - 2p3) = 1/2(32p2 - 8p3 - 8p3 + 2p4) = 16p2 - 8p3 + p4 |
|||
| b. | O ' = 32p
- 24p2 + 4p3 = 0 4p • (8 - 6p + p2 ) = 0 p = 0 ∨ p2 - 6p + 8 = 0 p = 0 ∨ (p - 4)(p - 2) = 0 p = 0 ∨ p = 4 ∨ p = 2 p = 2 geeft maximale oppervlakte. O = 16p2 - 8p3 + p4 = 16 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
