h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde.
   
Omdat de orde van een differentiaalvergelijking de hoogste afgeleide is die er in voorkomt zullen deze differentiaalvergelijkingen er in het algemeen z uitzien:

y'' + p(x) y' + q(x) y + r(x) = 0

(Je kunt de cofficint van y'' altijd 1 maken, immers mocht er nog iets voor y'' staan, dan deel je alles daar eerst door).
Nou zijn vergelijkingen als hierboven voorlopig nog veel te moeilijk voor ons beginnende wiskundigen om op te lossen.

We bekijken in deze les alleen vergelijkingen waarvoor r(x) = 0  (dus de homogene vergelijkingen), en waarvoor bovendien de functies p(x) en q(x) constanten zijn.
Dat betekent dat de vergelijkingen die we gaan oplossen er z uitzien:

   

y''  + p y' + q y = 0

   
Voordat we verder gaan merken we eerst twee dingen op:
   
1. Als je gaat primitiveren dan krijg je altijd een primitieve op een constante c na. Die staat dan in de algemene oplossing en die kun je pas bepalen als je weet door welk punt de oplossingskromme moet gaan.
Maar bij tweede orde differentiaalvergelijkingen zul je tw keer moeten primitiveren (je hebt immers te maken met de tweede afgeleide!).
Dat betekent dat er tw constanten c1 en c2 in de algemene oplossing zullen staan......
   
2. Als je twee verschillende oplossingen y1 en y2 hebt gevonden, dan is een combinatie Y = A y1 + B y2  k weer een oplossing, waarbij A en B willekeurige constanten zijn.
Kijk maar naar het simpele bewijsje daarvan:
 
  Y'' + p Y' + q Y
   = (Ay1'' + By2'') + p (Ay1' + By2') + q (Ay1 + By2)
   = Ay1'' + By2'' + pAy1' + pBy2' + qA y1 + qBy2
   = (hergroeperen):  Ay1'' + pAy1' + qA y1 + By2'' + pBy2' + qBy2
   = A (y1'' + py1' + q y1) + B (y2'' + py2' + qy2)
= 0
Immers, omdat y1 en y2 beiden oplossingen zijn, zijn de delen tussen de haakjes beiden nul, dus het totaal ook. Dus voldoet Y k aan de differentiaalvergelijking.
     
Een slimme poging...
   
Omdat in n vergelijking de tweede afgeleide n de eerste afgeleide n de functie zelf samen nul moeten opleveren, zal dat misschien het handigst lukken als al die afgeleiden en de functie zelf zo veel mogelijk op elkaar lijken!!!!
En wat is de functie die het meest lijkt op al zijn afgeleiden........?.......  Juist!  dat is y = ex
Daarom gaan we proberen of misschien de functie  y = elx een  oplossing kan zijn (met l n of andere constante).
   

Stel dat  y = eλx   een oplossing is.....

   
Laten we die oplossing dan inpluggen in de vergelijking:

y' = λ eλx
y'' = λ2 eλx

Geeft:

λ2 eλx + p λ eλx + q eλx = 0
  eλx 2 + pλ + q) = 0
  λ2 + pλ + q = 0

Deze vergelijking heet de karakteristieke vergelijking van de differentiaalvergelijking.
En die vergelijking krijg je dus altijd als je
y
= eλx probeert.
     

y = eλx  geeft de karakteristieke vergelijking  λ2 + pλ + q = 0

   
Die karakteristieke vergelijking kun je uiteraard oplossen met de ABC-formule.
Maar daarbij zijn er drie mogelijkheden:
   
1. De karakteristieke vergelijking heeft twee rele oplossingen  λ1en λ2.
  Dat is zo als de discriminant groter dan nul is.
In dat geval hebben we twee oplossingen gevonden:  y1 = eλ1x en  y2 = eλ2x
We weten intussen dankzij de overwegingen bovenaan deze les dat een algemene oplossing dan een combinatie van die twee is.
 
 

De algemene oplossing is   y = A eλ1x + B eλ2x

   
2. De karakteristieke oplossing heeft n rele oplossing λ.
  Dat is zo als de discriminant nul is.
In dit geval vinden we maar n oplossing   y = eλx  en zou de algemene oplossing zijn y = A eλx
Maar er zijn tw constanten te bepalen, en dit is er maar eentje.

Waar halen we een tweede oplossing vandaan?

Het blijkt dat de functie  y = (Ax + B) eλx   k een oplossing is!
Wie een hekel heeft aan zinnen die beginnen met "Het blijkt..."  moet de verdieping hiernaast maar lezen. Daar staat in waarom dat zo is, en ook een beetje hoe je dat zelf zou kunnen verzinnen.
 
 
 

De algemene oplossing is y = (Ax + B) eλx

   
3. De karakteristieke vergelijking heeft twee complexe oplossingen.
  Dat is zo als de discriminant negatief is.
Complexe oplossingen komen altijd in koppeltjes voor, die elkaars geconjugeerde zijn. Dat betekent hier dat de oplossingen te schrijven zijn als a + bi  en  a - bi.
De algemene oplossing is dan   y = A e(a + bi)x + B e(a - bi)x .

Dat is niet zo mooi!
Voor een vergelijking met rele getallen vinden we ineens twee complexe oplossingen. LELIJK!
Door slim gebruik te maken van het feit dat een combinatie van deze twee oplossingen wr een oplossing is, kunnen we toch twee rele oplossingen vinden.

e
(a + bi)x = eax ebix = eax(cosbx + isinbx)
e(a - bi)x = eax e-bix = eax(cos(-bx) + isin(-bx)) = eax (cosbx - isinbx)

Als je deze twee optelt krijg je dus wr een oplossing:  eax 2cosbx
Als je ze aftrekt krijg je ook een oplossing:  eax 2sinbx

De algemene oplossing is als een combinatie van deze laatste twee te schrijven.
Stop de factor 2 in de constanten A en B en je krijgt:    y = eax (Asin bx + Bcosbx
   
 

De algemene oplossing is y = eax (Asin bx + Bcosbx)   

   
  OPGAVEN
   
1. Geef de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
       
  a. y''  - 2y' - 3y = 0

y = Ae3x +Be-x

d. 2y'' + 4y' + 2y = 0

y = (A + Bx)e-x

       
  b. y'' + 5y' - 6y = 0

y = Aex + Be-6x

e. 6y'' + 6y' = -3y

y = e-0,5x(Acos0,5x + Bsin0,5x)

       
  c. y''  - 6y' + 9y = 0

y = (A + Bx)e3x

f. y'' + 2y' = -5y
y = e-x(Acos2x + Bsin2x)
       
2. Geef de oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
       
  a. y''  - 8y' + 16y = 0   met  y(0) = 4 en  y' (0) = 2
     

y = (4 - 14x)e4x

  b. y''  + 5y'  = 14y  met  y(0) = -4  en  y' (0) = 10
     

y = -2e2x - 2e-7x

  c. y''  + 2y'  + 10y = 0  met  y(0) = 1  en  y' (0) = 5
   

y = e-x(cos3x + 2sin3x)

     
3. Voor de stroom  I  (in ampre; A) als functie van de tijd in een elektrisch circuit geldt:  I''  + 60I' + 500I = 0
Verder blijkt dat I(0) = 0  en  I'(0) =  40

Bereken de maximale stroom in het circuit.
   

Imax = 0,535A

     
4. Voor de uitwijking u (in cm)  van een voorwerp als functie van de tijd t (in sec) geldt de volgende vergelijking:
u'' + 4u' + 4u = 0  met  u(0) = 1  en  u'(0) = 3.

Schets de grafiek van  u(t).
   

u = (1 + t ) e2t

     
   

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)