© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y''  - 2y' - 3y = 0
karakteristieke vergelijking   λ2 - 2λ - 3 = 0
(λ - 3)(λ + 1) = 0
λ = 3  ∨   λ = -1
Algemene oplossing  y =  A • e3x  + B • e-x
       
  b. y'' + 5y' - 6y = 0
karakteristieke vergelijking   λ2 + 5λ - 6 = 0
(λ - 1)(λ + 6) = 0
λ = 1  ∨   λ = -6
Algemene oplossing   y = A • ex + B • e-6x
       
  c. y''  - 6y' + 9y = 0
karakteristieke vergelijking   λ2 - 6λ + 9 = 0
(λ - 3)2 = 0
λ = 3
Algemene oplossing  y = (Ax + B) • e3x
       
  d. 2y'' + 4y' + 2y = 0
y''  + 2y'  + y = 0
karakteristieke vergelijking:  λ2 + 2λ + 1 = 0
(λ + 1)2 = 0
λ = -1
Algemene oplossing  y = (Ax + B) • e-x    
       
  e. 6y'' + 6y' = -3y
6y''  + 6y'  + 3y = 0
y''  + y'  + 1/2y = 0
karakteristieke vergelijking   λ2 + λ + 1/2 = 0
λ2 + λ + 1/4 + 1/4 = 0
(λ + 1/2)2 = -1/4
λ + 1/2 = 1/2i   ∨  λ + 1/2 = -1/2i
λ = -1/2 + 1/2i   ∨    λ = -1/2 - 1/2i
Algemene oplossing   y = e-0,5x • (Asin1/2x + Bcos1/2x)
       
  f. y'' + 2y' = -5y
y'' + 2y' + 5y = 0
karakteristieke vergelijking  λ2 + 2λ + 5 = 0
λ2 + 2λ + 1 + 4 = 0
(λ + 1)2 = -4
λ + 1 = -2i   ∨    λ + 1 = 2i
λ = -1 - 2i   ∨    λ = -1 + 2i
Algemene oplossing:   y = e-x • (A • cos2x  + B • sin2x)
       
2. a. y''  - 8y' + 16y = 0   met  y(0) = 4 en  y' (0) = 2
karakteristieke vergelijking  λ2 - 8λ + 16 = 0
(λ - 4)2 = 0
λ = 4
Algemene oplossing  y = (A + Bx) • e4x 

y(0) = 4 geeft   4 = A • 1  dus  A = 4
y'(0) = 2  geeft   Be0 + (4 + B•0)e0 • 4 = 2  dus  B = -14
De oplossing is  y =  (4 - 14x) • e4x      
       
  b. y''  + 5y'  = 14y  met  y(0) = -4  en  y' (0) = 10
y''  + 5y'  - 14y = 0
karakteristieke vergelijking:   λ2 + 5λ - 14 = 0
(λ - 2)(λ + 7) = 0
λ = 2  ∨  λ = -7
Algemene oplossing  y = A • e2x + B • e-7x 

y(0) = -4  geeft   -4 = A + B  dus  A = -4 - B
y'(0) = 10  geeft   2A - 7B = 10
eerste invullen in de tweede:   -8 - 2B - 7B = 10  geeft  B = -2  en dan is  A = -2
De oplossing is  y =  -2e2x - 2e-7x   
       
  c. y''  + 2y'  + 10y = 0  met  y(0) = 1  en  y' (0) = 9
karakteristieke vergelijking   λ2 + 2λ + 10 = 0
λ2 + 2λ + 1 + 9 = 0
(λ + 1)2 = -9
λ + 1 = 3i  ∨   λ + 1 = -3i
λ = -1 + 3i  ∨   λ = -1 - 3i
Algemene oplossing   y = e-x • (Acos3x + Bsin3x)

y(0) = 1  geeft   1 = 1 • (A + 0)  dus  A = 1
y' =  -e-x(Acos3x + Bsin3x) + e-x(-3Asin3x + 3Bcos3x)
y'(0) = 5 geeft  5 = -1 • (1 + 0) + 1 • (0 + 3B)   dus  B = 2
De oplossing is  y = e-x(cos3x + 2sin3x)
       
3. I''  + 60I' + 500I = 0
karakteristieke vergelijking  λ2 + 60λ + 500 = 0
(λ + 10)(λ + 50) = 0
λ = -10   ∨    λ = -50
algemene oplossing  I = A • e-10t + B • e-50t

I(0) = 0  geeft  0 = A + B  dus  B = -A
I'(0) = 40  geeft  40 = -10A - 50B
eerste invullen in de tweede geeft  40 = 40A  dus  A = 1  dus  B = -1
De oplossing is  I(t) = e-10t - e-50t  

Voor het maximum is de afgeleide nul:   I'  = -10e-10t + 50e-50t = 0
10e-10t = 50e-50t
e40t  = 5
40t = ln5 = 1,609
t = 0,04
Dan is Imax = I(0,04) =  0,535  ampιre.
       
4. u'' + 4u' + 4u = 0  met  u(0) = 1  en  u'(0) = 3.
karakteristieke vergelijking:    λ2 + 4λ + 4 = 0
(λ + 2)2 = 0|
λ = -2
Algemene oplossing:   u = (A + Bt) • e-2t 

u(0) = 1 geeft   1 = (A + 0) • 1  dus  A = 1
u' =  Be-2t + (A + Bt) • -2e-2t
u'(0) = 3  geeft  3 = B + (1 + 0)• -2   dus  B = 5
De oplossing is  u(t) = (1 + 5t) • e-2t
       
 

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)