particuliere en homogene oplossingen


Eerste orde en eerste graad.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De "orde" van een differentiaalvergelijking is de hoogste afgeleide die erin voorkomt, en de "graad" is de hoogste macht van die hoogste afgeleide die erin staat. Een vergelijking van de eerste orde en de eerste graad zal er dus uitzien als:

^dy/_dx = f(x) · y + g(x)

Daarin zijn f en g willekeurige functies van x.
Soms is de graad niet helemaal duidelijk, bijvoorbeeld bij e^y^'. In die gevallen zeggen we dat de macht onbepaald is (of in dit geval oneindig).
Het oplossen van zo'n eerste-orde eerste-graad vergelijking gaat in drie stappen.

STAP 1: Probeer één oplossing te vinden.

Wat een stomme stap!
Als je een vergelijking moet oplossen kun je altijd wel als stap 1 zeggen "probeer een oplossing te vinden".
Dat is dan meteen de eerste en laatste stap!!!!!!

Het zit hem natuurlijk in dat woordje "één".......
Immers een differentiaalvergelijking heeft een hele serie oplossingskrommen, en het feit dat je er eentje kunt vinden wil nog niet zeggen dat je ze allemaal kunt vinden. Soms is eentje makkelijk.

Meestal vinden we zo'n enkele oplossing door.... te GOKKEN!
Maar wel een beetje verantwoord gokken graag.

Neem de volgende differentiaalvergelijking:

^dy/_dx = 2y + x - 1

Dat is er zo eentje als hierboven met

f(x) = 2 en
g(x) = x - 1. Een deel van het lijnelementenveld staat hiernaast getekend, met een paar oplossingskrommen erin. Het lijkt erop dat er een rechte lijn is die een oplossingskromme is.

Laten we eens gek doen, en dat gewoon proberen!

Stel dat y = ax + b een oplossingskromme is, dan is ^dy/_dx = a
Invullen in de differentiaalvergelijking geeft:

a = 2(ax + b) + x - 1
a = 2ax + 2b + x - 1
0 = x(2a + 1) + (2b - 1 - a)

Omdat dit voor elke x moet kloppen, mag dit kennelijk niet van x afhangen dus moet het getal bij de x nul zijn.
Dat geeft 2a + 1 = 0 ofwel a = -¹/₂

Maar ook het stuk (2b - 1 - a) moet nul worden, en dat geeft met a = -¹/₂ dat b = ¹/₄

GEVONDEN!

De lijn y = -¹/₂x + ¹/₄ is een oplossing van deze differentiaalvergelijking. Het is inderdaad de voorspelde lijn in de figuur hierboven.

Zo'n enkele oplossing die voldoet aan de differentiaalvergelijking noemen we vanaf nu een particuliere oplossing.
We zullen hem voortaan noteren als p(x).

Hij is soms niet makkelijk te vinden.......

OPGAVEN

Geef de orde en de graad van de volgende differentiaalvergelijkingen.

dy + (x²y - sinx)dx = 0

1^e orde, 1^e graad

(y''')³ - x²y''' = 2y(y'')⁴ - 4xy

3^e orde, 3^e graad

y' + x = (xy' - 2y' )^-2

1^e orde, 3^e graad

2^e orde, 1^e graad

2(y')² = 5 - 4sin(y''')

3^e orde, graad x

De volgende differentiaalvergelijkingen hebben een rechte lijn y = ax + b als oplossing.
Onderzoek welke lijn dat is.

^dy/_dx = y + 4x - 2

y = -4x - 2

^dy/_dx = 2x + 3y + 1

y = -²/₃x - ⁵/₉

^dy/_dx = ^{(y
- 4)}/_x

y = ax + 4

Onderzoek of de volgende differentiaalvergelijkingen een parabool y = ax² + bx + c als oplossing hebben.

^dy/_dx = 4 + 2y - 6x²

y = 3x² + 3x - ¹/₂

^dy/_dx = x²- y

y = x² - 2x + 2

^dy/_dx = ^{(6y - 2 + 3x)}/_x

y = ¹/₃x² -³/₅x

STAP 2: Los de homogene vergelijking op.

Voordat je dat kunt doen zul je toch eerst moeten weten wat de homogene vergelijking is......

Je herinnert je hopelijk nog wat de algemene vorm van een eerste orde-eerstegraads vergelijking is. 't Zou een schande zijn als je dat niet weet, want het staat bovenaan deze pagina.
De vergelijking was ^dy/_dx = f(x) · y + g(x)
Nou, bij de homogene vergelijking is g(x) = 0. Dus de homogene vergelijking is ^dy/_dx = f(x) · y

En die is op te lossen door de variabelen te scheiden:

Die is makkelijk te primitiveren: lny = F(x) + c₁ ofwel y = e^{F(x)+ c1}= e^F(x) • e^c¹ = c • e^F(x)
Dus als we f kunnen primitiveren, dan is deze homogene vergelijking op te lossen.
Dit noemen we de homogene oplossing h(x) = c • e^F(x)

STAP 3: Voeg de oplossingen samen.

We hebben nu gevonden de particuliere oplossing p(x) en de oplossing van de homogene vergelijking h(x).
En nou komt het:

voor de algemene oplossing a(x) geldt: a(x) = p(x) + h(x)

Het bewijs is vrij eenvoudig:
p(x) is een oplossing, dus geldt ^dp/_dx = f • p + g                                             ........(1)
h(x) is een oplossing van de homogene vergelijking, dus geldt ^dh/_dx = f • h       ........(2)

Omdat a = p + h geldt ^da/_dx = ^dp/_dx + ^dh/_d_x
(1) en (2) invullen: ^da/_dx =   f • p + g + f • h = f • (p + h) + g = f • a + g
Dat betekent dat a(x) inderdaad voldoet aan de differentiaalvergelijking.

Uitgebreid voorbeeld.

Gegeven is de differentiaalvergelijking ^dy/_dx = ^y/_x^{- 2}/_x²

Een lijnelementenveld ziet eruit als hiernaast.

De homogene vergelijking is ^dy/_dx = ^y/_xen die kun je scheiden: ^dy/_y = ^dx/_xen primitiveren geeft lny = lnx + c ofwel h(x) = cx

Nou de particuliere oplossing nog....

Ik zie in dat lijnelementenveld niet zo gauw een kromme.... Maar als je naar de differentiaalvergelijking kijkt dan is dat allemaal "gedeeld door x" dus zou je kunnen proberen of y = ^a/_x + b misschien een oplossing is....

Invullen geeft: ^-a/_x2 = ^a/_x2 + ^b/_x - ²/_x2 en daaruit volgt dat b = 0 en a = 1. De particuliere oplossing is dus y = ¹/_x
Herken je hem in het lijnelementenveld????? Lastig te zien hè?

De algemene oplossing is dan y = cx + ¹/_xHiernaast zie je er een paar. (c = -1, 0.1, 0.5, 1, 3)

Klopt aardig toch....?

Geef de oplossingskrommen van de volgende differentiaalvergelijkingen als je weet dat er een rechte lijn als oplossing bestaat.

y' = -y + 2x - 1 met y(0) = 2

y = 5e^-x + 2x - 3

^dy/_dx + 2y = 4x + 2 met y(1) = 3

y = 2x + e^{2 - 2x}

dy + xdx = dx + 2ydx met y(0) = 1,75

y = 2e^2x + ¹/₂x - ¹/₄

Gegeven is de differentiaalvergelijking xy' + 2y = x² - x + 1

Toon aan dat er een parabool is die een oplossing van deze vergelijking is.

y = ¹/₄x² - ¹/₃x + ¹/₂

Geef de vergelijking van de oplossingskromme die door (1,1) gaat.

y = ¹/₄x² - ¹/₃x + ¹/₂ + ⁷/_12x2

Als een voorwerp met temperatuur T in een ruimte met temperatuur T₀ wordt gezet, dan zal de temperatuur van dat voorwerp langzaam veranderen totdat het voorwerp dezelfde als de omgeving heeft.
De snelheid waarmee dat gebeurt hangt af van de zogenaamde warmtecapaciteit van het voorwerp en van het verschil in temperatuur tussen het voorwerp en de omgeving.
Er blijkt te gelden ^dT/_dt = c(T₀ - T) waarin c de warmtecapaciteit is (we maken ons even niet druk om de eenheden daarvan, t is in uren).

Een blikje frisdrank heeft warmtecapaciteit c = 5. Het heeft lange tijd in een koelkast van 5ºC gestaan,
en wordt op t = 0 in een kamer van 20ºC gezet.
Bereken wanneer de temperatuur van het blikje gelijk zal zijn aan 15ºC.

t = 0,2ln3 ≈ 0,22

De volgende differentiaalvergelijkingen hebben allemaal een oplossing van de vorm y = a • e^x
Geef een oplossingskromme in de volgende gevallen:

y' = 4y + 2e^x met y(0) = ⁴/₃

y = 2e^4x - ²/₃e^x

^dy/_dx - 2y = e^x met y(1) = 0

y = e^{2x- 1} - e^x

dy + e^xdx = 2ydx met y(0) = 0

y = e^x - e^2x

Een rechercheur van de politie vindt om 17:48 uur in een kelder waar het 10 ºC is een lijk. Het lijk is nog "vers" want de temperatuur ervan is gelijk aan 30ºC. Als de lijkschouwer precies drie uur later ter plekke is, meet hij een lijktemperatuur van 25ºC. Men weet dat zo'n lijk afkoelt volgens de differentiaalvergelijking: T' (t) = c · (T - T₀) waarbij c een constante is, en T₀ de omgevingstemperatuur.

Hoe laat is de moord gepleegd?

om 14:40 uur

Examenvraagstuk VWO, 1976.

Gegeven is de differentiaalvergelijking (2x + y)dy = (2x³ + 4y)dx

Teken de verzameling van de punten waarin het lijnelement dat aan de differentiaalvergelijking voldoet, een positieve richtingscoëfficiënt heeft.

Welke tweedegraads functies voldoen aan de differentiaalvergelijking?

De lijn l raakt een oplossingskromme van de differentiaalvergelijking in het punt (1,1)
Bewijs dat P het enige punt van l is waarin l een oplossingskromme raakt.

10.

Examenvraagstuk VWO, 1991.

Gegeven is de differentiaalvergelijking D: ^dy/_dx = ^{(y + x)}/_x

Arceer het gedeelte van het Oxy-vlak waar de lijnelementen van deze differentiaalvergelijking een positieve richtingscoëfficiënt hebben.

Een functie f die een oplossing is van D, heeft een uiterste waarde voor x = e.

Onderzoek of deze uiterste waarde een minimum of een maximum is en bereken deze uiterste waarde.

Toon aan dat voor elke p geldt dat de functie g_p(x) = xln|x| - px een oplossing is van D.

11.

Gegeven is de differentiaalvergelijking ^dy/_d_x = ^{(2y +
2)}/_x - 4.

Toon aan dat er een rechte lijn is die een oplossing is.

Geef de vergelijking van de oplossingskromme die door het punt (2,0) gaat.

Als je bij vraag a) had geprobeerd of er een parabool is die een oplossingskromme is, dan had je meteen de hele algemene vergelijking gevonden.
Laat zien dat dat inderdaad zo is.

12.

Gegeven is de differentiaalvergelijking: cosx • ^dy/_dx = 1 - y • sinx

In welke punten voor 0 ≤ x < 2π is het lijnelement dat aan de differentiaalvergelijking voldoet evenwijdig aan de x-as?

Er zijn integraalkrommen van deze differentiaalvergelijking die de lijn y = 2 raken.
Bereken de coördinaten van de raakpunten.

Een particuliere oplossing van deze differentiaalvergelijking is y = acosx + bsinx.
Bereken a en b

Los de homogene vergelijking op. (tip: de primitieve van tanx is -ln | cosx | )

13.

Gegeven is de differentiaalvergelijking dy - ydx = φ(x)dx, waarbij φ een differentieerbare functie is met φ(0) = -2.

Als φ(x) = -2cosx dan is de particuliere oplossing van de vorm y = asinx + bcosx.
Bereken a en b, en geef een algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

De kromme met vergelijking y = φ(x) is een oplossingskromme van de differentiaalvergelijking.
Bereken φ(2).

14.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1985.

Gegeven is de differentiaalvergelijking D: (x + 1)dy = (2x - y + 3)dx

Onder de oplossingskrommen van D komen rechte lijnen voor.
Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.

De raaklijn in het punt (2,1) aan een oplossingskromme van D snijdt een van de oplossingskrommen van D loodrecht in een punt P.
Bereken de coördinaten van P.

Geef een algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

Van de functies f en g van R⁺ naar R is gegeven:
De grafiek van f: x → x + 2 + g(x) is een oplossingskromme van D en f(1) = 7.
Bereken g(3).