|
|||||
| 1. | a. | hoogste afgeleide is
y' (deel alles door dx) dus 1e orde de macht van y' is 1 dus 1e graad. |
|||
| b. | hoogste afgeleide is
y''' dus 3e orde de macht van y''' is 3, dus 3e graad. |
||||
| c. | hoogste afgeleide is
y' dus 1e orde de macht van y' is 3 (vermenigvuldig alles met (y')2 om die negatieve macht weg te krijgen), dus 3e graad. |
||||
| d. | hoogste afgeleide is
Q'' dus 2e orde de macht van Q'' is 1 dus 1e graad. |
||||
| e. | hoogste afgeleide is
y'' (d²y/dx²)
dus 2e orde. de macht van y'' is 1, dus 1e graad. |
||||
| f. | hoogste afgeleide is
y''' dus 3e orde sin(y''') is onbepaald, dus graad onbepaald. |
||||
| 2. | a. | dy/dx =
y + 4x - 2 y = ax + b en dy/dx = a invullen geeft: a = ax + b + 4x - 2 0 = x(a + 4) + (b - 2 - a ) Dat geldt voor elke x als a + 4 = 0 en b - 2 - a = 0 Dat geeft a = -4 en b = -2 Het is de lijn y = -4x - 2 |
|||
| b. | dy/dx = 2x
+ 3y + 1 y = ax + b en dy/dx = a invullen geeft: a = 2x + 3ax + 3b + 1 0 = x(2 + 3a) + (3b + 1 - a) Dat geldt voor elke x als 2 + 3a = 0 en 3b + 1 - a = 0 Dat geeft a = -2/3 en b = -5/9 Het is de lijn y = -2/3x - 5/9 |
||||
| c. | dy/dx = (y
- 4)/x y = ax + b en dy/dx = a invullen geeft: a = (ax + b - 4)/x ax = ax + b - 4 0 = b - 4 b = 4 Alle lijnen y = ax + 4 door (0, 4) zijn oplossingskrommen. |
||||
| 3. | a. | y = ax2 + bx + c
geeft y ' = 2ax + b invullen in dy/dx = 4 + 2y - 6x2 geeft 2ax + b = 4 + 2ax2 + 2bx + 2c - 6x2 x2(2a - 6) + x(2b - 2a) + (4 + 2c - b) = 0 Dat geldt voor elke x als 2a- 6 = 0 en 2b - 2a = 0 en 4 + 2c - b = 0 a = 3 en b = 3 en c = -1/2 Het is de parabool y = 3x2 + 3x - 1/2 |
|||
| b. | y = ax2 + bx + c
geeft y ' = 2ax + b invullen in dy/dx = x2 - y geeft 2ax + b = x2 - ax2 - bx - c x2(1 - a) + x(-b - 2a) + (-c - b) = 0 Dat geldt voor elke x als 1 - a = 0 en -b - 2a = 0 en -c - b = 0 a = 1 en b = -2 en c = 2 Het is de parabool y = x2 - 2x + 2 |
||||
| c. | y = ax2 + bx + c
geeft y ' = 2ax + b invullen in dy/dx = (6y - 2 + 3x)/x geeft 2ax + b = (6ax² + 6bx + 6c - 2 + 3x)/x 2ax2 + bx = 6ax2 + 6bx + 6c - 2 + 3x 0 = x2(6a - 2a) + x(6b + 3 - b) + (6c - 2) Dat geldt voor elke x als 6a - 2a = 0 en 6b + 3 - b = 0 en 6c - 2 = 0 a = 0 en b = -3/5 en c = 1/3 Er is geen parabool: het is de lijn y = -3/5x + 1/3 |
||||
| 4. | a. | y' = -y + 2x -
1 met y(0) = 2 homogeen: y ' = -y geeft 1/y dy = -dx primitiveren: lny = -x + c y = c e-x is de oplossing van de homogene vergelijking y = ax + b geeft y' = a a = -ax - b + 2x - 1 0 = x(-a + 2) + (-b - 1 - a) a = 2 en b = -3 een particuliere oplossing is y = 2x - 3 De algemene oplossing is y = ce-x + 2x - 3 y(0) = 2 geeft dan 2 = c - 3 dus c = 5 De oplossing is y = 5e-x + 2x - 3 |
|||
| b. | dy/dx
+ 2y = 4x + 2 met y(1) = 3 homogeen: y' = -2y geeft 1/y dy = -2dx primitiveren: lny = -2x + c y = c e-2x y = ax + b geeft y' = a a + 2ax + 2b = 4x + 2 x(2a - 4) + (a + 2b - 2) = 0 a = 2 en b = 0 een particuliere oplossing is y = 2x De algemene oplossing is y = c e-2x + 2x y(1) = 3 geeft dan 3 = c e-2 + 2 ce-2 = 1 ή c = e2 De oplossing is y = e-2x + 2 + 2x |
||||
| c. | dy + xdx = dx + 2ydx
met y(0) = 1,75 homogeen: dy = 2ydx geeft 1/y dy = 2dx primitiveren: lny = 2x + c y = c e2x y = ax + b geeft dy = adx adx + xdx = dx + 2(ax + b)dx a + x = 1 + 2ax + 2b x(1 - 2a) + (a - 1 - 2b) = 0 a = 1/2 en b = -1/4 een particuliere oplossing is y = 1/2x - 1/4 De algemene oplossing is y = ce2x + 1/2x - 1/4 y(0) = 1,75 geeft dan 1,75 = c - 1/4 dus c = 2 De oplossing is y = 2e2x + 1/2x - 1/4 |
||||
| 5. | a. | y = ax2
+ bx + c geeft y ' = 2ax
+ b xy' + 2y = x2 - x + 1 wordt dan 2ax2 + bx + 2ax2 + 2bx + 2c = x2 - x + 1 x2 (4a - 1) + x(3b + 1) + (2c - 1) = 0 Dat geldt voor elke x als 4a - 1 = 0 en 3b + 1 = 0 en 2c - 1 = 0 a = 1/4 en b = -1/3 en c = 1/2 Het is de parabool y = 1/4x2 - 1/3x + 1/2 |
|||
| b. | Homogene
vergelijking: xy ' + 2y = 0 ofwel
1/y y' = -2/x Primitiveren: lny = -2lnx + c ή y = c x-2 De algemene oplossing is y = c x-2 + 1/4x2 - 1/3x + 1/2 Punt (1,1): 1 = c + 1/4 - 1/3 + 1/2 dus c = 7/12 De oplossing is y = 7/12 x-2 + 1/4x2 - 1/3x + 1/2 |
||||
| 6. | dT/dt =
c(T0 - T) wordt dT/dt
= 5(20 - T) met T(0) = 5 homogene vergelijking: dT/dt = -5T dus 1/T T' = -5 primitiveren: lnT = -5t + c dus T = c e-5t Probeer een oplossing T = at + b. Dat geeft a = 5(20 - at - b) a = 100 - 5at - 5b ⇒ 0 = -5at + (100 - 5b - a) Dat klopt voor elke t als a = 0 en b = 20 dus een particuliere oplossing is T = 20 De algemene oplossing is dan T(t) = 20 + ce-5t T(0) = 5 geeft 5 = 20 + c 1 dus c = -15 De oplossing is T(t) = 20 - 15 e-5t T = 15 geeft 15 = 20 - 15 e-5t 15 e-5t = 5 e-5t = 1/3 -5t = ln(1/3) ≈ 1,099 t ≈ 0,22 uur Na ongeveer 13,2 minuten zal het blikje een temperatuur van 15ΊC hebben |
||||
| 7. | a. | y' = 4y + 2ex
met y(0) = 4/3
homogene vergelijking: y' = 4y ⇒ 1/y y' = 4 Primitiveren: lny = 4x + c ⇒ y = c e4x y = a ex geeft y' = a ex aex = 4aex + 2ex ex (3a + 2) = 0 Dat geldt voor iedere x als a = -2/3 dus een particuliere oplossing is y = -2/3 ex De algemene oplossing is dan y = -2/3 ex + c e4x y(0) = 4/3 geeft dan 4/3 = - 2/3 + c ofwel c = 2 De oplossing is y = -2/3ex + 2e4x |
|||
| b. | dy/dx - 2y
= ex met y(1) = 0 homogene vergelijking: y' = 2y ⇒ 1/y y' = 2 Primitiveren: lny = 2x + c ⇒ y = c e2x y = a ex geeft y' = a ex aex - 2aex = ex ex(1 + a) = 0 Dat geldt voor iedere x als a = -1 dus een particuliere oplossing is y = -ex De algemene oplossing is dan y = -ex + c e2x y(1) = 0 geeft dan 0 = -e + c e2 ⇒ c = 1/e De oplossing is y = -ex + e2x - 1 |
||||
| c. | dy + exdx = 2ydx
met y(0) = 0 homogene vergelijking: y ' = 2y ⇒ 1/y dy = 2dx Primitiveren: lny = 2x + c ⇒ y = c e2x y = a ex geeft dy = a ex dx aexdx + exdx = 2aexdx ex (a + 1 - 2a) = 0 Dat geldt voor iedere x als a + 1 - 2a = 0 ⇒ a = 1 Dat geeft de particuliere oplossing y = ex De algemene oplossing is dan y = ex + ce2x y(0) = 0 geeft dan 0 = 1 + c dus c = -1 De oplossing is y = ex - e2x |
||||
| 8. | T' (t)
= c · (T - T0)
geeft met T0 = 10ΊC dat T ' =
c (T - 10) De homogene vergelijking is T ' = cT ⇒ 1/T T' = c Primitiveren: lnT = ct + p waarbij p een constante is. T = p ect (waarbij p een nieuwe constante is) Probeer een particuliere oplossing van de vorm T = at + b en dus T' = a Dat geeft a = c(at + b - 10) 0 = act + (b - 10 - a) Dat is voor elke t een oplossing als a = 0 en b = 10 Een particulier oplossing is T = 10 De algemene oplossing is dan T = 10 + p ect T(0) = 30 (noem 17:48 uur tijdstip 0) geeft dan 30 = 10 + p dus p = 20 Dat geeft als oplossing T(t) = 10 + 20ect T(3) = 25 geeft dan 25 = 10 + 20e3c ⇒ e3c = 0,74 ⇒ 3c = ln0,75 ⇒ c = -0,0959 Op het moment dat de moord werd gepleegd was de temperatuur 37ΊC 37 = 10 + 20 e-0,0959t e-0,0959t = 1,35 -0,0959t = ln1,35 t = -3,13 uur De moord is gepleegd om 3 uur en 8 minuten vσσr 17:48 dus dat was om 14:40 uur |
||||
| 9. | a. | (2x +
y)dy = (2x3 + 4y)dx dy/dx = (2x³ + 4y)/(2x + y) Dat is positief als teller en noemer het zelfde teken hebben. Beiden positief: 2x3 + 4y > 0 en 2x + y > 0 ofwel y < -1/2x3 en y < -2x Beiden negatief: 2x3 + 4y < 0 en 2x + y < 0 ofwel y > -1/2x3 en y > -2x Hieronder staan de vlakdelen gekleurd waar dat zo is (de grafieken van y = -1/2x3 en y = -2x zijn getekend) |
|||
|
|
|||||
| b. | y = ax2
+ bx + c geeft dy = 2axdx
+ bdx invullen: (2x + y)dy = (2x3 + 4y)dx (2x + ax2 + bx + c)(2ax + b)dx = (2x3 + 4ax2 + 4bx + 4c)dx 4ax2 + 2bx + 2a2x3 + bax2 + 2abx2 + b2x + 2acx + bc = 2x3 + 4ax2 + 4bx + 4c x3(2a2 - 2) + x2(4a + ba + 2ab - 4a) + x(2b + b2 + 2ac - 4b) + (bc - 4c) = 0 Dat geldt voor iedere x als 2a2 - 2 = 0 en 4a + ba + 2ab - 4a = 0 en 2b + b2 + 2ac - 4b = 0 en bc - 4c = 0 2a2 - 2 = 0 en 3ab = 0 en -2b + b2 + 2ac = 0 en bc - 4c = 0 De eerste geeft a = 1 a = -1, en dan geeft de tweede b = 0, en de derde c = 0 De oplossingen zijn y = x2 en y = -x2 |
||||
| c. | in (1, 1) geldt
dy/dx = (2x³
+ 4y)/(2x + y) = (2 +
4)/(2 + 1) = 2 Als l nog ergens anders een oplossingskromme raakt, dan moet ook daar gelden dy/dx = 2 (2x³ + 4y)/(2x + y) = 2 ⇒ 2x3 + 4y = 4x + 2y 2y = 4x - 2x3 y = 2x - x3 .....(1) l heeft helling 2, en gaat door (1,1) dus is de lijn y = 2x - 1. Invullen in (1) geeft 2x - 1 = 2x - x3 ⇒ x3 = 1 en dat heeft als enige oplossing x = 1 |
||||
| 10. | a. | dy/dx
= (y + x)/x Dat is positief als teller en noemer het zelfde teken hebben. Beiden positief: y + x > 0 en x > 0 dus y > -x en x > 0 Beiden negatief: y + x < 0 en x < 0 dus y < -x en x < 0 Hieronder staan die vlakdelen gekleurd. |
|||
|
|
|||||
| b. | Bij een uiterste
waarde is dy/dx = 0 (y + x)/x = 0 voor x = e geeft y = -e De uiterste waarde is het punt (e, -e) In de figuur hierboven kun je zien dat de functiewaarde bij x = e van dalend naar stijgend gaat, dus het zal een minimum zijn. |
||||
| c. | gp(x) = xln|x|
- px geeft g ' = lnx + 1
- p Invullen in de vergelijking: dy/dx = (y + x)/x wordt dan lnx + 1 - p = (xlnx - px + x)/x xlnx + x - px = xlnx - px + x Dat klopt inderdaad voor iedere x > 0 |
||||
| 11. | a. | y = ax
+ b geeft y' = a dy/dx = (2y + 2)/x - 4 wordt dan a = (2ax + 2b + 2)/x - 4 ax = 2ax + 2b + 2 - 4x 0 = x(2a - a - 4) + (2b + 2) Dat geldt voor elke x als a - 4 = 0 en 2b + 2 = 0 dus als a = 4 en b = -1 De lijn is y = 4x - 1 |
|||
| b. | homogene
vergelijking: dy/dx =
2y/x 1/y dy = 2/x dx primitiveren: lny = 2lnx + c y = c x2 Algemene oplossing: y = cx2 + 4x - 1 (2, 0) invullen: 0 = 4c + 8 - 1 geeft c = -7/4 De oplossing is y = -7/4x2 + 4x - 1 |
||||
| c. | y = ax2
+ bx + c geeft dy/dx
= 2ax + b Invullen : 2ax + b = (2ax² + 2bx + 2c + 2)/x - 4 2ax2 + bx = 2ax2 + 2bx + 2c + 2 - 4x 0 = x(2b - b - 4) + (2c + 2) Dat geldt voor elke x als b = 4 en c = -1 en a willekeurig. Dat geeft y = ax2 + 4x - 1 en dat is inderdaad de algemene oplossing van vraag b). |
||||
| 12. | a. | cosx dy/dx
= 1 - y sinx dy/dx = (1 - ysinx)/cosx evenwijdig aan de x-as betekent dy/dx = 0 0 = 1 - ysinx en cosx Ή 0 y = 1/sinx en x ≠ 1/2π, 11/2π Op deze kromme zijn de lijnelementen horizontaal. Zie de figuur hiernaast |
|
||
| b. | y = 2 raken betekent
helling 0: dy/dx = 0 Dat geeft y = 1/sinx (zie vraag a)) Verder is y = 2 1/sinx = 2 ⇒ sinx = 1/2 x = 1/6π ∨ x = 5/6π raakpunten (1/6π, 2) en (5/6π, 2) |
||||
| c. | y = acosx +
bsinx geeft y ' = -asinx
+ bcosx invullen: cosx (-asinx + bcosx) = 1 - (acosx + bsinx)sinx -acosxsinx + bcos2x = 1 - acosxsinx - bsin2x b(sin2x + cos2x) = 1 b = 1 a is willekeurig |
||||
| d. | homogene
vergelijking: cosx dy/dx
= - y sinx 1/y dy = -sinx/cosx dx = -tanxdx primitiveren: lny = ln|cosx| + c y = c |cosx| |
||||
| 13. | a. | y = asinx
+ bcosx
geeft y' = acosx -
bsinx dus dy = acosxdx
- bsinxdx invullen: acosxdx - bsinxdx - asinxdx - bcosxdx = -2cosxdx cosx(a - b + 2) + sinx(-b - a) = 0 Dat geldt voor elke x als a - b + 2 = 0 en -b - a = 0 De tweede vergelijking geeft a = -b en dat kun je invullen in de eerste: -2b + 2 = 0 Dat geeft b = 1 en a = -1 Een particuliere oplossing is y = -sinx + cosx Homogene vergelijking: dy - ydx = 0 dy = ydx 1/y dy = dx primitiveren: lny = x + c dus y = cex De algemene oplossing is y = cex - sinx + cosx |
|||
| b. | y
=
φ(x) geeft dy =
φ'(x)dx invullen: φ'dx - φdx = φdx φ' = 2φ φ' 1/φ = 2 dφ 1/φ = 2dx primitiveren: lnφ = 2x + c φ = c e2x φ(0) = -2 geeft dan -2 = c dus φ(x) = -2e2x φ(2) = -2e4 |
||||
| 14. | a. | (x + 1)dy =
(2x - y + 3)dx y = ax + b geeft y ' = a dus dy = adx invullen: (x + 1)adx = (2x - ax - b + 3)dx x(a - 2 + a) + (a + b - 3) = 0 Dat geldt voor elke x als 2a - 2 = 0 en a + b - 3 = 0 Dat geeft a = 1 en b = 2 (x + 1)dy = (2x - y + 3)dx geeft dy/dx = (2x - y + 3)/(x + 1) Dan is x = -1 ook een oplossing want dat geeft dy/dx oneindig groot, dus verticaal. Het zijn de lijnen x = -1 en y = x + 2 |
|||
| b. | in (2,1) heeft het
lijnelement helling dy/dx
= (2x - y + 3)/(x + 1) =
(4 - 1 + 3)/(3) = 2 De lijn door (2, 1) met helling 2 is de lijn y = 2x - 3 Als deze lijn een andere oplossingskromme loodrecht snijdt, dan geldt daarvoor dy/dx = -1/2 en ook y = 2x - 3 dy/dx = -1/2 geeft (2x - y + 3)/(x + 1) = -1/2 dus 4x - 2y + 6 = -x - 1 Vul hierin y = 2x - 3 in: 4x - 4x + 6 + 6 = -x - 1 ⇒ 12 = -x - 1 ⇒ x = -13 Dan is y = 2 -13 - 3 = -29 dus P = (-13, -29) |
||||
| c. | dy/dx
= (2x - y + 3)/(x + 1) Homogene vergelijking: dy/dx = -y/(x + 1) 1/y dy = -1/(x + 1)dx primitiveren: lny = -ln(x + 1) + c = ln(1/(x + 1)) + c dus y = c 1/(x + 1) een particuliere oplossing was de lijn y = 2x + 1 de algemene oplossing is dan y = c/(x + 1) + 2x + 1 |
||||
| d. | y = x + 2 + g(x)
betekent y ' = 1 + g' invullen: 1 + g' = (2x - x - 2 - g + 3)/(x + 1) (x + 1)(1 + g') = x + 1 - g x + xg' + 1 + g' = x + 1 - g g' (x + 1) = -g 1/g dg = -1/(x + 1) dx primitiveren: lng = -ln(x + 1) + c g = c (x + 1)-1 f(1) = 7 betekent g(1) = 4 4 = c 2-1 geeft c = 8 g = 8/(x + 1) g(3) = 2 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
