Conflictlijnen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Hiernaast zie je een kaartje van de Noordzee waarop is aangegeven welk deel van de zee bij welk land hoort.
Dat is z gebeurd dat een punt van de zee steeds hoort bij het land waar dat punt het dichtst bij ligt. Klinkt logisch, vind je niet?

Die getekende grenslijnen zijn dus de punten die precies even ver van twee (of meer) landen afliggen. Zo'n grenslijn heet in de wiskunde een conflictlijn. In dit geval de conflictlijn van twee landen.
 

Een conflictlijn van A en B  bestaat uit alle punten
die even ver van A als van B afliggen.

ofwel:

P ligt op de conflictlijn van A en B  ⇔ d(P,A) = d(P,B)

 

Daarbij betekent d(P,A) de afstand van P tot A  (d van distance).
Uiteraard wordt daarmee de kortste afstand bedoeld.

   
Laten we een paar wiskundige conflictlijnen  bekijken.
   
1. Twee punten.
   
Als je een punt P en een punt Q hebt, dan is de verzameling van alle punten die even ver van P als van Q af liggen een  rechte lijn die midden tussen P en Q door loopt.  "Midden tussen door" betekent dat die lijn door het midden van lijnstuk PQ gaat en loodrecht op PQ staat.
Zo'n lijn heet de middelloodlijn van PQ.

   
2. Twee lijnen.  
   
Nu zijn er twee mogelijkheden.

Als de lijnen evenwijdig aan elkaar zijn, dan is de conflictlijn ook evenwijdig aan die twee lijnen en ligt er midden tussen in.
Deze conflictlijn heet een middenparallel.

   
Als de twee lijnen elkaar snijden.
Dan vormen die twee lijnen dus een hoek. De punten die gelijke afstanden hebben tot beide benen van een hoek liggen op de bissectrice van die hoek. Dat is de lijn die de hoek doormidden deelt (heet ook wel deellijn).
Maar in deze gevallen zijn er twee mogelijkheden, zoals je hiernaast ziet.

   
3.  Twee  cirkels.  
 
In dit geval zijn er ineens veel meer mogelijkheden. Twee cirkels kunnen op nogal wat verschillende manieren ten opzichte van elkaar liggen. er zijn maar liefst VIJF verschillende mogelijkheden.
Hieronder zie je van alle vijf de gevallen een schets.
 

   
Al naar gelang de ligging en grootte van beide cirkels is de conflictlijn een cirkel, een ellips, een hyperbool of een rechte lijn. Over de precieze eigenschappen en definities van een ellips en een hyperbool zullen we het later hebben. Voorlopig is het voldoende dat je inziet dat die getekende vormen wel "ongeveer"  goed zijn.
   
4.  Een punt en een lijn.  
   
Die conflictlijn is een oude bekende:  een  parabool.
Waarom dat nou precies is, ook dat zullen we later bekijken.
Dat punt F noemen we het brandpunt van de parabool, en die lijn heet ook wel de richtlijn.

 

5.  Een punt en een cirkel.  
   
In dit geval zijn er weer twee mogelijkheden:  het punt ligt binnen de cirkel of buiten de cirkel.
In het eerste geval is de conflictlijn een ellips, in het tweede geval een hyperbool.
De vormen zie je hieronder.
   

   
6.  Een lijn en een cirkel.  
   
Dat is weer een parabool!
Dat kun je eenvoudig z beredeneren:
Teken een tweede lijn m evenwijdig aan l, die afstand r verder dan l vanaf het middelpunt ligt.

Stel dat voor een punt P nu geldt dat de afstand tot l gelijk is aan de afstand tot de cirkel. Dan is de afstand van P tot M gelijk aan de afstand van P tot m, immers die zijn beiden r groter. PQ = PM.
Dus liggen de punten P op een parabool met richtlijn m en brandpunt M.

   
Ook als de lijn de cirkel snijdt is het een parabool.
Kijk maar hiernaast.
Teken weer lijn m evenwijdig aan l op afstand r.
De rode lijntje plus de stippellijntjes zijn samen r.
Dus als de rode lijntjes gelijk zijn, zijn de stippellijntje dat ook

Dus de afstand van  P tot m is gelijk aan de afstand van P tot M
Dus liggen de punten P op een parabool.

(die parabool gaat trouwens door de snijpunten van l met de cirkel, maar dat had je vast al wel door...  toch.......?)

   
SAMENGEVAT conflictlijnen:
   
  punt lijn cirkel
punt middelloodlijn
 
 
lijn parabool bissectrice
middenparallel
 
cirkel ellips
hyperbool
parabool cirkel
ellips
hyperbool
middelloodlijn
   
   
SAMENGESTELDE GEBIEDEN.
   
Hoe construeer je de conflictlijn van twee samengestelde gebieden?
Daarmee bedoel ik gebieden die uit meerdere van bovenstaande meetkundige figuren bestaan.

Neem als voorbeeld de twee groene landen hieronder waartussen de conflictlijn moet worden getekend.
Het bovenste land bestaat uit een kustlijn l, het onderste bestaat uit een halve lijn m, een punt P en nog een halve lijn n.
Zie de figuur linksonder.
   

   

In de middelste figuur zijn van deze "objecten" (l, m, n en P) apart de conflictlijnen getekend:

De conflictlijn van l en m is een middenparallel (paars).
De conflictlijn van l en P is een parabool (rood).
De conflictlijn van n en l is de bissectrice van de hoek bij S (blauw).

Volg die conflictlijnen van links naar rechts, en waar ze elkaar raken of snijden stap je gewoon over op de volgende conflictlijn. Dat geeft de tekening rechts hierboven.
Die conflictlijn bestaat dus uit drie delen.

   
   
  OPGAVEN
   
1. Construeer de conflictlijnen van de volgende groene gebieden. vermeld bij je tekening uit welke vormen de delen van de conflictlijnen bestaan.
   
 

 

     

 

   
 

 

 

 

2. examenvraagstuk
       
  In de figuur hieronder is binnen een groot vierkant een kleiner vierkant getekend. De vierkanten hebben het zelfde middelpunt en zijn 45 ten opzichte van elkaar gedraaid. B1 is het binnengebied van het kleine vierkant, B2 is het buitengebied van het grote vierkant.
       
 

       
  In de figuur hieronder is driekwart van deze figuur afgedekt.

Teken in het resterende kwart de conflictlijn van B1 en B2
Licht je tekening toe.

       
 

       
3. examenvraagstuk.
   
  Het grijze gebied in de figuur hieronder is een deel van het vierkant MRTS met zijde 7. De grens PQ is een kwartcirkel met middelpunt M en straal 2. Er zijn drie landen, I, II en III, die alle drie aan het grijs gekleurde gebied grenzen. De grenzen met die landen zijn respectievelijk SP, PQ en QR.
Het grijze gebied wordt onder de drie landen verdeeld volgens het naaste-buur-principe.
       
 

       
  In het grijze gebied ligt op de lijn MT een punt P dat even ver van de drie landen ligt.
       
  a. Bereken de afstand van D tot de drie landen in twee decimalen nauwkeurig.
     

4,83

  b. Teken in de figuur de conflictlijnen tussen de drie landen in het grijze gebied. Licht je werkwijze toe.
       
4. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002.

Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken 90 met elkaar maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie de figuur hieronder.
In de figuur zijn twee stippellijnen getekend die loodrecht staan op AB en CD. In deze opgave beperken we ons tot het gebied tussen deze stippellijnen.
De lengte van  de iso-afstandslijn (in kilometers) tussen de stippellijnen, op een afstand van x kilometer uit de kust, noemen we L(x).

       
 

       
  In deze figuur is een iso-afstandslijn getekend, x kilometer uit de kust. De lengte van deze iso-afstandslijn wordt gegeven door:  L(x) = 12 - 2x + 1/2πx
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Deze formule geldt alleen voor x 4; voor x > 4 geldt een andere formule voor L(x). Zonder deze andere formule te kennen kun je beredeneren tot welke waarde L(x) nadert als x nadert tot oneindig.
Bereken die waarde.
     

8

  In de figuur hieronder liggen de punten E en F op de stippellijnen die loodrecht op AB en CD staan. EF is evenwijdig aan AB en CD. De afstand van EF tot CD is 3 kilometer.
       
 

       
  Een speedboot S vaart met een snelheid van 1 km per minuut van E naar F. We noemen de afstand (in km) van S tot de kust na t minuten varen  K(t).
Voor  4 ≤ t 8  geldt:  K(t) = 3.
       
  c. Toon aan dat voor  0 ≤ t 4  geldt:  K(t) = √(t2 - 8t + 25)
       
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003.

Gegeven zijn een lijn k en twee punten A en B op gelijke afstand van k en aan dezelfde kant van k. Zie de figuur hieronder.
       
 

       
  We verdelen het vlak waar A, B en k in liggen volgens het naaste-buur principe. De grenslijnen van deze verdeling zijn conflictlijnen.
Het punt D is het 'drielandenpunt' , dat is het punt op gelijke afstand van A, B en k
       
  a. Teken in de figuur het drielandenpunt D. Licht je werkwijze toe.
       
  b. Teken in de figuur de conflictlijnen. Licht je werkwijze toe.
       
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003.
       
 

       
  Santorini is een Grieks eiland. Door een vulkaanuitbarsting ruim 3550 jaar geleden is meer dan de helft van het eiland verzonken in zee. Het overgebleven deel van het eiland heeft de vorm van een croissant. Zie de figuur hierboven.

Genspireerd door de merkwaardige vorm van dit eiland gaan we over op het volgende wiskundige model.
Boog AB is een gedeelte van een cirkel met middelpunt M en straal MA. De punten A, T en M liggen op n lijn. Zie de figuur hiernaast.

Veronderstel dat het vlak volgens het naaste-buur-principe wordt verdeeld tussen T en boog AB. De grens bestaat uit twee rechte delen en n gebogen deel.

       
  Teken de grens in de figuur en geef bij elk van de drie delen een toelichting.
       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005.

Twee landen A en B worden gescheiden door een zee. De kustlijn van A is recht en loopt west-oost. De kustlijn van B maakt bij kaap K een hoek van 90; een deel van de kustlijn loopt noord-zuid en een deel west-oost. De afstand tussen de kustlijnen die west-oost lopen is 40 km. Zie onderstaande figuur.

       
 

       
  Beide landen maken aanspraak op een deel van de zee. Ze vinden beide dat de strook tot 30 km uit de kust hen toebehoort. Voor een groot deel van de zee zijn de landen het erover eens van wie het is, maar een deel van de zee blijft betwist gebied.
       
  a. Arceer in de figuur het betwiste gebied.  
       
  De zee zou verdeeld kunnen worden volgens het naaste-buur-principe.
       
  b Teken in de figuur de hierbij behorende grenslijn. Licht je werkwijze toe.
     
  In de figuur hiernaast is een punt P getekend van de grenslijn bij verdeling volgens het naaste-buur-principe. Het betwiste gebied heeft een noordrand en een zuidrand.
     
  c. Toon aan dat P even ver van beide randen afligt.
       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006.

Een gebied G wordt begrensd door de lijnstukken AB en BC, de halve lijn l met beginpunt A en de halve lijn m met beginpunt C. Zie onderstaande figuur.

       
 

       
  Verder is gegeven AB = 6,  BC = 4, de hoek tussen l en AB is 60, ABC en de hoek tussen BC en m zijn 120
Uit deze gegevens volgt dat l evenwijdig is aan m.
       
  a. Bewijs dat.
     
  De iso-a-lijn van G wordt gevormd door de punten die op afstand a van gebied G liggen. Elke iso-a-lijn van G bevat twee halve lijnen en een cirkelboog.
Voor kleine waarden van a bevat de iso-a-lijn daarnaast ook nog n of twee lijnstukken.
Voor een aantal waarden van a is in de figuur hiernaast een begin gemaakt met het tekenen van de iso-a-lijn.
     
  b. Teken in deze figuur de ontbrekende delen van deze drie iso-a-lijnen.
     
  Voor waarden van a die groter zijn dan een zekere waarde bestaat de iso-a-lijn uitsluitend uit twee halve lijnen en een cirkelboog QP.
De eindpunten Q van deze cirkelbogen liggen op een halve lijn die loodrecht op l staat.
       
  c. Teken de verzameling van de eindpunten P. Beschrijf deze verzameling.
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007.
     
  Een gebied G heeft aan een van zijn rechte zijden, EF, een inham, waarvan de rand bestaat uit drie cirkelbogen:
  - boog AB is een kwartcirkel met straal 3 en middelpunt E
  - boog CD is een kwartcirkel met straal 3 en middelpunt F
  - boog BC is een halve cirkel met straal 6 en middelpunt M
  - E, A, D en F liggen op een rechte lijn.
       
  In de figuur hiernaast zijn in de inham de iso-afstandslijnen getekend op de afstanden 1, 2, 3 en 4 van het land.
     
  a. Teken in de bovenste figuur de iso-afstandslijn waarop punt M ligt. Licht je werkwijze toe.
     
  Elke iso-afstandslijn bestaat uit drie cirkelbogen. Deze drie bogen sluiten op elkaar aan in de punten L (links) en R(rechts)
Voor alle punten L geldt:  LM + LE = 9.
     
  b. Toon dit aan
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)