Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

links van P: een parabool (conflictlijn van A en l)
PQ: middenparallel van AB en l
QR klein stukje parabool: van B en l
rechts van R: bissectrice van CB (verlengd) en l

links van P: bissectrice van m en l
PQ: parabool tussen A en l
rechts van Q: bissectrice van l en n

boven P: middenparallel van m en l

PQ: parabool van P met de cirkel.
(of teken een lijn evenwijdig aan l op afstand straal van de cirkel, dan is het de parabool van die lijn met M)

onder Q: middenparallel van n en l

onder P de bissectrice van m en n

PQ de middelloodlijn van AB

boven Q de bissectrice van k en l

U en V worden gevonden door de zijden van het kleine vierkant door te trekken.

De conflictlijn bestaat uit drie delen: PQ, QS en ST.

PQ is de conflictlijn tussen twee rechte lijnstukken en is de bissectrice van de hoek ertussen. (PV is de bissectrice van hoek UVS). Hetzelfde geldt voor ST

QS is de conflictlijn tussen een punt en een lijnstuk en is een deel van een parabool met top R.

Noem dat punt D.
Stel de afstand van D tot de drie gebieden gelijk aan x. Dan is dus DE = DF = x en D ligt op MT.
In driehoek DEM:
x² + x² = (x + 2)²
⇒ x² - 4x - 4 = 0
⇒ x = 2 + 2√2 ≈ 4,83

De conflictlijn van I en III is lijn MT.
De conflictlijn van I en II:
de afstand van een punt A tot SP is gelijk aan de afstand tot de cirkel, ofwel: d(A,SP) = d(A,cirkel)
tel bij beide afstanden 2 op:
d(A,SP) + 2 = d(A,M)
teken lijn k evenwijdig aan SP op afstand 2:
d(A,k) = d(A,M)
Dus liggen de punten A op een parabool met richtlijn k en brandpunt M.
Dat geeft deel PD, en door te spiegelen ook QD.

De lijn bestaat uit drie rechte stukken plus een kwartcirkel.
De lengte van de rechte stukken is elk 4 - x en 4 - x en 4
De kwartcirkel heeft lengte 0,25 • 2πx = 0,5πx
Samen is dat 4 - x + 4 - x + 4 + 0,5πx = 12 - 2x + 0,5πx

Die waarde is gelijk aan 8, immers als je oneindig ver weg staat dan is de lengte van CB te verwaarlozen ten opzichte van de afstand, en zul je het land "zien" als een recht stuk AD met lengte 8.

Tussen t = 0 en t = 4 is het dichtstbijzijnde punt van de kust punt C, dus is K(t) = SC
Noem P het snijpunt van CB met EF.
ES = t (want de snelheid is 1 km/uur), dus PS = PE - ES = 4 - t
Pythagoras in DCPS: (4 - t)² + 3² = SC² ⇒ SC² = 16 - 8t + t² + 9 = t² - 8t + 25
Door de wortel te nemen volgt de gevraagde formule.

D ligt in ieder geval op de middelloodlijn van A en B.
Noem het snijpunt van deze middelloodlijn met k S.
D moet even ver van S af liggen als A dus ligt op de middelloodlijn van AS
S is dus het snijpunt van beide middelloodlijnen.

De conflictlijn van A met k is een parabool, die van B met k ook, en die van A en B de middelloodlijn.
Je vindt bijv. de parabool tussen A en k door een willekeurig voetpunt V op k te kiezen, en vervolgens de loodlijn op k door V te trekken.
Het snijpunt P van zo'n loodlijn met de middelloodlijn van AV is een punt van de parabool.

Als de cirkel volledig zou zijn, dan was de conflictlijn van punt T en de cirkel een ellips met brandpunten M en T.
Teken daarom deze ellips.
Maar links van lijnen MB en MA is de afstand van een punt tot de cirkelboog gelijk aan de afstand tot A of B.
Daarom wordt de conflictlijn daar de middelloodlijn van AT (groen) of van BT (blauw).
Het totaal bestaat daarom uit een deel van een ellips (rood) en twee delen van middelloodlijnen (groen en blauw).

Het betwiste gebied is het blauwe gebied hieronder.
Een rechthoek plus een deel van de kwartcirkel met middelpunt K en straal 30.

RQ is de conflictlijn tussen de rand van gebied A en de noord-zuid rand van gebied B.

PQ is een deel van de parabool met richtlijn de rand van gebied A en brandpunt K.

De lijn van P naar rechts loopt midden tussen beide landen.

Hieronder staat alles nog eens samengevat.

Omdat P op de conflictlijn ligt geldt PK = PQ.

PS = 30 - PK
PR = 30 - PQ
PK = PQ

daaruit volgt PS = PR

Verleng AB en lijn m. Dat geeft driehoek BCD.
∠DBC = 180º - ∠CBA = 60º
∠DCB = 180º - 120º = 60º
Dus is ook ∠CDB = 60º
Maar dan zijn ∠CDB en ∠A Z-hoeken dus zijn l en m evenwijdig.

Teken als hulplijnen de bissectrices van hoek C en hoek B, de loodlijnen vanuit A op AB en op l. Verleng AB en m en teken ook de bissectrice van de hoek die dan ontstaat.

De tekening hiernaast spreekt wel zoor zich. De cirkeldelen zijn getekend met middelpunt A.

Zie hiernaast.
De punten P liggen op de loodlijn vanaf A loodrecht op AB. Tot het punt waar die loodlijn de bissectrice van AB en m snijdt.

Vanaf dat punt liggen de punten P even ver vanaf A als vanaf lijn m dus op een parabool met brandpunt A en richtlijn m.

De iso-afstandslijn van een punt (M in dit geval) tot een cirkelboog is een cirkel met hetzelfde middelpunt als de cirkelboog. De iso-afstandslijnen van M tot AB, DC en BC zullen dus cirkels zijn met middelpunten respectievelijk E, F en M.
Teken eerst twee cirkels met straal ME en MF en middelpunten E en F.
Noem P het snijpunt van ME met boog AB, dan is de gezochte afstand MP.
Teken punt Q op MR zodat QR = MP (zie onderstaande figuur).
Het derde deel van de iso-afstandslijn is dan een deel van een cirkel met straal MQ en middelpunt M.
Daarmee is de rode iso-afstandslijn hieronder te tekenen.

De afstand van L tot AB is gelijk aan LE - 3
De afstand van L tot BC is gelijk aan 6 - LM
Deze afstanden moeten gelijk zijn, dus LE - 3 = 6 - LM ⇒ LE + LM = 9