Complexe Weerstanden.

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hiernaast zie je een eenvoudige stroomkring uit de natuurkunde. Er is een spanningsbron met spanning V getekend (bijvoorbeeld een batterij) en een weerstand met weerstand R (bijvoorbeeld een lampje). Voor de stroom die er door de weerstand gaat en de spanning die erover staat en de grootte van de weerstand geldt de zogenaamde wet van Ohm:

V = I • R

Daarin is V de spanning in Volt, I de stroom in Amp่re en R de weerstand in Ohm. Tot zover niets aan de hand, ik neem aan dat je deze formule al wel kende en ook al hebt gebruikt bij natuurkunde.
Maar het kan natuurlijk veel en veel interessanter.....

Op de eerste plaats zouden we in plaats van gelijkspanning ook wel wisselspanning kunnen gebruiken. Je weet wel, die van uit je stopcontact! De spanning hangt dan van de tijd af volgens  V = V0 • cos(ωt).  Het getal w bepaalt hoe snel de spanning varieert. Voor 50Hz  uit ons stopcontact geldt ω = 2π • 50 = 100π.  Wisselspanning geven we aan door zo'n golfje bij de spanning als hiernaast


En op de tweede plaats zou je ook wel wat interessantere dingen in je stroomkring kunnen opnemen. Bijvoorbeeld een spoel of een condensator. Alleen geldt voor die apparaten de wet van Ohm niet! Daarvoor zullen we een nieuwe wet moeten verzinnen.....
Dat gaat in drie stappen.
   
STAP 1 :  Steady-State.

We bekijken alleen "eenvoudige" netwerken. Daarmee bedoelen we netwerken die door ้้n wisselspanningsbron worden aangedreven. Die spanningsbron levert een spanning  V0 • cos(ωt).
Dat betekent dat, als je lang genoeg wacht om opstarteffecten niet mee te tellen, het hele systeem op den duur de periode van de aandrijfspanning zal hebben. Dus elke stroom en elke spanning in het systeem zal van de tijd afhangen via een factor cos(wt). Het hele netwerk zal met dezelfde frequentie gaan pulseren. Maar natuurlijk zal niet elk onderdeel van het netwerk op hetzelfde moment zijn maximale stroom/spanning hebben...

De spanning over een willekeurig onderdeel X zal er uitzien als  V(t) = V0X • cos(ωt + φX)
STAP 2:  Complexe spanning en stroom

En nu komt de grote gedachtesprong (je moet er maar opkomen):
 
Die V0 • cos(ωt + φ)  dat is het re๋le deel van  V0 • ei(ωt+φ) .
 

Het voordeel van deze nieuwe schrijfwijze is, dat er geldt V0 • ei(ωt+φ) = V0 • eiωt • eiφ = (V0 • eiφ ) • eiωt
En die laatste factor staat er voor elk deel van onze stroomkring hetzelfde! Daarom laten we hem voortaan maar weg, en stellen de spanning voor door V = V0 • eiφ
. Je moet je na de berekeningen alleen w้l bedenken dat je om de werkelijke spanning te krijgen je antwoorden moet vermenigvuldigen met eiωt  en er vervolgens het re๋le deel van moet nemen.

 
 

Waarom mag dat?
Het enige dat we doen bij berekeningen aan stroomkringen is spanningen en stromen bij elkaar optellen. Daarbij is bekend dat de som van de stromen in een knooppunt nul is, evenals de som van de spanningen over een lus.
Kijk wat er bij dat optellen van spanningen gebeurt in het werkelijke model en ook in het complexe model:

Stel dat je twee spanningen V1(t) = V10 • cos(
ωt + φ1)  en V2(t) = V20 • cos(ωt + φ2)  wilt optellen.
In "werkelijkheid" geeft dat:  VS(t)  = V1(t) + V2(t) =  V10 • cos(
ωt + φ1) + V20 • cos(ωt + φ2)

Met de complexe representatie:  VS = V01e
1 + V02 eiφ2
Vermenigvuldig met ei
ωt :  VS = (V01e1 + V02 eiφ2eiωt = V01ei(φ1+ωt) + V02 ei(φ2 + ωt) 
= V01{(cosφ1 +
ωt) + i(sin(φ1 + ωt)} + V02{cos(φ2 + ωt) + isin(φ2 + ωt)}
Neem daarvan het re๋le deel:  VS = V01 • cos(φ1 +
ωt) + V02 • cos(φ2 + ωt)
En dat is inderdaad precies hetzelfde als de spanning die we eerder vonden. Dat betekent dat we deze representatie mogen gebruiken zolang we ons maar beperken tot het optellen van stromen en spanningen.

STAP 3:  Spoel en Condensator.
SPOEL
Voor een spoel geldt uit de natuurkunde, dat  V = L • dI/dt  waarbij  L de zogenaamde inductie van de spoel is (eenheid  henry (H)).  Als we de stroom in de complexe representatie voorstellen door I = I0eiφ  dan is dat eigenlijk, met de tijd erbij 
I = I0 ei(ωt + φ) 
dan geldt  V = L • dI/dt  = L • ei(ωt + φ)  • iω = L • eiωt • eiφ • iω =  iωL • eiφ • eiωt
In de complexe representatie laten we die factor eiωt weg  en dan staat er  V = iωL • I
Dat lijkt behoorlijk op de wet van Ohm, maar nu met iωL in plaats van R

CONDENSATOR
Voor een condensator geldt uit de natuurkunde dat  Q = CV  en  I = -dQ/dt
waarbij Q de lading is, en C de capaciteit van de condensator (eenheid Farad (F)).
Deze twee kun je combineren:

En als je nu de stroom voorstelt door I = I0 ei(ωt + φ) dan geeft dat:
Alweer een soort wet van Ohm, maar nu met  -1/iωC  in plaats van R.
 
Als je de complexe representatie gebruikt,
dan mag je ook voor spoel en condensator de "wet van Ohm"  gebruiken,
met  respectievelijk  RS = i
ωL  en  RC = -1/iωC
 
   
Maar denk erom:
•  Je mag alleen  stromen en spanningen bij elkaar optellen.
•  Na afloop moet je je antwoorden vertalen naar de werkelijkheid door te vermenigvuldigen met eiωt en daarna het re๋le deel te nemen.
   
Uitgebreid Voorbeeld.  
   
Laten we het netwerk hiernaast bekijken.
De spanning is 220 Volt en 50Hz,  dus  V(t) = 220 • cos(100πt)
Verder is  C1 = 0,2μF en  C2 = 0,5μF en R = 10000Ω.
Geef een formule voor de stroom I(t)

Voor de vervangingsweerstand R van R en C2 samen geldt:

Dus :
Nu de "aangepaste wet van Ohm" voor deze complexe weerstand:
πππ

   

   

cosz en sinz

   

formule van Cardano

   
1. Nu je de stroom I(t) in het bovenstaande netwerk kent, kun je daarmee de spanning V(t) over C1 berekenen, en daarmee ook de spanning over R en C2 samen (die is immers  V - VC1)
Dan kun je ook de stroom I(t) die alleen door C2 gaat berekenen.
Maak die berekening.
         
2. Geef voor de volgende netwerken een formule voor de stroom I(t) door de weerstand R. De spanningsbron levert iedere keer een spanning V(t) = 220 • cos(100πt).
         
 

         
3. Iemand wil graag een 120-Watt lamp in serie schakelen met een spoel op een spanningsbron van 220Volt en 50Hz. Als de lamp goed moet branden, dan hoort  er 120/220 = 0,545... amp่re wisselstroom door te gaan.
Hoe groot moet de inductie L van de spoel zijn zodat de lamp goed brandt?  Denk erom dat de lamp zelf uiteraard ook een Ohmse weerstand heeft.
         
       

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)