Complexe Gonio.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 

Het zijn zo'n beetje de laatste "aparte" functies die we voor complexe getallen nog niet hebben bekeken:  sin(z) en cos(z). De enige plaats waar we sinus en cosinus al wél bij complexe getallen zijn tegengekomen was in de beroemde regel van Euler: 
eiφ = cosφ + i• sinφ.
 
Laten we die daarom maar als uitgangspunt nemen en er proberen cosφ en sinφ mee te definiëren.
Het probleem is dat je er wel cosφ = .... van kunt maken, maar dan staat daar achter de "is" ook nog weer een sinφ (en andersom).


De oplossing komt als je je bedenkt dat de eigenschappen van sinus en cosinus voor reële getallen nog steeds moeten gelden voor complexe getallen.
Bijvoorbeeld de eigenschappen cos(-φ) = cos(φ) en sin(-φ) = -sin(φ).
Dat geeft e-iφ = cos(-φ) + i • sin(-φ) = cos(φ) - i • sinφ. En nou komt het:  als je deze regel en de regel van Euler bij elkaar optelt dan valt sinφ weg: 
eiφ + e-iφ = 2cosφ  ofwel  cosφ = 1/2(eiφ + e-iφ)

Tot nu toe was die φ steeds een reëel getal (het argument van een complex getal) maar nu maken we voor deze cosinusformule de afspraak dat hij ook voor complexe getallen geldt. En op dezelfde manier kunnen we een logische formule voor sin(z) vinden door de formules voor eiφ en e-iφ  van elkaar af te trekken.
Conclusie:
 

 
Dit zijn mooie eenvoudige formules. Als je graag zou willen uitschrijven hoe groot cos(a + bi) is, dan zou je krijgen:

=   1/2((cos(a) + isin(a))• e-b + (cos(-a) + isin(-a)) • eb)
=   1/2(cos(a)e-b + cos(a)e-b)   +   i • 1/2(sin(a)e-b - sin(a)eb)
=   1/2cosa(e-b + eb)   +    i • 1/2sina(e-b - eb)

Netjes uitgesplitst in een reëel en een complex deel. En gelukkig zie je dat voor b = 0 er staat  cosz = cosa.
Phew! Dat klopt gelukkig!!

Deze omschrijving is nogal ingewikkeld en hoef je niet te onthouden, maar het is wel de manier waarop je de cosinus of sinus van een `normaal` complex getal uitrekent. Kijk maar:

Voorbeeld.
Bereken cos(1/4π + 2i)

cos(1/4π + 2i) = 1/2(ei(1/4π + 2i) + e-i(1/4π + 2i))
= 1/2(e(0,25πi - 2) + e(-0,25πi + 2))
= 1/2(e0,25πi • e-2 +  e-0,25πi • e2)
= 1/2((cos1/4π + isin1/4π )(e-2) + (cos-1/4π  + isin-1/4π )(e2) )
= 1/2(1/2√2 + 1/2i√2)e-2 + (1/2√2 - 1/2i√2) e2 )
= (1/4√2e-2 +1/4√2e2) + i(1/4√2e-2 - 1/4√2e2)
Als je het uitrekent komt er ongeveer uit  2,66 - 2,56i   héhé, wat een werk!
Toch kun je aan die formule wel een paar dingen aflezen/concluderen, en daarom herhaal ik hem nog een keer:

cos(a + bi) =  1/2cosa(e-b + eb)  + i • 1/2sina(e-b - eb)

Kijk daar aan de rechterkant is alleen het deel met cosa en sina erin periodiek. b heeft daar geen invloed op, die doet wat anders! Dat betekent dat cos(a + bi) hetzelfde periodieke gedrag vertoont als de gewone cosa en sina  ook voor complexe waarden! De periode van de complexe cosinus is dus gewoon het reële 2π.
 

De periode van cosz en sinz is 2π
 

Wat doet die factor  1/2(e-b + eb)  dan?
Die verandert het periodieke gedrag niet, maar past de uitwijking aan. Het is een soort extra factor die de cosinus voor complexe getallen verandert. Hoe "complexer" het getal (hoe verder van de reële as af) des te meer wordt de cosinus ervan door die factor veranderd.
De factoren  1/2(e-b + eb)  en   1/2(e-b - eb)  zie je hieronder.
   

   
Ze komen vaak voor, en worden vaak geschreven als  cosh(x) en sinh(x).
Dan krijg je:
cos(a + bi) = cos(a) • cosh(b) +  i • sin(a) • sinh(b) 
en op dezelfde manier 
sin(a + bi)  =  cos(a) • sinh(b) + i • sin(a) • cosh(b)

Tussendoortje:
Het vaakst komen deze beide factoren trouwens gewoon bij de reële getallen voor! De functie f(x) = ½(ex + e-x)  heet een kettinglijn en beschrijft de lijn van een hangende ketting. Maar andersom (op de kop) is hij ook gebruikt in het maken van dragende constructies, zoals bij poorten, bogen of bruggen.
   
Hieronder kun je een beetje zien wat het reële deel van cosz doet als het reële deel en het imaginaire deel van z  veranderen. Hou daarbij die twee grafiekjes hier vlak boven in gedachten!!!
   

   
Je ziet hier de waarden van het reële deel van cos(z) weergegeven voor het reële en het imaginaire deel van z zelf tussen -2π en 2π.  De hoogte van de grafiek geeft hier dus alleen het reële deel van cos(z) aan. Die stip in het midden is de oorsprong.
Probeer zelf maar eens, als je het leuk vindt, plaatjes te maken voor het imaginaire deel van cosz en voor het reële en imaginaire deel van sinz.
   
   

functies ez en lnz

    

spoel en condensator
1. Bereken exact:
             
  a. sin(1/6π + i)   d. cos(2i - 1/2π)  
  b. cos(π + 4i)   e. cos(-2i)  
  c. sin(3i)   f. sin(1 + 3i)  
             
2. Mijn twee favoriete gonioformules waren altijd  cos2x + sin2x = 1  en  sin2x = 2sinxcosx
Toon aan dat deze twee formules onder onze afspraken voor complexe sinus en cosinus nog steeds geldig zijn.
             
3. In deze opgave gaan we vergelijkingen van de vorm cosz = p bekijken, met p een reëel getal.
Stel dat we willen oplossen de vergelijking cosz = 2  (voor één periode: 0 ≤ Re(z) ≤ 2π).
Dat kon bij reële getallen niet, maar misschien  bij complexe getallen wel.
Dan zul je eerst schrijven  1/2(eiz + e-iz ) = 2
Deze vergelijking kun je omschrijven tot  (eiz)2 - 4eiz + 1 = 0
             
  a. Toon aan dat dat zo is, en geef de twee oplossingen van eiz
             
  Als je die oplossingen nou ook eerst schrijft als r • eiφ  dan kun je ze beter met eiz vergelijkingen.
Als r • eiφ gelijk is aan eiz dan moet namelijk gelden  z = -i • lnr + φ + k • 2π
             
  b. Toon aan dat dat juist is.
     
  c. Los de vergelijking  cosz = 2 verder op.
             
           

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)