De functies ez en ln(z)

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Nu we twee nieuwe functies hebben bekeken is het natuurlijk tijd om te kijken wat deze functies "doen" met het complexe vlak.

f(z) = ez

Zoals we bij de berekeningen al zagen schrijven we:  ea + bi = ea ebi = ea (cosb + i sinb)
Dus:    Re(f(z)) = ea cosb  en   Im(f(z)) = ea  sinb

Daar valt meteen al iets aan op:  als we b vervangen door b + k 2π  dan blijft f(z) gelijk, immers cosb en sinb zijn beiden periodiek met periode 2π.
 

ez is periodiek met periode  2πi

 
Dat betekent dat je het complexe vlak in horizontale stroken met hoogte 2π kunt verdelen, en dat de functie ez op al die stroken precies gelijk is.

Leuke plaatjes kun je trouwens krijgen door een techniek te gebruiken die "domain-coloring" heet. Daarbij geef je alle punten in het complexe vlak een kleur, en punten met dezelfde kleur hebben dezelfde functiewaarde. Als je er meer over wilt weten moet je maar eens kijken op:

http://www.mai.liu.se/~halun/complex/domain_coloring-unicode.html

Als a gelijk is aan nul, dan ligt z dus op de imaginaire as (z = bi), en dan is  ez = cosb + i sinb. Dat betekent dat ez op  de eenheidscirkel ligt. En zo gaan alle verticale lijnen x = a  over in cirkels met straal ea

Als b nul is, dan ligt z dus op de rele as (z = a), en dan is ez = ea (immers sin0 = 0 en cos0 = 1). Dat betekent dat ez op de positieve rele as ligt.
En zo gaan alle horizontale lijnen over in punten die dezelfde hoek hebben, dus in schuine rechte lijnen

Samengevat voor n zo'n strook:

Die hele groene linkerkant van zo'n strook wordt gepropt binnen in de eenheidscirkel, en die oranje rechterkant komt terecht op het vlak buiten de eenheidscirkel. Verticale lijnen worden cirkels.
En voor horizontale lijnen zou je het volgende plaatje kunnen tekenen:

f(z) = ln(z)
   
Dat is nu makkelijk; we gebruiken gewoon het feit dat ln(z) de inverse van ez is, dus alles gaat gewoon "andersom"
Dat betekent dat  cirkels overgaan in verticale lijnen, halve schuine lijnen gaan over in horizontale lijnen, enz.
Verwissel in bovenstaande twee tekeningen het rechter- en het linkerplaatje met elkaar. Het enige aparte is die meerwaardigheid van ln(z). Dat betekent bijvoorbeeld dat de blauwe eenheidscirkel meerdere malen langs de imaginaire as gelegd moet worden (oneindig vaak zelfs). Elke cirkel wordt oneindig vaak langs een verticale lijn gelegd, en elke halve schuine lijn verandert in oneindig veel horizontale lijnen op afstand 2π van elkaar.
   
   

logaritmen

   

cosz en sinz

   
1. Teken in het complexe vlak het beeld van de volgende getallenverzamelingen bij de functie f(z) = ez
             
  a. Een rechthoek met hoekpunten -1 + 2i , 4 + 2i,  4 + 6i en  -1 + 6i
       
  b. De punten waarvoor geldt  Re(z) < 2
       
  c. De punten waarvoor geldt  0 < Im(z) < 1
             
2. Teken in het complexe vlak het beeld van de volgende getallenverzamelingen bij de functie f(z) = ln(z)
             
  a. De punten waarvoor geldt   3/4π < φ < 1/4π
     
  b. De lijn y = 2x
     
3. Wat gebeurt er eigenlijk met een cirkel bij de functie  f(z) = ez ?
  Als je de getallen op een cirkel schrijft als  r(cosφ + i sinφ), dan kun je hun beeld onder de functie f(z) = ez ook uitschrijven. Dan kun je het rele deel en het imaginaire deel daarvan opvatten als een x(t) en y(t) in een  parametervoorstelling met φ = t.
Het plotten van de beelden van cirkels met straal  1/2, 1 en 2  geeft de plaatjes hieronder (blauw is r = 2)
             
 

             
  Probeer deze figuren zelf te produceren op je GR.
     
4. De rechte lijn  y = ax  wordt onder de functie f(z) = ln(z) in het complexe vlak afgebeeld op een horizontale lijn, meerdere eigenlijk.
             
  a. Wat zijn de vergelijkingen in rele cordinaten van die horizontale lijnen?
       
  b. Welke lijn komt er terecht op de lijn  y = 31/4π ?
             
5. In deze opgave bekijken we het beeld van de punten  Im(z)  = 1  onder de functie f(z) = ln(z)
We bekijken daarbij van het beeld alleen de strook waarvoor geldt   0 ≤ Im(z) ≤ 2π
             
  a. Leg uit waarom het beeld van deze punten nooit links van de y-as kan terechtkomen.
     
  b. Leg uit waarom de beelden van de punten helemaal rechts (voor Rez wordt oneindig) naar de x-as toe zullen gaan.
     
  c. Leg uit waarom het de beelden van de punten helemaal links (voor Rez wordt negatief oneindig) naar de lijn y = π toe zullen gaan.
     
  d. Waar ligt het beeld van het getal z = i ?
     
  e. Probeer met de informatie uit de vorige vraagstukken het beeld van Im(z) = 1 te schetsen.
             

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)