Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

e^{-1 + 2i} = e^-1(cos2 + isin2) = -0,15 + 0,33i
e^{2 + 2i} = e²(cos2 + isin2) = -3,07 + 6,72i
e^{2 + 6i} = e²(cos6 + isin6) = 7,09 - 2,06i
e^-1 ^{+ 6i} = e^-1 (cos6 + isin6) = 0,35 - 0,10i

De rode rechthoek verandert in de blauwe figuur. Horizontale lijnstukken worden delen van rechte lijnen door de oorsprong, verticale lijnstukken worden delen van cirkels (tegen de klok in als y in het origineel groter wordt).

Het blauwe halve vlak (x < 2) verandert in het binnengebied van een cirkel met straal e²

De blauwe strook links verandert in het rode vlakdeel rechts:

Het blauwe vlak tussen de hoeken 0,25π en 0,75π wordt een horizontale strook tussen y = 0,25π en y = 0,75π

De lijn y = 2x bestaat uit een stuk in het eerste kwadranten een stuk in het derde kwadrant.
Het deel in het eerste kwadrant verandert in een horizontale lijn op hoogte tan^-1(2) = 1,11 rad, dus de punten op hoogte 1,11i
Het deel in het derde kwadrant verandert in een horizontale lijn op hoogte 1,11 + π en dat is 4,25i
(en verder natuurlijk nog alle horizontale lijnen op afstand 2π daarvan)

z = r(cosφ + isinφ)
e^z = e^r^{(cosφ
+ isinφ)} = e^r^cos^φ • e^ir^sin^φ = e^r^cos^φ • (cos(rsinφ) + isin(rsinφ)

Rez = e^r^cos^φ • cos(rsinφ) en Imz = e^r^cosφ • sin(rsinφ)

mode par, en dan:
X_1T = e^(rcos(T)) • cos(rsin(T))
Y_1T = e^(rcos(T)) • sin(rsin(T))
Neem voor r achtereenvolgens 0,5 en 1 en 2

tanφ = a geeft φ = tan^-1a dus de vergelijking is y = tan^-1a

De hoek is dan 3,25π en dat is hetzelfde als 1,25π dus dat is de halve lijn y = x voor x < 0

Stel z = re^iφ = r(cosφ + isinφ) dan is Imz = rsinφ = 1
Dan is lnz = ln(re^iφ) = lnr + iφ
Het reële deel daarvan is lnr
Dat is negatief als r < 1 maar dan kan nooit gelden dat rsinφ = 1 want sinφ is ook hoogstens gelijk aan 1.
Dus het reële deel van lnz is altijd > 0 dus ligt lnz altijd rechts van de y-as.

Als Imz = 1 dan ligt z op de lijn (in het reële vlak) y = 1.
Als nu ook nog x naar oneindig gaat (heel ver naar rechts) dan gaat de hoek φ naar nul.
Dat betekent dat lnz = ln(re^ij) = lnr + iφ een imaginair deel heeft dat naar nul gaat, dus dat beeld gaat naar de x-as.

Zie vraag b)
Nu gaat de hoek φ naar π, dus gaat het imaginaire deel van lnz naar π, dus dat wordt de lijn y = π.

z = i geeft lnz = lni = ln(e^0,5πi) = 0,5πi

op de GR:
Imz = 1 geeft rsinφ = 1 dus r = ¹/_sinφ
lnz = lnr + iφ geeft dan lnz = ln(¹/_sinφ) + iφ

mode par en dan x_T = ln(1/sin(T)) en y_T = T geeft de gevraagde beeldpunten.