Machtsfuncties.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We zagen dat de lineaire complexe functies draaivermenigvuldigingen en translaties zijn. Daarbij bleven rechte lijnen rechte lijnen en cirkels bleven cirkels. 
Maar als de functies ingewikkelder worden, dan blijft dat niet zo makkelijk.
Laten we de functie f(z) = z2  maar eens onderzoeken.
1. De complexe getallen  3i en  3 + 5i en  6 + 7i  liggen in het complexe vlak op een rechte lijn.
Bereken hun beeld onder de functie f(z) = z2  en toon aan dat de drie beeldpunten niet op een rechte lijn liggen. 
Nou jammer dus. Rechte lijnen blijven niet recht.
Laten we op onderzoek uitgaan naar wat er dan wél met rechte lijnen gebeurt.

Als een getal z op de reële lijn y = ax + b  ligt, dan geldt dus z = x + i(ax + b)
Neem dat in het kwadraat: 

z2

= (x + iax + ib)2
= x2 + iax2 + ibx + iax2 - a2x2 - axb + ibx - abx - b2
= (x2 - a2x2 - 2axb - b2 )  +  i • (ax2 + bx + ax2 + bx)
Neem bijvoorbeeld de lijn  y = 2x + 1, dan geldt voor de punten z daarop dat  z2 = (-3x2 - 4x - 1) + i • (4x2 + 2x)
Dus Rez2 = -3x2 - 4x - 1 en  Imz2 = 4x2 + 2x
Maar wacht eens even..... Als we die x nou zien als parameter t...... Hé!! Dan staat er de volgende parametervoorstelling:

Nou pak je GR, en gebruik MODE - Par om die te plotten. Dat geeft de beeldfiguur hiernaast. Die rechte lijn gaat over in een soort scheefliggende parabool

   
Speciale gevallen:
Een lijn door de oorsprong.  y = ax verandert in  y = 2ax/(1 - a2)  en dat is weer een rechte lijn door de oorsprong.
Een horizontale lijn:  y = b verandert in  x = y2/4b2 - b2  dat is een parabool die helemaal op zijn kant ligt.
Een verticale lijn:  x = a verandert in  x = -y2/4a2 + a2  dat is ook een parabool die helemaal op zijn kant ligt.
Hieronder zie je daar wat plaatjes bij.
   

   
Bij die rechte lijnen in de bovenste plaatjes zie je misschien dat die allemaal een "draai" krijgen. Maar wat er in de andere plaatjes gebeurt is nog lastig te zien...
   
En een cirkel? Waar verandert die in?

Om dat te beredeneren kun je een getal z het best schrijven in poolcoördinaten. Neem een cirkel met middelpunt O en straal r. Dan is een willekeurig punt van die cirkel  z = r • (cosφ + i • sinφ)
Kwadrateren:  z2 = r2 • (cosφ + i • sinφ)2 = r2(cos2φ + 2i cosφsinφ - sin2φ) = (r2 • (cos2φ - sin2φ)) + i • 2cosφsinφ
Als je de verdubbelingsformules van gonio nog kent dan zie je dat hier staat: z2 = r2 • (cos2φ + i • sin2φ)
Dat is dus weer een cirkel! De straal is r2 geworden, en de hoek is bij elk punt verdubbeld, maar daar blijft het natuurlijk gewoon een cirkel door.

Deze aanpak met poolcoördinaten werkt erg goed bij machtsfuncties. Want wat hier voor de macht 2 geldt, geldt precies zo voor macht 3, of 4, of noem maar op:
 
f(z) = zn
  de afstand r tot de oorsprong wordt  rn
 •
de hoek wordt n keer zo groot.
 
Dat verklaart een boel.
Het verklaart bijvoorbeeld heel makkelijk dat lijnen door de oorsprong weer lijnen door de oorsprong worden. Immers als alle punten dezelfde hoek hebben, dan hebben daarvan alle beeldpunten dat wéér. Dit geldt dus bij alle machtsfuncties zn, niet alleen maar bij z2.

Je kunt ook een beetje beter snappen hoe bijv. uit een verticale lijn een parabool tevoorschijn kwam (bij f(z) = z2 ).
Hiernaast is vier keer een punt van een verticale lijn gekozen. Door de lengte van de lijn naar de oorsprong te kwadrateren en de hoek te verdubbelen krijg je de beeldpunten (in de tekening met dezelfde kleur). Het verklaart natuurlijk niet de exacte formule, maar wel ongeveer de vorm van de beeldfiguur.

 
   

   

lineaire functies

   

formule van Euler

2. Toon aan dat de lijn y = b bij de functie f(z) = z2  verandert in  x = y2/4b2 - b2
         
3. Teken in het complexe vlak de rechthoek met hoekpunten  2 + i,  2 + 4i, 8 + i en  8 + 4i.
Op deze rechthoek wordt de functie f(z) = z2 toegepast.
Bereken de coördinaten van de vier hoekpunten van het beeld van deze rechthoek, en schets de beeldfiguur.
         
4. Teken in het complexe vlak de punten z = r • (cosφ + i • sinφ) waarvoor geldt  r ≤ 2  en  -1/8π φ   -1/8π
         
  a. Teken het beeld van deze figuur bij de functie f(z) = z2.
     
  b. Teken het beeld van deze figuur bij de functie f(z) = z3.
     
  c. Bij welke functie f(z) = zn wordt de beeldfiguur precies een cirkel?
       
n = 8
5. a. We kiezen de verzameling van punten z die op de parabool y = x2 liggen met -2 ≤ x 2.
Op die punten passen we de functie  f(z) = z2 toe.
Schets m.b.v. je GR wat dat voor beeldfiguur oplevert.
   
x(t) = t4 - t2  en  y(t) = 2t3
  b. Op de punten van de lijn y = 1 wordt de functie  f(z) = z3 toegepast.
Schets m.b.v. je GR wat dat voor beeldfiguur oplevert.
     
x(t) = t3 - 3t en  y(t) = 3t2 - 1
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)