De stelling van Ceva

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Dit is echt een geweldige stelling!!
Vooral omdat je er zoveel verschillende dingen in driehoeken mee kunt bewijzen.
Laten we daarom snel beginnen....
       
Teken in een willekeurige driehoek de lijnen AP, BQ en CR vanaf de hoekpunten ergens naar de tegenoverliggende zijden, en zorg ervoor dat die drie lijnen door één punt gaan (als je er twee hebt gekozen ligt de derde dus vast)

Dan zegt de stelling van Ceva:

   
   
Voor het bewijs heb je niet veel meer nodig dan gelijkvormigheid in een zandloperfiguur.
Hieronder links is een lijn PQ evenwijdig aan AC door punt B getekend. Rechts daarvan zie je dat je dan drie zandloperfiguren kunt vinden.
       

       
Onder die drie zandloperfiguren staan steeds verhoudingen die gelijk zijn. Controleer even of je het er mee eens bent....

Nou zit in beide zandlopers 1 en 2 de zijde BQ, en in de zandlopers 1 en 3 zit beiden zijde  BP.
Daarom gaan we de verhoudingen daar onder die zandlopers anders schrijven:
       

       
En daarmee is de stelling van Ceva bewezen.
       
Gevolgen.

Deze stelling maakt een aantal bewijzen met andere lijnen in een driehoek een stuk makkelijker. We zullen er een paar bekijken. Meestal zullen we stelling andersom gebruiken:  ALS de verhoudingen 1 opleveren DAN gaan de drie lijnen door één punt.

Ik zal het voor de drie belangrijkste Cevianen aantonen, dat zijn de zwaartelijnen, de bissectrices en de hoogtelijnen van een driehoek.
   
1. zwaartelijnen.  
   
Zwaartelijnen lopen van een hoekpunt van een driehoek naar het midden van de tegenoverliggende zijde, dus zijn al die drie verhoudingen  AZ/ZB = BX/XC = CY/YA = 1.  Dat geeft direct het product  1 · 1 · 1 = 1. Dus geldt de stelling van Ceva, dus hebben we nu bewezen dat de drie zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan.
   
2. bissectrices.  
   
Om de stelling van Ceva voor de bissectrices te kunnen gebruiken hebben we eerst een andere stelling nodig. En dat is de volgende (bij de figuur hiernaast).
 
In een driehoek verdelen de bissectrices vanuit een hoek de
overliggende zijde in twee stukken waarvan de verhoudingen gelijk zijn aan de verhoudingen van de aanliggende zijden van die hoek.


Voor de driehoek, hiernaast zou dat betekenen dat  CD/BD = AC/AB

Het bewijs van deze stelling zie je het handigst door naar de oppervlaktes van de twee driehoeken ABD en ACD te kijken.
Die hebben beiden de rode hoogtelijn x vanuit hoek A. Dus is de verhouding van die oppervlaktes gelijk aan de verhouding van de basissen:  oppACD/oppABD = CD/BD
Die hebben ook beiden de blauwe hoogtelijnen h (en die zijn even groot omdat D op de bissectrice ligt en dus gelijke afstanden tot AC en AB heeft). Dat geeft de verhouding:  oppACD/oppABD = AC/AB
       
Omdat die verhoudingen van de oppervlaktes gelijk moeten zijn geldt dan direct dat CD/BD = AC/AB
       
Als je alle drie de bissectrices in de figuur hiernaast bekijkt, dan betekent deze stelling dat   CD/BD = AC/AB    en  BF/FA = BC/AC  en  AE/EC = AB/BC 

vermenigvuldig deze drie met elkaar en je krijgt:
 CD/BD •  BF/FAAE/EC  = AC/AB  BC/AC •  AB/BC = 1 (alles valt weg)
Daarmee geldt de stelling van Ceva, dus snijden de bissectrices elkaar in één punt.

       
3. hoogtelijnen.    
       
Zie de figuur hiernaast (met de hoogtelijnen van de driehoek getekend) en kijk naar de driehoeken ADC en BEC.
Die hebben beiden een rechte hoek, en ze hebben beiden hoek C, du zijn die driehoeken gelijkvormig, en dus gelden de verhoudingen: CE/DC = BE/AD.
Op precies dezelfde manier zie je met twee andere hoogtelijnen dat
AF/EA = CF/BE  en ook dat BD/FB = AD/CF.

Ceva proberen dan maar:
AF/FBBD/DCCE/EA  
(herrangschikken) = CE/DCAF/EABD/FB
(verhoudingen gebruiken) = BE/ADCF/BEAD/CF = 1  (alles valt weer weg)
Dus de stelling van Ceva klopt voor de hoogtelijnen, dus ze gaan door één punt.

q.e.d.

       
         
OPGAVEN
         
1. Het punt van Gergonne.
     

  Teken in een driehoek ABC de ingeschreven cirkel. Noem de raakpunten van de driehoek met de cirkel P, Q en R zoals in de figuur hiernaast..
     
  a. Toon aan dat  AQ = AR en BR = BP en CP = CQ.
     
  b. Gebruik het resultaat van vraag a) om aan te tonen dat de lijnen AP en BQ en CR door één punt G gaan.
     
  Dat punt G heet het "punt van Gergonne".
         
2. Het punt van Lemoine
         
  Een simmediaan vanuit een hoekpunt van een driehoek is de lijn die je krijgt als je de zwaartelijn vanuit dat punt spiegelt in de bissectrice van dat punt (zie hiernaast; de hoeken die s en z met b maken zijn dus gelijk).

Er geldt dat de simmedianen van een driehoek elkaar snijden in één punt; het punt van Lemoine. Dat gaan we uiteraard bewijzen.

Dat gaan we doen via de oppervlakten van allerlei driehoeken.
Als je AB als basis kiest krijg je de oppervlakte O = 0,5 • AB • hC
Als je BC als basis kiest krijg je de oppervlakte  O = 0,5 • BC • AC • sinC

         
  a. Toon deze laatste formule aan.    
         
  b. Toon aan dat in de figuur hierboven geldt  ∠ACSC = ∠BCM
         
  c. Schrijf de verhouding van de oppervlaktes van de driehoeken ACSC en BCM op twee manieren op.
         
  d. Schrijf de verhouding van de oppervlaktes van de driehoeken ACM en BCSC op twee manieren op.
         
  Uit de antwoorden op de vragen c. en d. kun je concluderen dat moet gelden:
 

         
  e. Toon dit aan.    
         
  f. Schrijf ook zulke verhoudingen voor de andere hoekpunten van de driehoeken op, en laat daarna zien dat uit deze drie verhoudingen eenvoudig volgt dat de drie simmedianen van een driehoek door één punt gaan:  het punt van Lemoine.
         
3. Stel dat je drie Cevianen  AD, BE en CF van een driehoek ABC hebt.
Als je de punten D, E en F dan spiegelt in de middens van de zijden waarop ze liggen, dan krijg je drie nieuwe lijnen vanuit A, B en C.

Toon aan dat deze drie nieuwe lijnen ook Cevianen zijn.
         
4. Het punt van Nagel.
         
  De uitcirkel  van een driehoek kun je krijgen door de zijden te verlengen en dan een cirkel te tekenen buiten de driehoek die raakt aan één zijde en twee van die verlengde zijden. Hiernaast zie je de uitcirkel van punt A.

Die uitcirkel raakt zijde BC in punt P.
Als je voor elk hoekpunt zo'n uitcirkel zou tekenen dan krijg je de raakpunten P, Q en R.

Het blijkt dat AP en BQ en CR elkaar in één punt snijden. het zogenaamde punt van Nagel.

Dat ga je nu bewijzen.......
         
  Eerst moet je bewijzen dat punt P, vanaf A gerekend, precies halverwege de omtrek van de driehoek ligt. Dat is te bewijzen met behulp van de volgende stelling:
         
  Teken vanuit een punt K buiten een cirkel twee raaklijnen aan de cirkel. Die raken de cirkel in de punten R en S. Dan geldt KR = KS.

     
  a. Toon deze stelling aan.
     
  In de eerste figuur hierboven zou je deze stelling voor punt A, voor punt B en voor punt C kunnen gebruiken.
     
  b. Toon daarmee aan dat P inderdaad vanaf A halverwege de omtrek van de driehoek ligt.
         
  c. Noem de omtrek van de driehoek O, en toon aan dat dan geldt:
   

   
         
  d. Stel ook zulke vergelijkingen op voor de uitcirkels van de andere twee hoekpunten van de driehoek en laat daarna met de stelling van Ceva zien dat de lijnen AP, BQ en CR inderdaad door één punt gaan:  het punt van Nagel.
         
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)