h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Nog een bewijs van de stelling van Ceva.
       
Bekijk twee zijden l en m van een driehoek en een transversaal t vanuit punt A

Kies twee punten P1 en P2 op t en noem de projecties van die punten op de zijden van de driehoek  Q1, Q2 en R1, R2.
Zie de figuur.

Omdat de driehoeken AP1Q1 en AP2Q2 gelijkvormig zijn geldt:
AP1/P1Q1 = AP2/P2Q2   dus   AP1/AP2 = P1Q1/P2Q2

En omdat hetzelfde geldt voor de driehoeken AP1R1 en AP2R2
geldt dus ook  AP1/AP2 = P1R1/P2R2 

       
Daaruit volgt dat P1Q1/P2Q2 = P1R1/P2R2  en dus ook  P1Q1/P1R1 = P2Q2/P2R2 

Tussenconclusie: 

De afstanden van alle punten P van een transversaal tot de twee zijden van de driehoek
 hebben dezelfde verhouding tot elkaar.

 
Bekijken we nu een snijpunt S van twee transversalen t1 en t3.
Als de afstanden van S tot AB en AC  verhouding v1 hebben en de afstanden van S tot BC en BA verhouding v2,
dan geldt voor punt S dat   d(S,AB)/d(S, AC) = v1 en  d(S, BC)/d(S, BA) = v2
Maar dan is v1v2 = d(S, BC)/d(S, AC) = 1/v3  
Daaruit volgt direct  v1v2v3 = 1 
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)