© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. AG = AG
GR = GQ (straal cirkel)
∠AQG = ∠ARG  (rechte hoek cirkel-raaklijn)
Dus de driehoeken AQG en ARG zijn congruent (ZZR)
Dus is  AQ = AR

Op precies dezelfde manier zijn de driehoeken BRG en BPG congruent
Op precies dezelfde manier zijn de driehoeken CQG en CPG congruent.

       
  b. AR/RB • BP/PC • CQ/QA
= AQ/RB • RB/PC • PC/QA   (gebruik het resultaat van vraag a))
= (AQ • RB • PC)/(RB • PC • AQ)
= 1

Dus gaan de drie lijnen door één punt. 		 
       
2. a. O = 0,5 • BC • hA
sinC = hA/AC  dus  hA = AC • sinC
Dus O = 0,5 • BC • AC • sinC

     
  b. ∠ACD = ∠BCM (b is bissectrice)
∠ScCD = ∠MCD(s is gespiegelde van z)
∠ACD - ∠ScCD = ∠BCM - ∠MCD
∠ACSc = ∠BCM
       
  c. Oppervlakte ACS is  0,5 • AS • hC
Oppervlakte BMC is  0,5 • BM • hC
De verhouding is dan   AS/BM  

Oppervlakte ACSc is  0,5 • AC • hS = 0,5 • AC • CSc • sin∠ACSc
Oppervlakte BMC is 0,5 • BC • hM = 0,5 • BC • CM • sin∠BCM
Maar omdat die hoeken gelijk zijn, zijn de sinussen ook gelijk
Dus de verhouding is  (AC • CSc)/(BC • CM) 

Die verhoudingen zijn gelijk, dus    ASc/BM = (AC • CSc)/(BC • CM) 
       
  d. Oppervlakte ACM is  0,5 • AM • hC
Oppervlakte BCS is  0,5 • BSc • hC
De verhouding is dan  AM/BSc

Oppervlakte ACM is  0,5 • AC • hM = 0,5 • AC • CM • sin∠MCA
Oppervlakte BCSc is  0,5 • BC • hM = 0,5 • BC • CSc • sin∠ScCB
Maar omdat die hoeken gelijk zijn, zijn de sinussen ook gelijk
Dus de verhouding is  (AC • CM)/(BC • CSc) 

Die verhoudingen zijn gelijk, dus   AM/BS = (AC • CM)/(BC • CSc) 
       
  e. De resultaten van c en d:  
AS/BM = (AC • CSc)/(BC • CM)   ...(1)
AM/BS = (AC • CM)/(BC • CSc)    ...(2)

uit (1) volgt:   CM/CSc = (AM • BC)/(BSc • AC)
uit (2) volgt:  CM/CSc = (BM • AC)/(BC • ASc)
Die moeten dus gelijk aan elkaar zijn;    (AM • BC)/(BSc • AC) = (BM • AC)/(BC • ASc)

Herrangschikken:  (AM • ASc)/(BSc • BM) = AC²/BC²
Maar AM = BM want M was het zwaartepunt; dus  ASc/BSc = AC²/BC²
       
  f. Op precies dezelfde manier geldt met de andere zwaartelijnen:
vanuit A:  CSa/BSa = CA²/BA²
vanuit B:  ASb/CSb = AB²/CB²

Dan geldt:   ASc/BSc • BSa/CSa • CSb/ASb =  AC²/BC² • BA²/CA²  •  CB²/AB² =  1

De drie lijnen zijn dus Cevianen, dus gaan ze door één punt.
       
3. Spiegel punt S in M; dat geeft S'
Uit de symmetrie volgt  AS = S'B  en   BS = AS'
Dus  AS'/S'B = BS/AS  = (AS/BS)-1

Alle drie de verhoudingen (in de stelling van Ceva) worden het omgekeerde, dus met elkaar vermenigvuldigd ook, maar dan blijft er 1 uitkomen.

Dus zijn de nieuwe lijnen weer Cevianen.

       
4. a. KM = KM
MR = MS (straal cirkel)
∠MRK = ∠MSK = 90º
Dus de driehoeken MRK en MSK zijn congruent
Dus is KR = KS

       
  b. De regel uit de vorige vraag betekent dat de rode lijnstukken hiernaast gelijk zijn, en ook de blauwe en ook de groene.

Rood = AB + blauw = AB + BP aan de onderkant
Rood = AC + groen = AC + CP aan de bovenkant

Dus AB + BP = AC + CP  dus P ligt vanaf A halverwege de omtrek van de driehoek ABC.
     
  c. AB + BP = 0,5O  dus  BP = 0,5O - AB
AC + CP = 0,5O  dus  CP = 0,5O - AC
Dan is  BP/CP = (0,5O - AB)/(0,5O - AC)
       
  d. AQ/CQ = (0,5O - AB)/(0,5O - BC)
AR/BR = (0,5O - AC)/(0,5O - BC)

AR/RB • BP/PC • CQ/QA =    (0,5O - AC)/(0,5O - BC) •  (0,5O - AB)/(0,5O - AC)• (0,5O - BC)/(0,5O - AB) = 1

Kortom:  het zijn Cevianen; dus gaan ze door één punt.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)