Hoeken.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Gelijke hoeken opsporen.

Om congruente driehoeken op te kunnen sporen is het dus nodig om gelijke hoeken en gelijke zijden te vinden. We zullen deze les bekijken welke tactieken daarvoor te gebruiken zijn. Eerst voor gelijke hoeken, daarna voor gelijke zijden.

Voor gelijke hoeken zijn er drie basisfiguren:
   
F-HOEKEN.

Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de hoeken hiernaast gelijk.

   
Z-HOEKEN.

Ook hier worden twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde, en zijn de hoeken hiernaast gelijk.

   
X-HOEKEN.

Ook wel overstaande hoeken genoemd.
Als twee lijnen elkaar snijden dan zijn de hoeken tegenover elkaar twee aan twee gelijk.

   

"Ho, maar wacht eens even", hoor ik je al denken. Alles moest toch zo netjes en logisch bewezen worden? Waar is dan het bewijs van deze drie stellingen?
Nou....zucht.... vooruit dan maar, daar gaan we.....

   
Euclides bewijst eerst (propositie 13) dat als een lijn een andere lijn snijdt, de hoeken aan n kant samen twee rechte hoeken zijn (dus 180).
Hij tekent vanaf het hoekpunt een lijn die wl twee rechte hoeken maakt (de stippellijn hiernaast).
Daarin zie je dat b + c = 90  en a = 90.
Dus zijn ze samen a + b + c = 90 + 90 = 180.
   
Daarna bekijkt hij de figuur hiernaast  (propositie 15).
a + b = 180   (vorige stelling)
a + d = 180   (vorige stelling)
Dus  a + b =  a + d  en als je dan van beiden a aftrekt hou je over b = d
Op dezelfde manier bewijs je dat  a = c.

   
Het gelijk zijn van de X-hoeken was vrij makkelijk te bewijzen. Daarom heb ik dat voor je gedaan, en laat ik de F-hoeken en de Z-hoeken maar aan jou over in de volgende twee opgaven.
   
1. In opgave 4 van de vorige les bewezen we de volgende stelling (propositie 16)
     
 

de buitenhoek van een hoek van een driehoek is groter
dan elk van beide andere hoeken van die driehoek.

     
  Daarmee gaan we bewijzen dat, als de twee Z-hoeken hiernaast gelijk zijn, dat dan ook de twee lijnen evenwijdig zijn  (propositie 27).

Stel dat de rode hoeken gelijk zijn, en dat de twee lijnen AB en CD elkaar toch ergens in een punt P aan de rechterkant snijden. Dan is er dus een driehoek PEF.

     
  a. Toon met de stelling aan het begin van deze opgave aan dat dat onmogelijk is.
     
  b. Toon aan dat AB en CD evenwijdig moeten zijn.
     

  c. Toon aan dat hieruit volgt dat ook bij twee gelijke F-hoeken zoals hiernaast, de lijnen AB en CD evenwijdig zijn. (propositie 28).
       
2. Uit opgave 1 weet je nu dat, ls de Z-hoeken of de F-hoeken gelijk zijn, dat dan ook de lijnen evenwijdig zijn. In deze opgave ga je de omgekeerde stelling bewijzen  (propositie 29):
       
 
als de lijnen evenwijdig zijn, dan zijn de Z-hoeken gelijk.

     
  Stel dat de twee hoeken hiernaast NIET gelijk aan elkaar zijn, bijvoorbeeld dat ∠AEF > ∠DFE.
     
  a. Tel bij beide hoeken in deze ongelijkheid ∠FEB op, en laat vervolgens met postulaat 5 van Euclides zien dat de lijnen elkaar dan moeten snijden.
     
  b. Bewijs hiermee dat de Z-hoeken gelijk zijn.
       
  c. Bewijs dat dan ook de F-hoeken gelijk zijn.
     
Nog meer stellingen over hoeken:  
   
Hier volgen nog een aantal stellingen die je kunt gebruiken om gelijke hoeken te vinden.
   
1.  Hoekensom Driehoek.  
 

De som van de hoeken van een driehoek is 180

 
Het bewijs is met behulp van F-hoeken en Z-hoeken heel eenvoudig. Neem driehoek ABC en verleng BC tot BCD. Teken een lijn CE evenwijdig aan BA.
De blauwe driehoekjes zijn Z-hoeken, dus gelijk aan elkaar
De rode cirkels zijn F-hoeken dus ook gelijk aan elkaar.
De som van de hoeken van de driehoek is een rode cirkel plus een blauwe driehoek plus een groen vierkant.
Bij punt C zie je dat die drie samen precies een rechte lijn vormen, dus 180 zijn.
 
2.  Gelijkbenige driehoek.  
   

In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot

 
   
Het bewijs daarvan hebben we al uitgebreid in opgave 1 van de vorige les geleverd.  
   
3. De stelling van de buitenhoek.

 

De buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van
de twee tegenoverliggende binnenhoeken.

 
Het plaatje hiernaast hoort daarbij. Daarin is dus de rode hoek gelijk aan de groene plus de blauwe. Het bewijs van deze stelling vind ik te eenvoudig om te noemen. Zoek het zelf maar uit (het staat in feite al bij het bewijs van de hoekensom van een driehoek)
   
4.  raaklijnen aan een cirkel.

 

De raaklijn aan een punt R van een cirkel
met middelpunt M staat loodrecht op MR.

 
Het bewijs dat Euclides hier levert is wat uitgebreider. Je kunt het hiernaast wel vinden.
 
5.  de middenparallel van een driehoek.  
   
Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbindt heet de middenparallel. Die heeft de volgende interessante eigenschap:
 

De middenparallel van een driehoek is evenwijdig
aan de derde zijde van die driehoek

 
Het bewijs is eenvoudig:
CB = 2 CN  en   CA = 2 CM  dus de driehoeken CMN en CAB zijn gelijkvormig (zhz, want beiden hebben hoek C)
Dus is ∠CMN = ∠CAB en zijn MN en AB evenwijdig (F-hoeken)
q.e.d.
   
Bedenk dat deze stelling ook de andere kant op geldt:  als je een lijn door het midden van een zijde tekent evenwijdig aan de andere zijde, dan is dat de middenparallel en gaat hij dus door het midden van beide zijdes (het bewijs daarvan gaat op dezelfde manier als hierboven:  door aan te tonen dat de driehoeken CMN en CAB gelijkvormig zijn).
   
   
Gelijke zijden opsporen.

Daarvoor zijn er veel minder mogelijkheden.
Deze schieten mij te binnen:
   

In een cirkel zijn alle afstanden van het middelpunt naar een willekeurig punt op de omtrek gelijk (namelijk gelijk aan de straal).
   

Als een driehoek twee gelijke hoeken heeft, dan is hij gelijkbenig en dan zijn de zijden die aan de derde hoek vastzitten gelijk (dit is de stelling van de gelijkbenige driehoek maar dan andersom).
   

Als een driehoek drie gelijke hoeken heeft (van 60 dus) dan is hij gelijkzijdig en zijn alle drie de zijden even lang.
   
Een vierkant heeft vier gelijke zijden (maar ja, dat wist je waarschijnlijk al wel....).
   
Nou, daar moet je het mee doen......
Veel plezier met de volgende "puzzel"-opgaven.
Bij de moeilijkere opgaven staan af en toe hints gegeven. Probeer uiteraard eerst of je zonder deze hints de opgave kunt oplossen. Geef niet te snel op!  Spiek alleen als je echt helemaal hopeloos vast zit.

Dus niet al na een uur of zo, maar pas na een weekend....
   
OPGAVEN
   
3. Gegeven is een driehoek ABC waarin de bissectrice AD van hoek A is getekend.
Door B is een lijn BE getekend die evenwijdig is aan die bissectrice. E is het snijpunt van die evenwijdige lijn met het verlengde van zijde AC.

Toon aan dat  EA = BA.

     
4. Hiernaast staan twee evenwijdige lijnen (l en m) die worden gesneden door een derde lijn. De stippellijnen AS en BS delen de hoeken  bij A en B doormidden.
Toon aan dat de hoek bij S een rechte hoek is.

     
5. Van twee even grote hoeken A en B snijden de benen elkaar zoals in de figuur hiernaast.

Toon aan dat  ∠ECF = ∠DGF

     
6. Gegeven is een rechthoek ABCD met diagonaal DB.
E is een willekeurig punt op het verlengde van DC.
EF is evenwijdig aan DB en snijdt het verlengde van AB in F.

Toon aan dat  AE = CF.

     
 
hint:   ACF AEF
 
     
7. Hiernaast zie je drie vierkanten met daarin de driehoeken ADC en DBC.
Toon aan dat  ∠CAD + ∠CDB = ∠CBE
 
hint: CAB ~ DCB
 
     
8. ABCD is een vierkant. E is een willekeurig punt op DC en F is een willekeurig punt op het verlengde van AB.
H ligt op het verlengde van BC zodat AH loodrecht op EF staat.

Toon aan dat  EF = AH

     
9. In driehoek ABC delen de lijnen CD en BE de hoeken bij C en B doormidden.
F is een punt op het verlengde van CD zodat ∠BCD = ∠DBF.

Toon aan dat dan geldt  SF = BF.

     
10. Van een gelijkbenige driehoek ABC is A de top en BC de basis.
AD deelt hoek A doormidden.
P is een willekeurig punt op AD.
BP en CP snijden de andere zijden van de driehoek in de punten Q en R.
Toon aan dat RC = QB.
 
hint 1: APC    APB
hint 2:   CPR   BPQ
 
     
11. In driehoek ABC zijn P en Q punten op AB en BC zodat BP = BQ
QS is de lijn vanaf Q loodrecht op BC en PR is de lijn van P loodrecht op AB.
PR en QS snijden elkaar in T.

Toon aan dat PT = TQ.
 

 
hint1:    BRP   BSQ
hint2:    STP   QTR
 
     
12. In een cirkel met middelpunt M wordt een diameter PQ getekend, en ook een raaklijn in een willekeurig ander punt R van de cirkel.

Teken de lijnen door P en Q die de raaklijn loodrecht snijden in S en T.
Dan blijkt te gelden dat MS = MT

Toon dat aan.

 
hint 1:    teken de lijnen door P en M evenwijdig aan de raaklijn
hint 2:  toon aan dat SR = RT
   
         
13. Hoeveel graden zijn de twaalf hoeken hieronder samen?
Gebruik vooral vaak de stelling van de buitenhoek!
         
 

     
720
       
14. Aan een cirkel worden vanuit punt P twee raaklijnen PA en PB getrokken zodat  PA = PB = x

De raaklijn vanuit een willekeurig punt C op boog AB snijdt de twee eerdere raaklijnen in Q en R.

Toon aan dat de omtrek van driehoek PQR gelijk is aan 2x

 

         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)