Raaklijnen aan een cirkel.
   
We beginnen het bewijs met een eerste hulpstelling  (propositie 18):  
   
In een driehoek ligt tegenover een grotere zijde
ook een grotere hoek.

 
Stel dat in driehoek ABC hiernaast geldt  AC > AB
Teken dan een punt D op AC zodat AD = AB.
Dan is ∠ADB de buitenhoek van driehoek BDC, en daarom groter dan de tegenoverliggende binnenhoeken.
Dus  ∠ADB  > ∠BCA
Maar omdat  AB = AD is driehoek ABD gelijkbenig en zijn de basishoeken gelijk.
Dus omdat  ∠ABD = ∠ADB geldt ook dat  ∠ABD  > ∠BCA
q.e.d.		  
   
De tweede stelling is het omgekeerde van deze  (propositie 19).

 
In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek
ook een grotere zijde.
   
Stel dat in de driehoek hiernaast geldt  ∠ABC > ∠BCA
Dan moeten we dus bewijzen dat daaruit volgt  AC > AB

Dat kan eenvoudig door te laten zien dat de andere twee mogelijkheden op onzin uitkomen:
Als AC = AB dan is ABC gelijkbenig en zouden de hoeken ABC en BCA gelijk zijn
Als AC < AB dan zou tegenover AB de grotere hoek liggen volgens de vorige stelling, dus zou BCA > ABC.
Beiden is onmogelijk, dus  AC > AB

Goed, dan nu naar de raaklijn....
   
Neem een cirkel met middelpunt M en een lijn die loodrecht op MR staat, zoals hiernaast.

Eerst gaan we bewijzen dat die loodrechte lijn helemaal buiten de cirkel ligt.
Stel dat die lijn deels binnen de cirkel ligt, dan verlaat hij de cirkel in een tweede punt S zoals hieronder overdreven is getekend.

 

   
Maar omdat MS en MR beiden de straal r van de cirkel zijn, is driehoek MRS gelijkbenig, en zou ook hoek MSR 90º zijn (gelijk aan ∠MRS). Dat zou een driehoek met twee hoeken van 90º opleveren, en dat is onmogelijk.
Kortom, zo'n tweede snijpunt S bestaat niet, dus ligt de lijn helemaal buiten de cirkel.
   
Tot slot laten we zien dat er niet nog een andere lijn tussen deze lijn en de cirkel in kan liggen die ook een rechte hoek met MR maakt.
Stel dat dat wel zo zou zijn; dat lijn SR ook loodrecht op MR zou staan en ook geheel buiten de cirkel zou, liggen, zoals hiernaast geschetst.

Trek lijn MT loodrecht op die SR.
In driehoek MRT is hoek MTR gelijk aan 90º en dat is dus de grootste hoek in de driehoek. Daartegenover ligt volgens de stelling hierboven de langste zijde.
Dus is MR de langste zijde van driehoek MTR.
MR is dus groter dan MT, dus ligt punt T binnen de cirkel want MT is kleiner dan de straal van de cirkel.
Dat is in tegenspraak met het gegeven dat ST buiten de cirkel ligt.

   
Kortom;  de oorspronkelijke lijn door R loodrecht op MR ligt in zijn geheel buiten de cirkel, en er is geen andere lijn buiten te vinden die ook een hoek van 90º met MR maakt:  het is dus de raaklijn.

q.e.d.