Euclides elementen


Euclides.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wie zegt "bewijzen" zegt "Euclides".

In het begin van de derde eeuw voor Christus schreef deze Griekse wiskundige uit Alexandrië een enorm meetkundig en rekenkundig verzamelwerk, genaamd :"De Elementen". Het bestond uit maar liefst 13 boeken, van elk weer twee delen.
Het werd één van de meest invloedrijke werken in de geschiedenis van de wiskunde.

Het grote belang van dit werk was niet de theorie die er in wordt behandeld. Die is niet superspectaculair.....

De meeste stellingen uit de Elementen waren niet eens door Euclides zelf ontdekt, maar waren het werk van eerdere Griekse wiskundigen (zoals onze oude bekende Pythagoras).

Wat de Elementen zo speciaal maakt is de logische formele opbouw van de stellingen.

De Elementen beginnen met een aantal definities. Dat zijn afspraken over wat we verstaan onder punten en lijnen, en hoeken. Wat scherp, stomp recht is, wat een cirkel is, en ga zo maar door. Drieëntwintig afspraken maar liefst. Een soort woordenlijst eigenlijk.

Daarna begint de echte wiskunde pas. Er volgen vijf zogenaamde axioma's. Het worden ook wel postulaten genoemd. Dat zijn stellingen die niet bewezen worden, maar waarvan de waarheid wordt aangenomen:

P1.	Je kunt tussen twee punten een rechte lijn tekenen
P2.	Je kunt een eindig lijnstuk verlengen tot een oneindig lange lijn.
P3.	Je kunt een cirkel met een bepaald middelpunt en een bepaalde straal tekenen.
P4.	Alle rechte hoeken zijn gelijk aan elkaar.
P5.	Als een rechte lijn twee andere rechte lijnen snijdt, en de binnenhoeken aan dezelfde kant zijn samen minder dan twee rechte hoeken, dan zullen die twee lijnen, als je ze doortrekt, elkaar snijden aan die kant.

Het laatste postulaat ziet er wat ingewikkeld uit. Er hoort het plaatje hiernaast bij. Als de rode en de groene hoek samen minder dan 180º zijn, dan zullen de twee lijnen in de richting van de pijlen elkaar ergens snijden.

Deze vijf postulaten zijn erg belangrijk want het zijn eigenlijk de bouwstenen waarmee Euclides de rest van zijn werk gaat opbouwen. Als je het hier niet mee eens bent kun je net zo goed niet verder lezen. En als je het hier wel mee eens bent, dan zul je het ook met alle volgende stellingen eens moeten zijn, want die volgen hier allemaal uit.

Tenslotte geeft Euclides voordat hij echt begint vijf algemeenheden. Dat zijn een soort algemene "logische waarheden", zaken waarmee ieder normaal denkend mens het wel eens moet zijn volgens Euclides:

A1.	Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde, zijn gelijk aan elkaar
A2.	Als gelijken bij gelijken worden opgeteld, zijn de resultaten weer gelijk
A3.	Als gelijken van gelijken worden afgetrokken, zijn de resultaten weer gelijk
A4.	Dingen die met elkaar samenvallen zijn gelijk aan elkaar
A5.	Het geheel is groter dan een deel.

En dan kan het bewijzen beginnen......
Een groot deel van de Elementen gaat over meetkundige constructies. Euclides beschrijft en bewijst hoe je met alleen een passer en een liniaal (zonder schaalverdeling) allerlei meetkundige figuren kunt maken.

Om je een beetje een idee te geven van hoe dat er allemaal uit ziet volgen hier de eerste paar stellingen uit boek I. Erachter tussen haakjes staat steeds welk postulaat (P) of welke algemeenheid (A) of welke eerdere stelling (S) gebruikt is. De letter (D) betekent dat het uit de definities komt (zo is een cirkel bijvoorbeeld gedefinieerd als de verzameling van alle punten die gelijke afstand tot het middelpunt hebben).

Stelling 1. Je kunt met een lijnstuk AB een gelijkzijdige driehoek te construeren.

constructie:
• begin met lijnstuk AB.
• teken een cirkel met middelpunt A en straal AB. (P3)
• teken een cirkel met middelpunt B en straal AB. (P3)
• teken de lijnen CA en CB waarbij C een snijpunt van de cirkels is. (P1)
Nu is driehoek ABC gelijkzijdig.

bewijs:
A is het midden van de ene cirkel, dus AC = AB. (D)
B is het midden van de andere cirkel dus BC = AB. (D)
Als AC = AB en BC = AB dan is AC = BC (A1)

Stelling 2: Je kunt met een gegeven punt A en lijnstuk BC en lijnstuk construeren waarvan A een eindpunt is, en dat gelijk is aan BC

constructie:
• Teken lijnstuk AB. (P1)
• Construeer gelijkzijdige driehoek DAB. (S1)
• Verleng DA en DB. (P2)
• Teken de cirkel met middelpunt B en straal BC. (P3)   geeft punt E.
• Teken de cirkel met middelpunt D en straal DE. (P3) geeft punt F.
• AF is het gezochte lijnstuk.

bewijs:
BC = BE (cirkel) (D)
DF = DE (cirkel) (D)
DA = DB (gelijkzijdige driehoek).
dus DF - DA = DE - DB
dus AF = BE   (A3)   ...(1)
BC = BE (cirkel) (D)   ...(2)
AF = BC (A1) + (1)(2)

Let nog even op die blauwe (1) en (2). Het is handig om regels die je later (hier helemaal op het eind) in het bewijs weer nodig hebt, zelf een nummer te geven, dan kun je ernaar verwijzen.
De laatste drie regels van het bewijs kun je misschien ook handig zó opschrijven:

Stelling 3. Bij twee ongelijke lijnstukken kun je van de grotere een deel afsnijden dat gelijk is aan de kleinere.

constructie:
• Noem het kortere lijnstuk AB en het langere CD
• Verplaats AB naar punt C (S2) geeft CE
• Teken de cirkel met middelpunt C en straal CE (P3) geeft punt F
• CF is het gezochte deel.

bewijs.
zelf doen. makkie!

En zo gaat Euclides maar door en door met stellingen die steeds weer op logische wijze volgen uit de vorige stellingen.
Als je de smaak te pakken hebt gekregen: de volledige tekst van de Elementen kun je vinden op:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

En nu zelf .... Euclidesje spelen.....

Oké, laten we even in de schoenen (sandalen?) van Euclides gaan staan en zelf proberen een paar van zijn proposities (stellingen) af te leiden.

OPGAVEN

propositie 4 luidt als volgt:

Als twee driehoeken twee zijden gelijk hebben,
en ook de hoek daartussen is gelijk,
dan zijn de driehoeken identiek.

Dat "identiek" noemen we in de wiskunde "congruent" en het betekent dat alle zijden en hoeken gelijk zijn.

Neem de twee willekeurige driehoeken uit het plaatje hiernaast, waarvan inderdaad twee zijden en de hoek daartussen gelijk zijn.
Dit zijn de stappen van Euclides:

Leg punt A op punt D en zijde AB op zijde DE
Toon aan dat punt F dan met C samenvalt.

Leg uit dat dan BC en EF samenvallen, dus dat "alles" van de driehoeken samenvalt (alle zijden en alle hoeken)

Deze propositie zullen we vanaf nu afkorten met (ZHZ): zijde-hoek-zijde. Het is één van de zogenaamde "congruentie-eigenschappen" van driehoeken. In de volgende les zullen we er meer zien.

propositie 5. luidt als volgt:

Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken

Hiernaast is een gelijkbenige driehoek ABC getekend met AB = AC. Daarvan zijn AB en AC verlengd. Punt F is willekeurig op het verlengde van AB gekozen. Daarna is punt G op het verlengde van AC gekozen zodat AF = AG.

Toon aan dat ACF ≅ ABG. Gebruik de ZHZ eigenschap.
Leg uit dat daaruit volgt dat ∠ACF = ∠ABG

Toon aan dat BFC ≅ CGB.
Leg uit dat daaruit volgt dat ∠CBG = ∠BCF

Toon aan dat uit a) en b) volgt dat ∠ABC = ∠ACB

propositie 7 luidt als volgt:

Twee punten C en D liggen aan dezelfde kant naast lijnstuk AB.
Als AC = AD en BC = BD dan zijn C en D hetzelfde punt.

Stel dat C en D niet hetzelfde punt zijn, dan kun je lijnstuk CD tekenen zoals hiernaast is gebeurd.
Gebruik propositie 5 bij het volgende.
Stel dat AC = AD

Toon aan dat dan geldt: ∠CDB > ∠DCB

Stel dat ook geldt BC = BD

Toon aan dat daaruit volgt dat ∠CDB = ∠DCB en leg daarmee uit waarom lijnstuk CD niet kan bestaan, dus dat C en D wel het zelfde punt moeten zijn.