h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Verhoudingen in rechthoekige driehoeken.
Laten we een rechthoekige driehoek nemen.
Stel dat je de grootte van n van de andere hoeken daarvan ook kent, bijvoorbeeld de hoek met de rode stip hiernaast.
Dan ken je ook de derde hoek, immers je weet vast nog wel dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180.
 
Als je er twee weet, weet je ze alle drie!
 

Maar als alle drie de hoeken van een driehoek bekend zijn, dan zijn er niet zoveel mogelijkheden meer om die driehoek te tekenen.
Zodra je n zijde weet, dan is de hele driehoek bekend. Kijk maar naar de drie tekeningen hieronder waar steeds n van de drie zijden "vast" wordt gelegd, en waar steeds alle drie de hoeken bekend zijn. In alle gevallen is er nog maar n driehoek mogelijk om te tekenen. Bedenk steeds dat de rechte hoek en de rode en de groene hoek bekend zijn!

   

Er is steeds maar n driehoek mogelijk!!!

Eigenlijk zijn al die driehoeken die je nog kunt tekenen met drie zulke hoeken vergrotingen of verkleiningen van elkaar. Ze hebben dezelfde vorm, maar het is alsof je een foto van de driehoek hebt genomen en die daarna hebt vergroot of verkleind.

Als zulke driehoeken vergrotingen of verkleiningen van elkaar zijn, dan zijn de verhoudingen van de lengtes van hun zijden gelijk. Die verhoudingen heten de goniometrische verhoudingen van een rechthoekige driehoek.
   
Bij een straat of weg zijn we daar al aan gewend; daar hebben we vaak te maken met een bepaald hellingspercentage. Een hellingspercentage van 22% betekent bijvoorbeeld dat bij elke meter die je horizontaal aflegt, de weg 0,22 meter stijgt.
Dat betekent in de figuur hiernaast dus dat de verhoudingen van h en x in alle groene driehoeken rechts gelijk zijn (namelijk in dit geval h/x = 0,22).
Die verhouding hangt alleen maar af van de hoek die de weg met een horizontaal vlak maakt.

Bij elke hoek zou je dus alvast die verhouding kunnen uitrekenen. Dat zou trouwens zo'n soort tabel opleveren:

   
hoek 10 20 30 40 50 60 70 80
verhouding h/x 0,176 0,364 0,577 0,839 1,192 1,732 2,747 5,671
   
Die verhouding h/x die bij een hoek hoort heet de tangens van die hoek, en we noteren hem als tana  (waarbij a de hoek is waar het om gaat). Om je nou een boel werk te besparen zijn tabellen als hierboven onder een knop van je rekenmachine gepropt, in dit geval de knop   TAN
Probeer maar uit :  TAN(30) geeft inderdaad de verhouding 0,577 uit bovenstaande tabel. (Als dat niet zo is, dan moet je je rekenmachine eerst instellen op graden; dat gaat via  MODE - Degree)
En je rekenmachine kan het ook omgekeerd: voor elke verhouding kun je de bijbehorende hoek vinden via SHIFT - TAN-1
 
Probeer maar uit dat  TAN-1(1,192) inderdaad een hoek van (ongeveer) 50 oplevert.

   
Hou die twee goed uit elkaar:

   
1. Bereken de vraagtekens in de volgende driehoeken.
       
 

     

5,71 en 3,19 en 2,44

2. Bereken de vraagtekens in de volgende driehoeken.
       
 

     

53,1 en 71,6 en 31,0

3. Een auto rijdt een berg op over een weg met een hellingshoek van 8.
Hoeveel meter is de auto gestegen als hij hemelsbreed 2 km heeft afgelegd?
     

281 meter

       
4. Een vliegtuig daalt onder een hoek van 6
Hoeveel legt het vliegtuig horizontaal af, als het van een hoogte 1200 meter naar de grond moet afdalen?

     

11,4 km

       
       
Nog meer verhoudingen.
In het voorafgaande werd steeds een hoek berekend met behulp van de twee zijden die aan de rechte hoek grenzen (de rechthoekszijden). Maar natuurlijk kun je net zo goed de verhouding van twee andere zijden nemen. Van n van die rechthoekszijden met de schuine zijde dus. Die verhouding ligt net zo goed vast als de hoeken gegeven zijn! En andersom: als die verhouding gegeven is liggen de hoeken van de driehoek ook vast.
Die twee andere verhoudingen heten de sinus en de cosinus van de hoek. Je noteert het als  SIN(a) en COS(a)

Het werkt als volgt:
stap 1. 
Kijk wat de schuine zijde van de driehoek is. Dat is natuurlijk de langste, maar als je dat niet goed kunt zien, kun je het veiligst gebruiken dat het degene tegenover de rechte hoek is.
stap 2
Beslis om welke hoek het gaat. Dus de hoek die je wilt berekenen of een hoek die gegeven is (als je een lengte wilt berekenen).
stap 3.
De schuine zijde heb je al. Dan zijn er nog twee rechthoekszijden over. Degene daarvan die aan jouw hoek vastzit noem je de aanliggende rechthoekszijde, en degene tegenover jouw hoek heet de overstaande rechthoekszijde.
   
stap 4.
Nu geldt:
 

 

Om dit allemaal wat makkelijker te onthouden is het ezelsbruggetje SOS - CAS - TOA misschien handig.
SOS van "Sinus-Overstaand-Schuin", CAS van "Cosinus-Aanliggend-Schuin" en TOA van "Tangens-Overstaand-Aanliggend".
Zeg nu eerst om te oefenen 20 keer hardop dit ezelsbruggetje.
   

   
Voorbeeld 1.
Bereken het vraagteken in de driehoek hiernaast.
Het gaat om de hoek van 62. De schuine zijde is die met het vraagteken (tegenover de rechte hoek). De zijde van 7 is dan de overstaande zijde (tegenover de hoek van 62)
Het gaat dus om de schuine en de overstaande zijden, dus gebruiken we SOS.
sin(62) = 7/?  dus  ? = 7/sin(62) 7,93
   
Voorbeeld 2.
Bereken het vraagteken in de driehoek hiernaast.
De zijde van 7 is de schuine zijde (tegenover de rechte hoek). Het gaat om de hoek met het vraagteken dus de zijde van 4 is dan de aanliggende zijde.
Met aanliggend en schuin gebruiken we CAS.
cos(?) = 4/7  dus  ? = cos-1 (4/7) ≈   55,2

   
Zelf een rechte hoek maken....
   
Af en toe moet je eerst wat voorbereidend werk verrichten voordat je SOS-CAS-TOA kunt toepassen. Dat is vooral zo als er geen driehoek met een rechte hoek is.

Neem de gelijkbenige driehoek links hiernaast. Daarin is geen rechte hoek te vinden, maar als je de loodlijn vanuit de top tekent wl. Omdat de driehoek gelijkbenig is deelt die lijn de tophoek en de basiszijde doormidden.
In een halve driehoek is de schuine zijde 6, en is de x-zijde de overstaande zijde van de hoek van 14. Daarom gebruik je SOS.
sin(14) = x/6  dus  x = 6 sin(14) 1,45
Het vraagteken is dan ongeveer  2 1,45 = 2,90
   
   
5. Bereken de vraagtekens in de volgende driehoeken.
 
 

A:60; B: 9,43; C: 2,33;  D: 59
E: 34; F: 26,7; G: 7,45; H: 46
 

6. Bereken de vraagtekens in de volgende figuren.
 
 

61,9  en  1,37

 
7. De pijlpunt hiernaast is symmetrisch in lijn AB.
De afmetingen zijn als in de figuur aangegeven.

Bereken de lengte van AB

 

     

1,23

       
8. Op een eiland in een meer ligt een huis C.
Ook in punt B staat een huis.
De afstand BC is zonder boot niet direct te meten.

AD = 15 km
De hoeken ABC en CAB zijn gelijk aan 34 en 8 zoals aangegeven.

Hoe ver liggen de huizen B en C van elkaar af?

     

5,58 km

       
9. Hoek A van een rechthoek wordt in drie gelijke delen verdeeld.

AD = 1

Bereken de omtrek van driehoek ABC.

     

4,30

       
10. Ik sta aan de oever van een brede rivier en wil graag de breedte ervan bepalen. Gelukkig staat er een boom aan de overkant.
Ik meet vanaf twee punten A en B de  hoek die de oever maakt met de lijn naar de voet C van de boom.
Dat levert op  ABC  = 40  en  BAC = 60
Verder meet ik dat de afstand AB gelijk is aan  120 meter.
 

Hoe breed is de rivier?

     

67,8 meter

       
11. In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek B is AC = 4. 
BD staat loodrecht op AC
DE staat loodrecht op AB
EF staat loodrecht op AC

Toon aan dat EF = 4sinacos3a

 

       
   
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)