De formule van Euler.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We hebben intussen al allerlei bewerkingen met complexe getallen bekeken.
•  Optellen en aftrekken (kop-aan-staart).
•  Vermenigvuldigen en delen  (draaivermenigvuldigen).
•  Machtsverheffen (regel van de Moivre).

Welke moeten nog?
•  Exponenten met i in de macht.
•  Logaritmen.
•  Sinus en Cosinus.

En het leuke is, dat deze drie nauw met elkaar verbonden zijn! Van logaritmen en exponenten had je dat natuurlijk wel verwacht, want die zijn elkaars inverse. Maar ook goniometrische functies (sinus en cosinus) hebben heel  veel te maken met exponentiële (terwijl dat bij de reële getallen helmaal niet zo was).

Nieuwsgierig geworden?

Mooi.  Laten we de ontdekkingsreis maar beginnen...
Exponenten.
Wat gebeurt er als er in de macht een complex getal hangt?

Neem als voorbeeld  2z  = 2a + ib .
Omdat weer alle "gewone" regels voor het rekenen met machten moeten blijven gelden, is  2a+ ib = 2a • 2ib .
Dat eerste deel 2a daar is niets mee aan de hand: gewoon twee reële getallen.
Het probleem is:
 
Wat is 2ib  ???
 

2ib  zal ook wel een complex getal zijn.  Stel daarom  2ib = x + iy  Wat valt er dan van de x en y te zeggen?
Een aanwijzing kunnen we krijgen door i de vervangen door -i.
Als 2ib = x + iy   dan  is  2-ib = x + -iy = x - iy.
Het mooie komt als we die twee met elkaar vermenigvuldigen:  2ib2-ib = (x + iy) • (x - iy) = x2 + y2
Maar volgens oude regels is  2ib2-ib = 2ib - ib  = 20 = 1, dus moet ook gelden dat  x2 + y2  = 1
Conclusie:

 
•   als 2ib = x + iy  dan  is x2 + y2 = 1
•   dus  het getal 2ib ligt op de eenheidscirkel
 
Dat betekent dat  2ib  met poolcoördinaten te schrijven is als  cosφ + i • sinφ

Maar wat is het verband tussen  b  en φ?

Een aanwijzing krijg je als je 2ib  en 
cosφ + i • sinφ  als functies ziet, en er de afgeleide van opschrijft:
De afgeleide van 2ib  is  i • 2ib • ln2 = i ln2 • 2ib 
De afgeleide van 
cosφ + i • sinφ  is   -sinφ + i • cosφ  = i • (isinφ + cosφ) = i • (cosφ + i • sinφ)

Daar staat bijna twee keer hetzelfde! Er staat steeds  "afgeleide = i • functie zelf". Alleen die vervelende ln2 bederft de boel een beetje... Als we die nou weg zouden kunnen werken.....
Maar wacht eens even...dat kan natuurlijk, door niet 2 als grondtal te kiezen (die was immers tóch willekeurig) maar e. Dan verdwijnt die ln2-factor, immers  lne = 1.

Bekijk daarom de functies  f(z) =
cosz + i • sinz  en   g(z) = eiz  
Daar weten we nu het volgende van:

•  eigenschap 1:    f(0) = g(0)
•  eigenschap 2:    f '(z) = i
f(z)  en   g'(z) = ig(z)

Laten we de grafieken van f(z) en g(z) in gedachten gaan tekenen.  Stap voor stap:
 
We beginnen bij beiden in het punt (0,0).  
Maar eigenschap 2 zegt, dat als de functies gelijk zijn, dat dan ook hun afgeleides gelijk zijn. Dus in (0,0) hebben deze functies ook dezelfde afgeleide.  
De afgeleide zegt hoe een functie verandert. Het was ooit immers de helling van een punt naar een punt vlak ernaast? Dus als de functies door hetzelfde punt gaan, én dezelfde helling hebben, dan zal dat ook het zelfde "punt vlak ernaast" opleveren.  
De grafieken begonnen beiden in (0,0) en gaan dus beiden door hetzelfde punt vlak ernaast.
In dat tweede punt zijn de functies gelijk, dus hun hellingen (eigenschap 2) óók weer.
Maar dat betekent dat de stap naar het volgende punt  vlak daarnaast ook hetzelfde zal zijn.
Dus het volgende punt is ook gelijk......
 
     
En zo gaat dat alsmaar door. Omdat de functiewaarden in een punt gelijk zijn, zijn de hellingen dat ook, dus komen in hetzelfde punt vlak ernaast. De enige mogelijke conclusie is dat de grafieken precies gelijk zijn.  
     
 

eiφ  =  cosφ + i sinφ 

 
 
Deze formule heet de "formule van Euler" en is een erg belangrijke formule. Het geeft ons de mogelijkheid om complexe machten te berekenen. Bedenk dat de φ uit de formule een gewoon reëel getal is! Verder geeft de formule ook een verband tussen goniometrische formules en exponentiële.  In het complexe vlak ontmoeten de werelden van de goniometrie en de exponenten elkaar!

(Deze "afleiding"  van deze formule was wiskundig niet supernetjes en verantwoord. Zo'n punt vlak ernaast is bijvoorbeeld op een getallenlijn makkelijk, maar hoe is dat in een vlak? Wat stelt de complexe afgeleide eigenlijk precies voor? En bestaat die afgeleide overal wel? Een preciezere, maar ook moeilijker, afleiding zou hier te ver voeren. Een iets mooier bewijs staat hiernaast, maar daarvoor moet je wel weten wat een Taylorreeks is).
Deze nieuwe formule geeft nu een derde manier om een complex getal te noteren:
 
complex getal:
 z = x + iy
 z = r • (cosφ + i • sinφ)
 z = reiφ
 
De mooiste formule ter wereld...
   
Een speciaal geval voor de formule van Euler krijg je als je φ = π neemt.
Dan staat er  eiπ  = cosπ + i • sinπ = -1 + i • 0 = -1  en daaruit volgt:
 
ei π + 1 = 0
 
Een enquête door het wiskundetijdschrift "Mathematical Intelliger" wees uit dat dit met afstand de mooiste formule ooit werd gevonden. Bij een enquête in "Physics World"  kwam deze formule op een gedeelde eerste plaats, dus ook natuurkundigen vinden het een geweldige formule!

Waaróm is dit zo'n geweldige formule?

Vooral vanwege zijn eenvoud.
Er komen de vijf belangrijkste wiskundige constanten in voor (0, 1, π, e en i)
Er komen de drie belangrijkste bewerkingen in voor (optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen).
Verder alleen nog een = teken en dat is alles!

PRACHTIG!
   
   

   

machtsfuncties

   

logaritmen

1. Schrijf de volgende getallen in de vorm reiφ.  Rond  r en φ af op twee decimalen.
               
  a. 8 + 2i  

8,25 • e0,24i

c. -1 - i

1,41 • e3,93i

  b. -2  

2 • eπ i

d. 12i

12 • e0,5πi

               
2. Schrijf de volgende getallen in de vorm a + bi. Rond a en b indien nodig af op twee decimalen.
               
  a. 2 • e3i  

-1,98 + 0,28i

d. -4 • e0,5pi

-4i

  b. 6 • e2i -  e5i  
-2,78 + 6,41i
e.

e-pi • e0,25pi

-1/22 + i• 1/22
  c. 5i + 3 • e-2i  

-1,25 + 2,27i

f. (3e-2i)2

-5,88 + 6,81i

               
3. Schrijf de volgende getallen in de vorm reiφ. Rond  r en φ indien nodig af op twee decimalen.
Geef voor φ een hoek tussen 0 en 2π.
               
  a. (3 + 4i)8  

390625 • e7,41i

e. √(5 + 4i)
41 • e0,34i
  b. (-1 + i)10  

32 • e1,5π

f.

1,35 • e-0,09i

  c.  

0,02 • e3,59i

g.

0,51 • e-0,61i

  d. (1/2 + 1/2i√3)50  

1 • e2/3 •π

h. (1 - 0,5i)20 • (-1 + 2i)10

29103,83 • e-1,49i

               
4. Je kunt  e2ix  schrijven als  cos2x + i • sin2x
Maar je kunt e2ix  ook schrijven als  (eix)2  dus als  (cosx + i • sinx)2
Door deze twee aan elkaar gelijk te stellen en dan de haakjes weg te werken kun je formules voor cos2x en sin2x afleiden.
               
  a. Geef die afleiding.
     
  b. Geef formules voor sin(3x) en cos(3x).
     
  c. Op deze manier kun je ook formules afleiden voor  cos(a + b)  en  sin(a + b).
Geef zo'n afleiding.
               
5. Formules voor cosnx.....
Stel  z = eiφ.
               
  a. Toon aan dat dan geldt  z + 1/z = z + z -1 = 2cosφ.
               
  Je kunt nu (z + 1/z)3 in één keer schrijven als  8cos3φ  maar ook door  (z + 1/z)3  gewoon uit te schrijven.
               
  b. Toon aan dat dit laatste vereenvoudigt tot  (z + 1/z)3  = 2cos3φ + 6cosφ.
     
  c. Toon aan dat cos3x = 1/4cos(3x) + 3/4cos(x).
     
  d. Maak op deze manier een formule voor cos4x, uitgedrukt in andere cosinussen.
               
6. Met de formule van Euler:  eiφ cosφ + isinφ   kun je op een eenvoudige manier (veel eenvoudiger dan voorheen) een bewijs voor de regel van de Moivre  geven. Dat was de regel  dat je bij vermenigvuldigen van twee complexe getallen de afstanden tot O moest vermenigvuldigen en de argumenten moest optellen, weet je nog?

Geef zo'n bewijs.
               
7. Stel  dat je de waarde van  z2 + 3z - 1 overal op de eenheidscirkel zou gaan uitrekenen, dan krijg je allemaal complexe getallen. We zijn erin geïnteresseerd welk van die getallen de grootste modulus (afstand tot de oorsprong) heeft.
               
  a. Voor z op de eenheidscirkel geldt  z = eiφ
Schrijf   z2 + 3z - 1  als functie van φ.
Schrijf ook de geconjugeerde daarvan op.
               
  b. Bereken nu  | z2 + 3z - 1 |2 
   
               
  c. Toon aan dat  | z2 + 3z - 1 |2  = 11 - 2cos(2φ)
Bereken daarmee wat het maximum van 
 | z2 + 3z - 1 |  is en voor welke z dat wordt bereikt.
               
           

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)