© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. tanφ = 2/8  geeft  φ = 0,24
r = √(22 + 82) = √68 = 8,25
z =  8,25e0,24i
       
  b. φ = π,  r = 2  dus  z = 2eiπ   (of z = 2e3,14i)
       
  c. φ = 5/4π,  r = √2  dus  z = √2 • e1,25πi  (of  z = 1,41 • e3,93i )
       
  d. r = 12,  φ = 0,5π  dus  z = 12e0,5πi   (of  z = 12e1,57i )
       
2. a. 2 • e3i =  2 • (cos3 + isin3) = -1,98 + 0,28i
       
  b. 6 • e2i -  e5i = 6 • (cos2 + isin2) - (cos5 + isin5) = -2,50 + 5,46i - 0,28 - 0,96i = -2,78 + 4,50i
       
  c. 5i + 3 • e-2i = 5i + 3 • (cos(-2) + isin(-2)) = 5i  - 1,25 - 2,73i  =  -1,25 + 2,27i
       
  d. -4 • e0,5πi  =  -4 • (cos(0,5π) + isin(0,5π)) = -4 • (0 + i) = -4i
       
  e. e-πi • e0,25πi = (cos(-π) + isin(-π)) • (cos(0,25π) + isin(0,25π))
= (-1 + 0i) • (1/2√2 + i • 1/2√2) = -1/2√2 - 1/2i√2
       
  f. (3e-2i )2 = 9e-4i = 9(cos(-4) + isin(-4)) = -5,88 + 6,81i  
       
3. a. 3 + 4i   heeft  r = 5  en   φ = tan-1(4/3) = 0,93
(3 + 4i)8  heeft dan r = 58 = 390625  en  φ = 8 • 0,93 = 7,42  ofwel 1,14  (2π eraf)
(3 + 4i)8 =  390625 • e1,14i
       
  b. -1 + i  heeft  r = √2  en  φ = 3/4π
(-1 + i)10  heeft  r = (√2)10 = 32  en   φ = 10 • 3/4π = 71/2π  ofwel 11/2π
(-1 + i)10 =  32 • e1,5πi
       
  c. 3 + 5i  heeft  r = √(34)  en  φ = tan-1 (5/3) = 1,03  dus  3 + 5i = 5,83 • e1,03i

(2 + 6i)  heeft  r = √40 en  φ = tan-1 (6/2) = 1,25
(2 + 6i)3  heeft  r = (√40)3 = 252  en  φ = 3 • 1,25 = 3,75   dus   (2 + 6i)3 = 252 • e3,75i 

Op elkaar delen geeft   (5,83/252) • e1,03i - 3,75i = 0,02 • e-2,72i  ofwel  0,02 • e3,56i 
       
  d. 1/2 + 1/2i√3  heeft  r = 1  en  φ = 1/6π
(1/2 + 1/2i√3)50  heeft  r = 150 = 1  en  φ = 50 • 1/6π = 50/6π  ofwel 1/3π
(1/2 + 1/2i√3)50  =  eπi/3
       
  e. 5 + 4i  heeft  r = √41  en   φ = tan-1 (4/5) = 0,67 + k2π
√(5 + 4i)  heeft dan  r = 411/4 = 2,53  en  φ = 0,34 + kπ
Dus  √(5 + 4i) = 2,53 • e0,34i   of  2,53 • e3,48i
       
  f. -4 + 2i  heeft  r = √20  en  φ = tan-1 (-4/2) = 2,03 + k2π    (-1,11 + π om in het tweede kwadrant te komen)
(-4 + 2i)1/5  heeft dan  r = 201/10 = 1,35  en  φ = 0,41 + k• 2/5π
Dus   (-4 + 2i)1/5  = 1,35 • e0,41i  of  1,35 • e 1,66i  of   1,35 • e2,92i  of  1,35 • e3,18i  of  1,35 • e 5,43i
       
  g. 1 + i  heeft  r = √2  en  φ = 1/4π
(1 + i)8   heeft  r = (√2)8 = 16  en  φ = 2π = 0

3i + 1  heeft  r = √10   en  φ  = tan-1(3/1) = 1,25
(3i + 1)3  heeft dan   r = (√10)3 = 31,62  en  φ = 3 • 1,25 = 3,75

Op elkaar delen geeft dan  (16/31,62) • e0 - 3,75i  = 0,51 • e-3,75i
       
  h. 1 - 0,5i  heeft  r =  √(1,25) = 1,12  en  φ = tan-1(-0,5/1) = -0,46
(1 - 0,5i)20  heeft dan  r = 1,1220  = 9,31  en  φ = 20 • -0,46 = -9,27   (of  φ = 3,29  door er 4π bij op te tellen)

-1 + 2i  heeft  r = √5  en  φ = tan-1(2/-1) = 2,03   (-1,11 + π om in het tweede kwadrant te komen)
(-1 + 2i)10  heeft  r = (√5)10 = 3125   en  φ = 2,03/10 = 0,20

(1 - 0,5i)20  • (-1 + 2i)10  heeft  r = 9,31 • 3125 = 29093,75  en  φ = 0,20 + 3,29 = 3,49
Dus dat is gelijk aan   29093,75 • e3,49i
       
4. a.  (cosx + i • sinx)2  = cos2x + 2icosx • sinx  - sin2x  =  (cos2x - sin2x) + i(2cosx • sinx)

Dat moet gelijk zijn aan  cos(2x) + isin(2x)  dus moeten de reλle delen en imaginaire delen apart gelijk aan elkaar zijn.
 
Dat geeft  cos2x - sin2x = cos2x   en   2cosx • sinx = sin(2x) 
       
  b. e3ix  =  cos(3x) + isin(3)

e3ix =  (eix)3 = (cosx + isinx)3 = cos3 x + 3icos2xsinx - 3cosxsin2x  - isin3x
=  (cos3x - 3cosxsin2x) +  i • (3cos2xsinx - sin3x)

reλle en imaginaire delen gelijkstellen geeft:
cos(3x) = cos3x - 3cosxsin2x
sin(3x) = 3cos2xsinx - sin3x
       
  c. ei(a + b) = eia + ib = eia  • eib = (cosa + isina)(cosb + isinb) = cosacosb + icosasinb + isinacosb - sinasinb
=  (cosacosb - sinasinb) + i(cosasinb + sinacosb)

ei(a + b)  = cos(a + b) + i sin(a + b)

reλle en imaginaire delen gelijkstellen:
cos(a + b) =   cosacosb - sinasinb     en     sin(a + b) =  cosasinb + sinacosb
       
5. a. z + 1/z = z + z -1
 eiφ + (eiφ)-1   
= eiφ + e-iφ
=  cosφ + isinφ +  cos(-φ) + isin(-φ)
= cosφ + isinφ +  cosφ  - isinφ
= 2cosφ.
       
  b.  (z + 1/z)3  = z3 + 3 • z2 • 1/z + 3 • z • (1/z)2 + (1/z)3 
= z3 + 3z  + 3/z  + 1/z3 
= (eiφ )3  + 3eiφ  + 3e-iφ  + (e-iφ )3 
= e3iφ  + 3eiφ  + 3e-iφ  + e-3iφ  
= cos3φ + isin3φ + 3cosφ + 3isinφ + 3cos(-φ) + 3isin(-φ) + cos(-3φ) + isin(-3φ)
= cos3φ  + isin3φ  + 3cosφ  + 3isinφ + 3cosφ  - 3isinφ + cos3φ  - isin3φ
= 2cos3φ + 6cosφ
       
  c. Uit a) en b)  volgt:
(2cosx)3 = 2cos3x + 6cosx
8cos3x = 2cos3x + 6cosx
cos3x = 2/8cos3x + 6/8cosx
cos3x = 1/4cos3x + 3/4cosx
       
  d. (z + 1/z)4  =  z4  + 4z3 • 1/z  +  6z2 • (1/z)2  + 4z • (1/z)3  + (1/z)4 
=  z4 + 4z2 + 6 + 4 • (1/z)2 + (1/z)4
=  e4iφ  + 4e2iφ + 6 + 4e-2iφ  + e-4iφ
=  cos4φ + isin4φ  + 4cos2φ + 4isin2φ + 6 + 4cos(-2φ) + 4isin(-2φ) + cos(-4φ) + isin(-4φ)
=  cos4φ + isin4φ  + 4cos2φ  + 4isin2φ  + 6 + 4cos2φ - 4isin2φ  + cos4φ - isin4φ
= 2cos4φ  + 8cos2φ + 6

Dus geldt:

(2cosx)4 = 4cos4x + 8cos2x + 6
16cos4x = 4cos4x + 8cos2x + 6
cos4x  = 1/4cos4x + 1/2cos2x + 3/8
       
6. z1 = r1(cosφ1 + isinφ1)  en  z2 = r2(cosφ2 + isinφ2)  geeft dan met de regel van Euler:
z1 = r1 • eiφ1  en  z2 = r2 eiφ2 

Vermenigvuldigen geeft:
z1 • z2 =  r1 • eiφ1 • r2 eiφ2  =  r1 • r2 • eiφ1 • eiφ2  = r1 • r2 • e iφ1 + iφ2  =   r1 • r2 •  e i(φ1+ φ2 )
       
7. a. z2 + 3z - 1 = (eiφ)2 + 3eiφ - 1  =  e2iφ + 3eiφ - 1
geconjugeerde:  φ wordt  -φ:     e-2iφ + 3e-iφ - 1
       
  b. |z|2 = (e2iφ + 3eiφ - 1)(e-2iφ + 3e-iφ - 1)
= 1 + 3eiφ - e2iφ + 3e-iφ + 9 - 3eiφ - e-2iφ - 3e-iφ + 1
= 11 - e2iφ - e-2iφ 
       
  c. 11 - e2iφ - e-2iφ 
= 11 - (cos2φ + isin2φ) - (cos(-2φ) + isin(-2φ)
= 11 - cos2φ - isin2φ  - cos2φ + isin2φ   (waarbij is gebruikt dat  sin(-2φ) = -sin2φ  en  cos(-2φ) = cos2φ)
= 11 - 2cos2φ
Dat is maximaal 13, namelijk als  cos2φ = -1 en dat is bij  2φ = π, dus  φ = 1/2π  of  φ = -1/2π
Het maximum van  | z |  wordt dus bereikt voor z =  ±i en is gelijk aan  √13
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)