VWO WA12, 2003 - I COMPEX | ||
Epidemie. | |||
Men spreekt van een epidemie als in korte tijd minstens 2% van de bevolking een besmettelijke ziekte oploopt. Een voorbeeld van zo’n ziekte is griep. Rond 1930 hebben twee Schotse wiskundigen, Reed en Frost,
epidemieën bestudeerd. Zij hebben de wetmatigheden die zij daarbij
meenden te zien in een wiskundig model vastgelegd. Met dit model kan men
voorspellingen doen over de aantallen zieken na het uitbreken van een
epidemie. Deze opgave gaat over verschillende varianten van dit
zogeheten Reed-Frost-model. In deze opgave gaat het steeds over een populatie van 10 000 mensen. We beschrijven de ontwikkeling van de aantallen mensen die vatbaar, ziek of immuun zijn met stappen van een week. In week n zijn er Vn mensen vatbaar, Zn mensen ziek en In mensen immuun. Voor elke week geldt: Vn + Zn + In = 10 000.We beginnen met week 0. We nemen in deze opgave steeds aan dat er 10 mensen ziek zijn in week 0. Als nog niemand immuun is, geldt dus Z0 = 10; I0 = 0; V0 = 9 990. We bekijken een ziekte waarbij iedere zieke na één week genezen is en dan immuun wordt. We krijgen dan de volgende recurrente betrekkingen: • Zn + 1 = (1 - kZn)Vn• In+1 = In + Zn • Vn+1 = 10 000 − Zn+1 − In+1 Hierbij is k een getal tussen 0 en 1, dat
aangeeft in welke mate er binnen de populatie van 10 000 mensen
besmetting plaatsvindt: bij k = 1 is er geen besmetting en bij
k = 0 zal iedere vatbare ziek worden. |
|||
![]() |
Open het Excel-bestand ‘EPIDEMIE-1.XLS’. | ||
Deze spreadsheet is gemaakt op basis van bovenstaande recurrente betrekkingen, alleen worden de aantallen elke week afgerond op gehele getallen. Er wordt echter wel doorgerekend met niet-afgeronde waarden. Wanneer je het bestand opent, geldt I0 = 0 en k = 0,99979. |
|||
|
|||
Op het scherm zie je per week hoeveel mensen er vatbaar, ziek en immuun zijn. Deze aantallen staan in de kolommen B, C en D. |
|||
|
|||
De aantallen voor week 1 tot en met 24 staan ook in het staafdiagram. Je ziet dat in week 9, op het hoogtepunt van de epidemie, 1667 mensen ziek zijn. Als de epidemie voorbij is, zijn er 8224 mensen immuun.
Die zijn allemaal ziek geweest en genezen. Let op: Bijvoorbeeld in week 4 zijn de drie aantallen
vatbaren, zieken en immunen samen niet 10 000, maar 10 001. Dat komt
door het afronden op gehele getallen. |
|||
|
|||
De schuifbalk staat op 1 en moet voorlopig op 1 blijven
staan. Op deze factor komen we later terug. |
|||
5p. | 1. |
Laat met een berekening zien dat je met de bovenstaande recurrente betrekkingen uit deze waarden van week 12 inderdaad die in week 13 kunt berekenen. |
|
Door tijdig mensen te vaccineren kan men zorgen dat al bij het uitbreken van de ziekte een aantal mensen immuun is. Dit aantal is I0. Om het effect van vaccinatie te bestuderen kun je op het scherm I0 veranderen. Dat kan door op de plaats van I0 een getal in te tikken en dan op Enter te drukken, of door te schuiven met de schuifbalk die ernaast staat. Voor de economie is het belangrijk dat er niet te veel zieken zijn. Door voldoende mensen te vaccineren kan men zorgen dat het aantal zieken per week nooit boven de 1000 komt. |
|||
2p. | 2 |
Onderzoek hoeveel mensen er ten minste gevaccineerd moeten worden om te zorgen dat het aantal zieken per week nooit boven de 1000 komt. |
|
Tot nu toe gingen we ervan uit dat iedere zieke na één week genezen is. Bij veel ziekten geldt dat de genezing niet bij iedereen even lang duurt. We gaan er nu van uit dat elke week slechts een fractie g (g een getal tussen 0 en 1) van de zieken de daaropvolgende week genezen is (en dus immuun wordt). De recurrente betrekkingen van het model moeten hieraan worden aangepast. De formules voor Zn+1, Vn+1 en In+1 worden dan:• Zn + 1 = (1 - kZn) · Vn + (1 - g) · Zn• In+1 = In + g · Zn • Vn+1 = 10 000 − Zn+1 - In+1Hierin is de formule voor Vn+1 ongewijzigd gebleven.Ga op het scherm terug naar de situatie waarin er niet
ingeënt wordt: I0 = 0. Voor iedere waarde van g geldt dat wie ziek
wordt, gemiddeld ongeveer 1/g weken ziek
is. Omdat we ervan uit gaan dat er nu niet ingeënt wordt (I0
= 0), zal het totaal aantal mensen dat ziek is geweest, op het eind
gelijk zijn aan het getal in D4. |
|||
4p. | 3. |
Bereken voor g = 0,2 en g = 0,1 de uitkomst van de deling I1/D4 en leg uit wat deze uitkomsten betekenen. |
|
Model 2 Er zijn ook ziekten waarvoor je niet immuun wordt. Bij dergelijke ziekten is dus In = 0 voor elke n. Iemand die genezen is, is direct weer vatbaar en kan opnieuw ziek worden.Als we veronderstellen dat iedereen na één week ziekte weer beter is (dus g = 1), dan krijgen we de volgende recurrente betrekkingen: • Zn + 1 = (1 - kZn) · Vn• Vn+1 = 10000 − Zn+1We gaan bij dit model 2 weer uit van de beginwaarden Z0 = 10 en V0 = 9990. Doordat er geen immuniteit optreedt, kan een epidemie een heel ander verloop krijgen dan bij model 1. |
|||
![]() |
Open het Excel-bestand ‘EPIDEMIE-2.XLS’. | ||
Deze spreadsheet hoort bij model 2. Wanneer je het bestand opent, geldt k = 0,99979. Je ziet in kolom C dat het aantal zieken toeneemt tot 3362 en dan constant blijft. Dit is een opmerkelijk verschil met model 1 (met immuniteit), waar op den duur niemand meer ziek was. Afhankelijk van de waarde van k kunnen in dit model 2 drie situaties ontstaan. Het aantal zieken: • stijgt naar een evenwichtswaarde (zoals je bij k = 0,99979 op het beeldscherm ziet), • daalt naar 0 of • gaat schommelen rond een evenwichtswaarde. |
|||
4p. | 4. |
Geef bij de tweede mogelijkheid (het aantal zieken daalt naar 0) en bij de derde mogelijkheid (het aantal zieken gaat schommelen rond een evenwichtswaarde) een voorbeeldwaarde van k. |
|
We bekijken de situatie waarin het aantal zieken nadert naar een evenwichtswaarde. | |||
4p. | 5. |
Onderzoek of deze evenwichtswaarde groter dan 5000 kan zijn. Licht je antwoord toe met een redenering. |
|
Webgrafieken bij model 2 Uit bovenstaande recurrente betrekkingen voor model 2 kan een betrekking worden afgeleid waar alleen het aantal zieken en niet het aantal vatbare personen in voorkomt. Deze betrekking luidt: • Zn + 1 = (1 - kZn) (10000 - Zn) |
|||
Hiernaast zie je de grafiek van het verband tussen Zn en Zn+1 getekend voor k = 0,99979.De hierboven genoemde evenwichtswaarde 3362 vind je in deze grafiek terug bij het snijpunt van de grafiek met de diagonale lijn. |
![]() |
||
4p. | 6. |
Teken in de figuur de eerste vier stappen van de webgrafiek (dus voor n = 0 tot en met n = 4). Neem Z0 = 1000. |
|
UITWERKING | |
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten. | |
1. | |
2. | |
3. | |
4. | |
5. | |
6. |
![]() |