z-toets


De z-toets.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Natuurlijk gaan alle beweringen met getallen niet alleen over kansen of percentages.
Heel vaak wordt iets beweert over een gemiddelde.

Neem bijvoorbeeld de jerrycan met motorolie hiernaast. Op het etiket doet de fabrikant een bewering over een gemiddelde.
Zie je waar? (ga er anders maar met de muis over).

Tuurlijk: als er staat dat de inhoud 4 liter is, dan betekent dat echt niet dat er in elke jerrycan precies 4,0000000... liter olie zit. Zo nauwkeurig kan de fabrikant die jerrycans echt niet vullen. Als de "vulmachine" afgesteld staat op 4 liter, dan zal de inhoud door wat willekeurige fluctuaties een beetje rond die 4 liter schommelen.
Als die fluctuaties echt willekeurig zijn, dan beweert de fabrikant eigenlijk dat de inhoud normaal verdeeld zal zijn met een gemiddelde van 4 liter. Hoe slordiger de vulmachine, des te groter zal de standaarddeviatie zijn.

De bewering van de fabrikant zou bijvoorbeeld de volgende kunnen zijn:

H₀: de inhoud is normaal verdeeld met μ = 4 en σ = 0,2

Maar wat gebeurt er als een klant een jerrycan koopt waar maar 3,9 liter blijkt in te zitten? Of 3,8 liter of 3,7 liter?
Als de inhoud te veel afwijkt van het gemiddelde dan zal zo'n klant de bewering H₀ in twijfel trekken en beweren dat m kleiner is dan 4.

H₁: μ < 4

't Is eigenlijk precies zoals bij de p-toetsen, met als enige verschil dat de figuur die bij de H₀-bewering hoort nu geen staafjesdiagram is, maar een klokvorm.

We zijn weer op zoek naar de grenswaarde G waarvoor de overschrijdingskans (de rode oppervlakte) gelijk is aan het significantieniveau (α, meestal 0,05)

Als de meting aan de buitenkant van de G-waarde terechtkomt wordt H₀ verworpen, komt hij aan de binnenkant terecht dan wordt H₀ aangenomen.
In dit geval moet je om G te vinden oplossen: normalcdf(0, G, 4, 0.2) = 0,05
Y1 = normalcdf(0, X, 4, 0.2) en Y2 = 0,05 en dan calc → intersect geeft grenswaarde G = 3,67

Dus pas bij een inhoud van minder dan 3,67 liter kun je (met 95% betrouwbaarheid) stellen dat de machine op minder dan 4 liter staat afgesteld.

Nog twee puntjes om op te letten:

1. de continuïteitscorrectie.
Als je iets meet, en je doet alsof dat normaal verdeeld is, terwijl je weet dat dat niet zo kan zijn omdat het om gehele getallen gaat, dan moet je uiteraard weer de continuïteitscorrectie toepassen. Dat stond in deze les voor het geval je het niet meer weet.

2. tweezijdig toetsen.
Alles wat bij p-toetsen tweezijdig behandeld is, geldt nu gewoon weer. Dus als H₁ beweert μ ≠ ..... dan moet je weer aan beide kanten ¹/₂α nemen in plaats van α.

OPGAVEN

Volgens een milieuactiviste is de gemiddelde temperatuur in Nederland aan het stijgen.
Zij heeft gegevens uit de periode 1900-1980 waarin de gemiddelde temperatuur gelijk was aan 9,2ºC met een standaarddeviatie van 0,3ºC.
Zij beweert dat de gemiddelde temperatuur in Nederland intussen hoger is geworden. Als bewijs wijst zij op de gemiddelde temperatuur in 2010, die gelijk was aan 9,6 ºC.

Mag zij daaruit inderdaad concluderen dat het gemiddelde hoger is dan 9,2 ºC? Neem een significantieniveau van 5%.

Een tuinder beweert trots dat de lengte van zijn zonnebloemen normaal verdeeld is met een gemiddelde van 2,4 meter en een standaarddeviatie van 40 cm.
Ik kies willekeurig één van zijn zonnebloemen en meet de lengte daarvan.
Bij welke gemeten lengten zal ik (neem 10% significantieniveau) mogen concluderen dat hij overdrijft?

< 1,915 m

De gemiddelde bloeddruk (bovendruk) van de Nederlanders is 130 (mg Hg) met een standaarddeviatie van 9,6.
Ik las in een rapport dat de gemiddelde bloeddruk van leraren hoger is dan 130.
Nou ben ik zelf toevallig leraar, en dus heb ik meteen mijn bloeddruk gemeten.
Die was 144.
Mag ik daaruit concluderen dat het rapport inderdaad klopt? (neem α = 0,05)

De huismus komt over de hele wereld voor.
Een bioloog in Europa heeft onderzocht dat het gewicht van de huismus in Europa normaal verdeeld is met een gemiddelde van 29,2 gram en een standaarddeviatie van 1,8 gram.
Hij vraagt zich af of dat ook geldt voor huismussen in Amerika, en vraagt daarom een Amerikaanse collega om het gewicht van een willekeurige huismus daar te meten. Ze besluiten een significantieniveau van 5% te nemen.

Bij welke gewichten van de Amerikaanse mus kunnen ze dan concluderen dat Amerikaanse mussen een ander gewicht hebben dan Europese?

<25,7 of >32,7

Op het blik soepballetjes hiernaast staat "ca. 30 stuks".
Navraag blijkt dat Unox daarmee bedoelt dat het aantal soepballetjes normaal verdeeld is met een gemiddelde van 30 en een standaardafwijking van 1,0.

Ik koop een blik met daarin slechts 28 balletjes.

Mag ik naar aanleiding van deze miskoop met 5% significantieniveau concluderen dat het gemiddeld aantal balletjes in de Unox-blikken kleiner is dan 30?

Op een middelbare school is de tijd die leerlingen per week spijbelen normaal verdeeld met een gemiddelde van 50 minuten en een standaarddeviatie van 12 minuten. Dat vindt de schoolleiding onacceptabel hoog en men besluit tot een strenger controlesysteem waarbij elk uur aan het begin de conciërges alle klassen langsgaan om spijbelaars te registreren.
Na een paar weken blijkt de gemiddelde spijbeltijd gelijk te zijn aan 33 minuten.
Mag men met een significantieniveau van 5% vaststellen dat het nieuwe controlesysteem geholpen heeft?

NEE: 0,078

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1987.

In 1787 en 1788 schreven Alexander Hamilton en James Madison de zogenaamde The Federalist Papers, om de inwoners van New York te overreden de Constitutie te ratificeren. Beide schrijvers ondertekenden met "Publius".
Van 48 van deze teksten is bekend dat zij van Hamilton zijn en van 50 dat zij van Madison zijn. Om ook van de overige teksten de auteur te achterhalen, heeft men van diverse woorden geteld hoe vaak ze in een tekst van Hamilton voorkomen en hoe vaak in een tekst van Madison. Voor elk van die teksten heeft men daarna de frequentie per 1000 woorden berekend.

Van een woord weet men dat dit bij Hamilton per 1000 woorden voorkomt met een gemiddelde van 17,2 en een standaarddeviatie van 4,1. Men mag aannemen dat de frequenties normaal verdeeld zijn.
Voor Madison zijn deze gegevens niet bekend.
Bij een gegeven tekst vindt men onder de eerste 1000 woorden dit woord 24 maal.

Onderzoek of men bij een significantieniveau van 5% voldoende reden heeft te twijfelen aan het auteurschap van Hamilton