Wortelvergelijkingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een vergelijking met wortel(s) erin los je in drie etappes op:
stap 1: ISOLEREN
stap 2: KWADRATEREN
stap 3: CONTROLEREN
Laten we deze drie stappen maar stuk voor stuk langslopen.
STAP 1:  ISOLEREN.

Dat betekent eigenlijk:  "Zet de wortel alleen".  En dat doe je net als bij de balansmethode.
Een voorbeeldje zal een boel duidelijk maken.
Voorbeeld    Los op:  2 + 4 • √(2x + 1) = 14
Eerst van beide kanten 2 aftrekken:  4 • √(2x + 1) = 12
Delen door 4:   √(2x + 1) =  3
En daarmee is de wortel geïsoleerd!
STAP 2:  KWADRATEREN

Voorbeeld 1

Los op:  2
(x - 3) = 10

Er staan hier maar twee blokjes; aan beide kanten van het = teken eentje.  Kortom, de wortel staat al bijna alleen, alleen de 2 moet nog weg.
Dat doen we door alle (beide in dit geval) blokjes te delen door 2:
√(x - 3) = 10/2   ⇒  √(x - 3) = 5.  
Met de balansmethode staat er nu dus:
Nu doen we beide schalen in het kwadraat:

Dus er staat  (√(x - 3))2 = (5)2
En wat gebeurt er nu aan de linkerkant? De wortel verdwijnt! Daar staat nu immers één of ander getal (x - 3) waar je eerst de wortel van neemt, en dat je daarna weer in het kwadraat doet; dan komt x - 3 zélf er natuurlijk gewoon weer uit. Als je de wortel van bijv. Ö9 neemt krijg je 3, en als je daarna 3 in het kwadraat neemt komt 9 er weer uit.

Kortom, er staat gewoon  x - 3 = 25  en dat levert al snel  x = 28.
Voorbeeld 2.

Los op:   6 - (x + 8) = 2x  - 14

Deze opgave bestaat uit maar liefst 4 blokjes:

Om de wortel alleen te zetten brengen we het blokje 6 naar de andere kant:
-
(x + 8) = 2x - 14 - 6      -(x + 8) = 2x - 20
Nu moet het minteken weg, en dat kan door alle blokjes te vermenigvuldigen met -1:  
(x + 8) = -2x + 20

Zo. De wortel staat alleen.
Beide kanten van de balans in het kwadraat:

Let goed op dat er haakjes staan:   ((x + 8))2  =  (-2x + 20)2
Aan de linkerkant valt de wortel weg.
Aan de rechterkant moet je goed uitkijken; er staat eigenlijk  (-2x + 20) • (-2x + 20) en in de les over haakjes zagen we dat je in zo'n geval alle blokjes binnen de linkerhaakjes moet vermenigvuldigen met alle binnen de rechterhaakjes:

(x + 8) = -2x -2x  + -2x • 20 + 20 • -2x + 20 • 20
  x + 8 = 4x2 - 40x - 40x + 400
  x + 8 = 4x2 - 80x + 400

Zo, de haakjes zijn weg.  Omdat er rechts een kwadraat staat gaan er nul van maken en dan zal dat straks wel weer de ABC-formule worden.

  0 =  4x2 - 80x + 400 - x - 8
  0 =  4x2 - 81x + 392

a = 4,  b = -81 en c = 392 levert ons op   x = 121/4  of  x = 8

STAP 3.  CONTROLEREN.

En nu komt het vreemde:  alhoewel we alleen maar legale dingen met onze vergelijking hebben gedaan is het toch mogelijk dat er foute antwoorden in onze oplossingen zijn geslopen. Dat heten zogenaamde "Valse Wortels". 
Omdat er zulke valse wortels kunnen zijn zit er niets anders op dan onze antwoorden te controleren
x = 8 invullen bij voorbeeld 2 geeft 6 - √16 = 2 • 8 - 14  ofwel 2 = 2 en dat klopt!
x = 121/4 invullen geeft  6 - √25 = 2 • 121/4 - 14  ofwel  1 = 11
AHA! Betrapt!!
Die 121/4 is zo'n Valse Wortel en klopt niet. De enige oplossing is dus x = 8.

Als je graag beter wilt weten waar die Valse Wortels nou precies vandaan komen, dan moet je de verdieping hiernaast maar lezen.

1. Los op:
a. √(x + 6) = x

 x = 3

f. 2√x - x = -15

 x = 25

b. 2 - 3√(x) =  x - 16

 x = 9

g. √(4 - x) = x + 8

 x = -5

c. -5√(2x + 1) = -12

 x = 2,38

h. 2x + 2 = 2√x + x + 10  

 x = 16

d. x + 1 = 3 + √x

 x = 4

i. x - √x = 30

 x = 36

e. √(6 - 5x) + x = 2

 x = 1 of -2

j. √(1 + √x) = 4

 x = 225

2. Voor de lengte van meisjes in Nederland tussen de 0 en 10 jaar geldt ongeveer de volgende formule:

L(t) = 43 • √(t + 1,6)

Daarin is t de leeftijd in jaren en L de lengte in cm.
a. Leg duidelijk uit waarom deze grafiek geen "normaal" randpunt heeft.
b. Hoe lang is gemiddeld een pasgeboren baby?

 54,39 cm

c. Op welke leeftijd is de gemiddelde lengte gelijk aan 110 cm?

 t = 4,94

Een kinderarts beweert dat het getal 1,6 uit de formule onjuist is.  Hij baseert dat op een eigen onderzoek waaruit bleek dat op 8 jarige leeftijd de gemiddelde leeftijd van meisjes in Nederland gelijk was aan 137 cm.
d. Hoe groot moet volgens deze arts het getal 1,6 dan wél zijn?

 2,15

Het kan natuurlijk ook dat de 1,6 wél klopt maar de 43 niet.
e. Hoe groot zou in dat geval deze 43 moeten worden om de formule te laten  kloppen met de gegevens van de arts?

 44,2

3. We bekijken een heleboel cilinders met hoogte 10.
Van al deze cilinders meten we de totale buitenoppervlakte (bovenkant, onderkant en de mantel) en ook de straal van het grondvlak.
Dat geeft bij benadering de volgende formule:  r  = -5 + √(25 + 0,16A)
Daarbij is r de straal van het grondvlak en A de totale buitenoppervlakte.
Een afleiding van deze formule kun je in de verdieping hiernaast vinden.
 
a. Die 25 uit de formule is precies het kwadraat van die 5. Leg uit waarom de formule niet kan kloppen als dat niet zo zou zijn.
     
b. Bereken algebraïsch welke oppervlakte een cilinder met straal grondvlak 4 heeft.

 350

4. Een auto rijdt met een constante snelheid maar begint op t = 0 op te trekken.
Er staan een aantal hectometerpaaltjes langs de weg en bij elk paaltje wordt genoteerd op welk tijdstip de auto er langsreed.  Dat geeft  t = 60√(100 + 0,4n) - 600
(n is het nummer van het paaltje met n = 0 voor het paaltje waar de auto begint op te trekken,  t de tijd in minuten).
a. Hoe lang doet de auto erover om van het vierde naar het vijfde paaltje te rijden?

 1,19 min.

     
b. Waar is de auto na 20 minuten rijden? Geef een algebraïsche berekening.

 1694 m

     
c. Hoe kun je aan de grafiek van t(n) zien dat de auto steeds sneller gaat rijden?
       
5.

     

 [-2, -1] 0,→〉

       
6. Een hardloper loopt elke week een zelfde soort rondje.
Hij begint vanaf zijn huis met en stuk van 6 km over een verharde weg.
Dan slaat hij linksaf (90°) en loopt een stuk van lente x km over een zandpad.
Op een gegeven moment heeft hij daar genoeg van, en loopt hij direct in een rechte lijn door het weiland terug naar zijn huis.

Voor de totale gelopen afstand geldt dan  
A = x + 6 + √(36 + x2)

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Bereken algebraïsch welke afstand de loper over het zandpad moet lopen om in totaal 24 km te lopen.
   

8 km.

       
7. Als je een voorwerp van een toren  met hoogte 51 meter naar beneden laat vallen, dan geldt voor de valtijd t (met tin seconden en t = 0 op het moment van loslaten) als functie van de hoogte h (in meters) de volgende formule:
t = √(10,20 - 0,20h
       
  a. Hoe hoog is het voorwerp na 2 seconden?  
     

31 meter

  b. Na hoeveel seconden bereikt het voorwerp de grond?
     

3,19 sec

  c. Ook voor een toren met hoogte 80 meter geldt een formule van de vorm  t = √(a - 0,20h
Bereken de waarde van a bij deze toren.
     

16

       
8. Bij een hardloopwedstrijd moeten de deelnemers een aantal rondjes lopen. Het rechthoekige parcours zie je hiernaast. De start en finish zijn op dezelfde plaats. Eén rondje is precies 3 km.

Een bepaalde loper loopt zijn eerste rondje met een gemiddelde snelheid van maar liefst 18 km per uur. Voor zijn afstand s (hemelsbreed) tot de start/finish geldt tijdens dat rondje de grafiek hiernaast (onder). Daarin staat de tijd in minuten en de afstand in meter. Zoals je ziet bestaat de grafiek uit drie delen.

       
  a. Leg uit hoe je uit die grafiek kunt afleiden dat zijn snelheid inderdaad 18 km/uur is.
     
  Voor deel II geldt de formule:
  s = √(90000t2 - 360000t + 720000)
     
  b. Toon dat aan.
     
  c. Bereken algebraïsch wanneer de afstand van de atleet tot de start voor het eerst groter is dan 800 meter
geef je antwoord in seconden nauwkeurig.
   

226sec

       
9. Kleine Laurens groeit als een wortel.
Letterlijk in dit geval, want zijn lengte L wordt gegeven door:  L = 16 • √(t + 9)
daarin is t in maanden met t = 0 als tijdstip van zijn geboorte, en L in cm. 
       
  a. Welke invloed heeft het getal 9 op de grafiek van L?
       
  b. Bereken algebraïsch wanneer Laurens 100 cm lang zal zijn. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

30,06 mnd

       
  Op de geboortedag van Laurens heeft  zijn trotse vader een boompje in de tuin geplant. Dat boompje was toen 60 cm hoog. Het boompje groeit lineair en zal na twee jaar 69,6 cm hoog zijn. Laurens is dan langer dan het boompje.
       
  c. Hoeveel procent is Laurens op dat moment langer dan het boompje?
     

32%

       
  d. Stel een formule op voor de lengte van het boompje en bepaal daarna op welk tijdstip Laurens en het boompje even lang zijn.
     

6,26 mnd

       
10. Examenopgave.

Door stijging van de gemiddelde temperatuur op aarde worden gletsjers steeds kleiner. Het ijs verdwijnt van plaatsen die eeuwenlang door de gletsjer waren bedekt. Waar het ijs is verdwenen ontstaan vaak korstmossen. Met behulp van deze mossen is het vaak mogelijk bij benadering het jaartal te bepalen waarop het ijs verdwenen is. De mosgroei treedt min of meer cirkelvormig op en er is een duidelijk verband tussen de diameter van het mos en de leeftijd. Hoe groter de diameter van het mos, hoe ouder het mos is, en dus hoe langer het geleden is dat die plaats nog door een gletsjer was bedekt. Op grond van een aantal metingen is de grafiek hiernaast getekend.
Deze grafiek geeft een verband tussen het aantal jaren (T in jaren) dat een plaats ijsvrij is en de diameter (D in mm) van het korstmos op die plaats.
 

Een formule die het verband beschrijft is D = 6,9 • √(T - 12)

De grafiek hiernaast en de formule geven voor T = 100 verschillende diameters.

       
  a. Bereken hoeveel procent de diameter uit de formule afwijkt van de diameter uit de grafiek. 
     

7,5%

  b. Bereken exact hoeveel jaar een plaats waar het korstmos 82,8 mm diameter heeft volgens de formule ijsvrij is.
     

156 jaar

  Volgens een ander model  begint de diameter van het korstmos te groeien 12 jaar nadat het ijs verdwenen is, maar is deze groei lineair met 0,8 mm per jaar.
       
  c. Bepaal voor welke diameter beide modellen hetzelfde aantal jaren voorspellen.  Doe dat zowel met de grafiek hierboven als met de formule voor D.
     

86,39 jaar

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)