Verdelingen veranderen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Als leraar moet je vaak verdelingen veranderen!
Neem bijvoorbeeld de lerares Nederlands die een toets heeft gegeven en daar de volgende cijfers op zou moeten geven:
   
3,5  6,4  4,8  2,1  7,0  5,6  5,8  6,2  5,4  4,1
5,7  6,7  6,8  6,8  7,4  5,1  5,2  4,3  3,0  5,9
7,2  8,1  6,0  6,4  5,5
   
Zo! Oei!!
Da's niet al te best.
Ze tekent ter illustratie het histogram hiernaast en berekent met haar TI-83 dat het gemiddelde gelijk is aan 5,64 en de standaarddeviatie 1,39. Die zijn in de figuur hiernaast aangegeven.
Maar goed, de toets was ook wel een beetje erg lang geweest...

Ze besluit om de cijfers wat op te gaan waarderen.
Nou kan dat op meerdere manieren, maar twee zijn de meest gebruikte opwaardeermethoden, en dat zijn de volgenden:

Methode 1:  Geef iedereen er gewoon een zelfde hoeveelheid bij.
   Bijvoorbeeld:  "Iedereen krijgt 0,8 punt hoger"
Methode 2:  Verander de omrekenfactor.
   Bijvoorbeeld:  "Vermenigvuldig alle cijfers met 1,2"  ofwel "Geef iedereen 20% extra".
   
Hoe veranderen het gemiddelde en de standaarddeviatie daardoor?
   
Dat kun je het best zien aan het histogram.

Bij methode 1 krijgt iedereen er bijvoorbeeld 0,8 punt bij, dus dat wil zeggen dat elke staaf 0,8 verder naar rechts komt te liggen. Ofwel: het histogram verschuift in zijn geheel naar rechts. De vorm ervan blijft daarbij gelijk.
Dat zal er dus ongeveer z uitzien:
   

   
Je ziet dat het gemiddelde daardoor k 0,8 groter zal worden, maar dat de standaarddeviatie gelijk blijft! De standaarddeviatie is immers zoiets als de breedte van het histogram, en die breedte (hoe ver de getallen uit elkaar liggen)verandert niet bij het verschuiven.
   
Bij methode 2 wordt elk cijfer bijvoorbeeld met 1,2 vermenigvuldigd. Een 2 wordt een 2,4 en een 3 wordt een 3,6. Maar dat betekent dat die eerste staaf van 2 naar 3 nu van 2,4 naar 3,6 loopt. Dus die is 1,2 keer zo breed geworden.
En dat geldt voor lke staaf van het histogram. Dus het hele histogram wordt 1,2 keer zo breed. Dat ziet er ongeveer z uit:
   

   
Als de breedte van het histogram 1,2 keer zo groot wordt, dan wordt de standaarddeviatie dat ook.

Conclusies voor het veranderen van verdelingen:
   
elk getal   +     gemiddelde +a
  standaarddeviatie ongewijzigd
     
elk getal       gemiddelde  a
 
standaarddeviatie a
   
   

   

standaarddeviatie

   

steekproeven

   
1. Een schaatscoach heeft van n van zijn rijders tijdens een training de rondetijden van een aantal rondjes (van elk 400 meter) bijgehouden. Dat gaf de volgende tijden:
   
 
30.3   30.7   30.7   31.6   31.7   31.8   33.2   33.5   33.9
34.0   34.0   35.3   35.4   35.5   36.5   37.9   38.5   38.6
   
  a. Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie van deze tijden.

x=34,06 en  σ = 2,59

       
  De coach gaat ook de gemiddelde snelheid (in km/uur) voor de rondjes berekenen.
Dat doet hij met de formule  v 1440/t  waarin v de snelheid in km/uur is en t de tijd in seconden.
       
  b. Leg uit waar deze formule vandaan komt en bereken voor alle rondjes de snelheid v.
       
  c. Bereken de gemiddelde snelheid en de standaarddeviatie daarvan die de coach voor deze rondjes zal vinden.  Leg ook uit waarom je de regels voor getallen veranderen uit de theorie hierboven niet kunt gebruiken.
     

x=42,52 en σ=3,19

  d. Wat zou het gemiddelde en de standaarddeviatie van de snelheden zijn als de coach de snelheden niet in km/uur maar in m/s zou hebben berekend?
 

x=11,81 en σ=0,89

2. Voor een populaire discotheek moet iedere bezoeker 5,00 entreegeld betalen, en verder verdient de discotheek natuurlijk ook nog aan alle drankjes die men neemt.  Het blijkt dat de bezoekers gemiddeld een bedrag van 22,50 aan drankjes besteden, met een standaarddeviatie van  6,80.

Neem in onderstaande vragen aan dat bij prijswijzigingen het drankgebruik van degenen die komen niet verandert (het aantal bezoekers dat komt zal ongetwijfeld wl veranderen).
 
  a. Op een avond verhoogt men het entreegeld met 2,00.
Hoe groot zullen dan de totale uitgaven per persoon en de standaarddeviatie daarvan worden?
   

x=24,50 en σ=6,80

  b. Op een andere avond heeft men de actie  "Alle drankjes 30% korting".
Hoe groot zullen dan de totale uitgaven per persoon en de standaarddeviatie daarvan worden?
   

x=17,25 en σ=4,76

  c. Op een derde avond verlaagt men de entreeprijs naar 3,00 maar verhoogt men de prijs van de drankjes met 16%. Hoe groot zullen dan de totale uitgaven per persoon en de standaarddeviatie daarvan worden?

x=22,125 en σ=7,82

3. Het KNMI heeft een groot aantal dagen de gemiddelde temperatuur in ons land bijgehouden. Men vond een gemiddelde temperatuur van  18,4 C  met een standaarddeviatie van 4,8 C
In o.a. de Verenigde Staten gebruikt men echter niet de eenheid "graden Celsius" (C) maar  "graden Fahrenheit" (F)
De omrekening gaat volgens de formule  F = 1,8 C + 32.

Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie van de temperaturen die het KNMI heeft gemeten in graden Fahrenheit.
   

x=65,12 en σ = 8,64

4. Voor dameskleding gebruiken Europa, Engeland en Amerika verschillende maten.
In de twee tabellen hieronder zie je welke maten voor blouses, truien en kousen bij elkaar horen en de verschillende landen.
     
 
Dameskleding Blouses/Truien
Europa 40 42 44 46 48 50 52
Engeland 34 36 38 40 42 44 46
Amerika 32 34 36 38 40 42 44
     
 
Dameskleding  Kousen
Europa 33 34 36 38 40 42 44
Engeland/Amerika 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11
     
  a. Een winkel in Engeland heeft een voorraad truien in het magazijn liggen met een gemiddelde maat 42 en een standaarddeviatie van 1,8. Wat zouden het gemiddelde en de standaarddeviatie van deze voorraad  in Europa zijn?
     
  b. De verkoop van kousen van een winkel in Amerika had de afgelopen week een gemiddelde maat 10 met een standaarddeviatie van 1,4. Wat zouden het gemiddelde en de standaarddeviatie van deze verkoop in Europa zijn?
     
   

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)