Veranderen van grondtal.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Neem de vergelijking  2x = 5.
Die had als oplossing  x = 2log 5. En dat zouden we niet uitrekenen, maar gewoon als antwoord laten staan.
Maar stel dat we nou tóch graag willen weten hoe groot dat antwoord in twee decimalen achter de komma is?

Daar is een methode voor.
Op je rekenmachine zit een knop waarmee je 10log x kunt uitrekenen; dat is de knop  LOG

LOG(x) = 10logx
Dus als we nou al onze  2log en 5log en  18log en  ...  kunnen veranderen in 10log, dan kunnen we ze met deze knop benaderen.

En dat kan.
Er is een formule om logaritmen van grondtal te laten veranderen, en dat is:

Het bewijs ervan staat hiernaast.
Als we in deze formule nu nemen p = 10 dan staat er: 

Daarbij is die laatste LOG dus onze rekenmachine-knop.
Dus bijvoorbeeld:    3log12 = LOG12/LOG3  =  2,26    (controleer zelf maar dat  32,26 = 12)
   
  OPGAVEN
1. Benader in twee decimalen:
             
a. 6log 5 = ...

0,90
d. 2log π = ...

1,65
b. 2,5log 34 = ...

3,85
e. 3log(125) = ...

4,39
  c. √3log 10 = ...

4,19
f. 0,2log(12) = ...

-1,54
     
2. a. Toon aan dat  2log x = - 0,5logx
Kun je een algemene regel formuleren?
   

glogx = - 1/glogx
b. Toon aan dat  9logx = 1/2 • 3logx
Los daarmee op:   9logx + 3logx = 9
     

x = 729
c. Toon aan dat geldt:
3. Los algebraďsch op, geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig:
             
a. 2 • 3x = 12

1,63
d.   20 - 3 • 5x = 8

0,86
b. 8 - 4 • 2x = 5

-0,42
e.    22x - 4 =  6

3,29
  c. 2 • 0,5x = 7

-1,81
f. 3 + 3x - 1 = 8

2,46
         
4. Los de volgende vergelijkingen algebraďsch op door de grondtallen gelijk te maken.
         
  a. 3 • 2logx + 0,5logx  = 5

x = 4√2
  b. 4logx + 16logx = 3

x = 16
         
5. Als we van een exponentieel proces de groeifactor zouden verdubbelen, dan zou de verdubbelingstijd 3 keer zo klein worden. Hoe groot is die groeifactor?
 

g = √2
   
6. Wat kun je van g en van x zeggen als je weet dat  glogx een positief getal is?
 

beiden kleiner dan 1
of beiden groter dan 1
   
7. Het aantal mensen dat elk jaar "toerisme"  wil gaan studeren neemt de laatste jaren nogal toe. Kennelijk is het een interessante studie! Bij benadering werd het aantal inschrijvingen (I) als functie van het aantal jaren (t met t = 0 in 2005) gegeven door de formule:
 

log I = 2,5 + log(t + 0,06)
   
  Maar het aantal beschikbare plaatsen daalt door bezuinigingen en uitbreiding van de opleidingseisen nogal.
Voor dat aantal plaatsen (P) geldt namelijk:
 

log P = 3,5 - 0,02t
   
  a. Hoeveel inschrijvingen waren er in 2006?
       

335
  b. Hoe groot is het overschot aan opleidingsplaatsen in 2010? 
       

912
  c. Bereken vanaf welk jaar het aantal opleidingsplaatsen voor het eerst minder zal zijn dan het aantal inschrijvingen.
       

2011
         
8. De ouders van Kees hebben nauwkeurig zijn lengte bijgehouden.
Voor de lengte van Kees tussen leeftijd 0 en leeftijd 20 bleek de volgende formule te gelden:
   
 

logL = 1,69 + 0,029t
         
  Daarin is t de leeftijd in jaren en L de lengte in cm.
         
  a. Hoe lang was Kees bij zijn geboorte?
       

49 cm
  b. Welke groeifactor per jaar hoort er bij het groeien van Kees?
       

1,069
         
9. Om de sterkte van een aardbeving aan te geven gebruikt men de Schaal van Richter.
Richter gaf een aardbeving die op een afstand van 100 km een uitwijking van 1 mm op een seismograaf geeft een grootte 3. Zijn schaal is verder  logaritmisch, wat betekent dat bij elke toename van 1 op de schaal, de uitwijking op de seismograaf tien keer zo groot is. Zo is een aardbeving die op 100 km afstand een uitwijking van 100 mm veroorzaakt een beving met sterkte 5.
Het verband tussen de hoeveelheid energie (E in Joule) van een beving en de sterkte op de schaal van Richter (R) is:  R = 2/3log(1/2E) - 3
         
  a. Bij de grote aardbeving in Lissabon in 1755  kwam maar liefst 2 • 1018  Joule aan energie vrij.
Bereken de grootte op de schaal van Richter.
       

9,0
  b. Mogelijk heeft de inslag van een meteoriet met een diameter van 10 kilometer aan het einde van het Krijt (65 miljoen jaar geleden), waardoor de Chicxulubkrater is gevormd, een beving met een magnitude van 12,0 of hoger veroorzaakt. Bereken de hoeveelheid energie die daarbij vrijkwam.
       

6,3•1022 J
         
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2003.

Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze wetten worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt.

In deze opgave nemen we aan dat alle vliegtuigen hetzelfde geluidsniveau hebben. Dit geluidsniveau geven we aan met L. De waarde van L bepaalt hoeveel vliegtuigen jaarlijks mogen passeren. Dit maximale aantal noemen we N. Voor een gebied in de buurt van vliegveld Zuidwijk gold aan het eind van de vorige eeuw de voorwaarde:
20 • log N = 202 - 4/3•L

Door het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau L van vliegtuigen af.
In zekere periode nam L af van 75 tot 70.
         
  a. Toon door berekening aan dat N in die periode meer dan verdubbelde.
         
  b. Bereken de maximale waarde van L waarbij er een half miljoen (500000) vliegtuigen mogen passeren.
       

L = 66
11. Bereken zonder rekenmachine:  2log3 • 3log4 • 4log5 • 5log6 • ... • 63log64
       

6
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)