De vectorvoorstelling van een vlak.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

         
Als je de vectorvoorstelling van een vlak wilt maken, dan zul je wel op dezelfde manier als bij een lijn beginnen met een steunvector. Een vector vanaf de oorsprong naar een willekeurig punt P van dat vlak.

Maar dan komen al snel de problemen.....
         

         
Voor een lijn moest je nu vanaf punt P een aantal keer een richtingsvector nemen, en daarmee kon je alle punten van die lijn bereiken. Maar bij een vlak werkt dat niet! Om het punt R hierboven te bereiken is een hele andere richting nodig dan om in Q te komen, en voor S is wéér een andere richting nodig.
Het lijkt een onbegonnen werk. Als je alle punten van dit vlak wilt bereiken, dan is na die steunvector OP een oneindig aantal verschillende richtingen mogelijk.

Maar er is hoop!

De hoop komt als je kijkt naar ons oude vertrouwde xy-vlak. Om alle punten daarin te bereiken waren alleen een x-as en een y-as nodig. Maar twee richtingen dus! Van elk punt hoefde je alleen maar te zeggen hoe ver je in de x-richting moest gaan (de x-coördinaat) en hoe ver in de y-richting (de y-coördinaat)

Het lijkt erop dat twee richtingen genoeg zijn om een vlak helemaal vast te leggen. (als ze maar niet evenwijdig zijn, maar ja, dan is het eigenlijk maar één richting natuurlijk....). Hmmm... nu ik erover nadenk....Dat is natuurlijk ook de reden dat we een vlak tweedimensionaal noemen.
         

         
Vanaf punt P kun je door een aantal maal de groene pijl te nemen en een aantal maal de blauwe pijl, elk punt van het vlak bereiken (de groene en de blauwe hoeven niet loodrecht op elkaar te staan zoals we van de x-as en de y-as gewend zijn, de enige voorwaarde is dat ze niet evenwijdig zijn).
De vectorvoorstelling van een vlak bestaat dus uit een steunvector plus een aantal (λ) maal een richtingsvector plus nog een aantal (μ) maal een andere richtingsvector. Zó bijvoorbeeld:
         

         
Voor λ = 1 en μ = 1 krijg je bijvoorbeeld het punt  (4, 8, -3).  En voor λ = -2 en μ = 5 het punt  (-9, -7, 17). En voor
λ = 0 en μ = -1  het punt  (3, 3, -3).  Allemaal punten van dit platte vlak.
         
De keuze van de richtingsvectoren.

We zagen hierboven al dat er maar twee voorwaarden aan de richtingsvectoren zijn, namelijk dat ze in het vlak liggen, en dat ze niet evenwijdig zijn. Dat geeft nog keuzevrijheid genoeg.
Als je twee (niet-evenwijdige) richtingen hebt kun je die twee bij elkaar optellen, en dan krijg je uiteraard wéér een richting uit het vlak. Dat kun je soms gebruiken om "ingewikkelde" richtingsvectoren te vervangen door simpelere vectoren. Vooral veel nullen erin is vaak makkelijk rekenen. Elke combinatie van twee richtingsvectoren geeft wéér een nieuwe mogelijk richtingsvector.
Zo kun je bijvoorbeeld in de lijn hierboven twee keer de tweede richtingsvector optellen bij de eerste:
Deze vectorvoorstelling beschrijft precies hetzelfde vlak als de oorspronkelijke.

Voorbeeld.

Geef een vectorvoorstelling van het vlak door de punten P(2,-3,6) en Q(-1, 5, 5) en R(4, 10, -3)
Mogelijke richtingsvectoren zijn PQ en QR en PR.
Kies bijvoorbeeld de eerste en de tweede, en kies bijvoorbeeld als steunvector OP, dan krijg je het vlak:
Maar elke keuze van twee van die drie richtingsvectoren is goed, en ook combinaties van een aantal keer de ene plus een aantal keer de andere zijn allemaal goed.
         
Het snijpunt van een lijn met een vlak.
         
Nou, dat begint makkelijk.
Voor het snijpunt moet gelden dat de x-coördinaat van de lijn gelijk is aan de x-coördinaat van het vlak. En ook de y-coördinaten en de z-coördinaten van lijn en vlak moeten gelijk zijn. Dat betekent dat de bovenste "regel" (de x) van de vectorvoorstellingen gelijk moet zijn en de middelste "regel" (de y) ook en de onderste "regel" (de z) ook.
Dat geeft drie vergelijkingen met drie onbekenden.
         
Voorbeeld.
         
(als derde Griekse letter wordt meestal de r (spreek uit "ro") genomen, zoals je ziet).
Dat geeft de volgende drie vergelijkingen:
x-vergelijking:
y-vergelijking:
z-vergelijking: 
2 + λ + 4μ = -2ρ.
1 + 3λ - 2μ = -3 + 4ρ.
-1 - 2λ + μ = -20 + 3ρ.
         
Oh ja? En hoe los ik in vredesnaam drie vergelijkingen met drie onbekenden op?
         
Als je uitgebreidere uitleg wilt over het oplossen van vergelijkingen met meer onbekenden dan moet je eerst deze les over twee vergelijkingen met twee onbekenden doornemen. Met drie vergelijkingen gaat het precies zo.
Voor de ongeduldigen onder ons hier nog even een spoedcursus "drie vergelijkingen met drie onbekenden".
         

         
Toegepast op het voorbeeld van het vlak en de lijn hierboven geeft dat:
Van de x-vergelijking kun je maken:  λ = -2ρ - 4μ - 2 
invullen in de andere twee:
1 + 3λ - 2μ = -3 + 4ρ   1 + 3(-2ρ - 4μ - 2) - 2μ = -3 + 4ρ  10ρ + 14μ + 2 = 0
-1 - 2λ + μ = -20 + 3ρ ⇒ -1 - 2(-2ρ - 4μ - 2) + μ = -20 + 3ρ ρ + 9μ + 23 = 0
Dat zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden.
Van de eerste kun je maken  ρ = -1,4μ - 0,2
Invullen in de tweede:
(-1,4μ - 0,2) + 9μ + 23 = 0
-1,4
μ - 0,2 + 9μ + 23 = 0    7,6μ = -22,8     μ = -3
ρ = -1,4μ - 0,2 geeft dan ρ = 4.
λ = -2ρ - 4μ - 2  geeft dan  λ = 2.
         

Het snijpunt is het punt  (-8, 13, -8)  (vul de gevonden λ, μ en r maar in bij de lijn en/of het vlak).

Nou, zo werkt dat dus.
(Voor een nog mooiere manier, zou je deze les over schoonvegen kunnen bekijken).

         
         
OPGAVEN
   
1. Geef een vectorvoorstelling van de volgende vlakken:
         
  a. Door  (2, -3, 4)  en  (8, -1, 3)  en  (4, 4, -6)
         
  b. Door  (-5, 1, 1)  en  (-2, 5, -4)  en  (1, 0, -6)
         
2. Bereken voor de volgende gevallen het snijpunt van de lijn met het vlak:
         
  a.
       

(11, -25, 6)

  b.
       

(21, 24, 14)

  c.
       

(71/7, -96/7, 32/7)

         
3. Twee vlakken zijn evenwijdig als de richtingsvectoren van het ene vlak ook richtingsvectoren van het andere vlak zouden kunnen zijn, dat lijkt me logisch.

Leg duidelijk uit of de volgende vlakken evenwijdig zijn of niet.
         
  a.
       

JA

  b.
       

NEE

         
4. Toon aan door vectormeetkunde te gebruiken dat in een kubus ABCD.EFGH het vlak BDG precies 1/3 deel van lichaamsdiagonaal EC afsnijdt.
         
         
5. ABC.DEF is een prisma met AD = 6, en 
AB = BC = AC = 4.
P is het midden van  CF en Q is het midden van CB.

Het snijpunt van  APE  en DQ is punt S.

Bereken de lengte CS.
Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)