Stelsels Vergelijkingen

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Stel dat je gevraagd wordt    "Los op:  2x + 4y = 20".
Dat gaat niet lukken!
Waarom niet?
Nou, omdat er oneindig veel oplossingen zijn. Je hebt maar n formule en twee letters. Dat is een beetje teveel van het goede. Bij elke x die je noemt kan ik wel een y bedenken zodat de vergelijking klopt!
Noem een x.....  Wat zeg je....?   x = 2....? 
Ok:
Met x = 2 dan staat er  2 2 + 4y = 20   ⇒  4y = 16  ⇒  y = 4
En zo geeft  x = 4 dat  y = 3 en  x = 10,8 dat y = -0,4  en ga zo maar door.....

Kortom: we hebben nog een extra voorwaarde of vergelijking nodig. Dan wil het (meestal) wel!

voor n letter heb je n vergelijking nodig
voor twee letters heb je twee vergelijkingen nodig
voor drie letters heb je drie vergelijkingen nodig.
.............

Deze les concentreren we ons op twee vergelijkingen met twee letters. 
Er zijn twee methodes om zo'n stelsel van twee vergelijkingen op te lossen:
METHODE 1:  SUBSTITUTIE
Deze methode is met n receptje samen te vatten:

stap 1:  Maak van n van beide vergelijkingen  letter = .....
stap 2:  Vul dat in in de andere vergelijking

Een voorbeeld zal veel verduidelijken:
Neem het stelsel  2x + 4y = 20  en   3x - 2y = 14
stap 1:  maak bijv. van de eerste vergelijking  x = .....
2x + 4y = 20  ⇒  2x = 20 - 4y  ⇒  x = 10 - 2y
stap 2: vervang in de tweede vergelijking x door  10 - 2y:
3(10 - 2y) - 2y = 14  ⇒  30 - 6y - 2y = 14  ⇒ 30 - 8y = 14  ⇒  -8y = -16  ⇒  y =  2
dat geeft  x = 10 - 2y = 10 - 2 2 = 6
De oplossing is dus  x = 6  en  y = 2
1. Los op door substitutie:
           
a. 4x + y = 10  en  3x + 2y = 0  

x = 4, y = -6

b. 2x - 5y = 4  en  6x - 10y = 2  

x = -3, y = -2

  c. 3x + 5y = 12  en   6y - 2x = 8  

x = 8/7, y = 12/7

  d. x + 4 =  3y - x  en   5x = 2y + 3  

x = 17/11, y = 26/11

  e. -2x - 4y = 9  en  3y = x - 4    

x = -1,1, y = -1,7

  f. 2x = 7 - 3y  en  7 - 5x = 4y  

x = -1, y = 3

METHODE 2:  LINEAIRE COMBINATIE
Deze methode berust op het eenvoudige basisprincipe:

als a = b  en  c = d  dan is  a + c = b + d

Neem weer het stelsel uit het voorbeeld hierboven:  2x + 4y = 20  en   3x - 2y = 14
Dan zegt de regel hierboven dat geldt  2x + 4y + 3x - 2y = 20 + 14  ofwel  5x + 2y = 34.
Daar lijken we niets mee op te schieten. Het klopt misschien wel, maar we krijgen er geen antwoord door.

Maar nou komt de truc:  als we eerst de vergelijkingen met de balansmethode veranderen kunnen we het misschien z regelen dat bij het optellen n van de letters wegvalt!!!!!
Neem de tweede vergelijking  3x - 2y = 14. 
Die kunnen we veranderen door beide kanten met 2 te vermenigvuldigen in  6x - 4y = 28.
En kijk wat er nu gebeurt bij optellen:   2x + 4y + 6x - 4y = 20 + 28  ofwel  8x = 48  dus  x = 6
Invullen in n van beide vergelijkingen levert dan direct y = 2.
We noteren dat als volgt:

Soms moet je zelfs beide vergelijkingen ergens mee vermenigvuldigen om een letter te laten wegvallen.
Neem bijvoorbeeld het stelsel  2x - 5y = 11  en   7x  + 3y = 59.
Hier zijn twee mogelijke oplossingen. Probeer zelf te achterhalen wat er gedaan is:

Beide methodes geven de oplossing  x = 8  en y = 1.
2. Los op door lineaire combinatie:
         
a. 2x + 3y = 6  en  5x - 4y = 8  

x = 48/23, y = 14/23

b. x + 3y = 5  en  3x + 8y = -10  

x = -70, y = 25

  c. 4y = 4 - x  en   5x = 8 - 3y  

x = 20/17, y = 12/17

  d. 2y + 12x = 9  en  7 - 3x = 4y  

x = 11/21, y = 19/14

  e. -3x - 3y = 8 en  5x + 2y - 13 = 0   

x = 55/9, y = -79/9

f. 2x = 5 - 3y  en   5x + 2y = 7   

x =1 , y = 1

Formules uit een verhaaltje opstellen.
   
Als het er niet bij wordt gegeven is meestal het grootste probleem:  "Wat zijn de letters?".
Daar kom je vooral achter door veel vraagstukken te oefenen, dan ga je hopelijk zien dat ze allemaal eigenlijk veel op elkaar lijken. Als tip:  de letters zijn steeds de dingen die je moet uitrekenen.

Hoe maak je uit een tekst formules?  Hier staan een paar veel gebruikte Nederlandse zinnen met hun wiskundevertaling er achter:

   
 
Nederlands Wiskundig
"x is vijf groter dan y"
"er zijn tweemaal zoveel y als x"
"het verschil tussen x en y is 18"
"de helft van x is twee minder dan y"
x = y + 5
y = 2x
x - y =
18   of   y - x = 18
0,5x = y - 2
   
Je kunt, als je twijfelt of je wel een goede formule hebt gemaakt, altijd even controleren door een paar getallen in te vullen. Als je bijvoorbeeld bij  "er zijn tweemaal zoveel y als x" hierboven of je nou moet zeggen  y = 2x  of misschien  x = 2y dan neem je gewoon twee getallen waarvoor het moet kloppen. Dat zou kunnen zijn y = 4 en x = 2 want dan zijn er inderdaad tweemaal zoveel y als x. De vergelijking  y = 2x geeft dan  4 = 2 2 en dat klopt. De vergelijking x = 2 y  geeft  2 = 2 4 en dat klopt niet. De goede is dus de eerste.
   
3. Ik heb 40 muntstukken in mijn portemonnee. Het zijn munten van 20 cent en munten van 1 euro. Het totale bedrag dat deze munten waard zijn is 25,60 euro.
Hoeveel 1-euro munten heb ik?
 

  22 

4.
(kangoeroewedstrijd)
Achter in mijn tuin zitten een vast aantal kraaien (k) op een vast aantal paaltjes (p)
Als op elk paaltje n kraai zit, zijn er 20 kraaien over.
Als de kraaien een beetje sociaal zijn gaan ze met z'n tween op een paaltje zitten.
In dat geval blijven  er 10 paaltjes leeg.

Hoeveel kraaien en hoeveel paaltjes heb ik in mijn tuin?

 

k = 60, p = 40

   
5. Vijf flessen whisky en acht flessen wijn kosten samen 146 euro.
Vier flessen whisky en twee flessen wijn kosten samen 86 euro.
Hoeveel kosten tien flessen whisky en zeven flessen wijn samen?
 

229 euro

   
6. De buurman van Jolanda heeft een groot hok in zijn tuin met een boel kippen en konijnen. Jolanda is aan het tellen geweest en heeft ontdekt dat er in het hok  108 poten rondlopen en dat er 39 koppen zijn. Hoeveel konijnen en hoeveel kippen zijn er?
 

15 en 24

7. Voor het komende schoolfeest is de leerlingenvereniging kaartjes aan het verkopen. Kaartjes voor leerlingen kosten  2,50 en kaartjes voor ouders kosten 4,00. Na een poosje komen ze er achter dat eigenlijk niemand heeft bijgehouden hoeveel kaartjes van elke soort zijn verkocht. Het enige dat de verkopers kunnen melden is dat er in totaal 80 kaartjes zijn verkocht voor samen 242,00.
Hoeveel van elke soort zijn er verkocht?
 

52 en 28

8. Bij een timmerbedrijfje werken 8 timmermannen elk 6 uur per dag, 5 dagen in de week.
Een leunstoel timmeren kost 4 uur en een tafel kost 3 uur. Verder kost een leunstoel 12,50 aan materiaal en een tafel 8,00.  Men werkt fulltime een hele week en verwerkt precies 689,50 aan materiaal.
Hoeveel stoelen en tafels zijn er gemaakt?
 

27 en 44

9. Ik heb een grote hoeveelheid vloeistof met een alcoholpercentage van  50%.
Verder heb ik een grote hoeveelheid vloeistof met een alcoholpercentage van 12%
Hoe kan ik daarvan door te mengen 100 liter met een alcoholpercentage van 30% maken?
Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
 

47,316 en
52,631

 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)