Gedempte trillingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Een massa die aan een veer hangt en een uitwijking krijgt zal gaan trillen. Maar doordat er wrijving is zal zo'n massa na een poosje weer stil komen te hangen.

De kracht Fv die de veer uitoefent is afhankelijk van de uitwijking u volgens  Fv = -cu waarin c de veerconstante is.
De wrijvingskracht is tegengesteld aan de snelheid en er evenredig mee:  Fw = - kv = -ku'  waarin k de dempingscoëfficiënt is.
De totale kracht is dan gelijk aan  F = Fw + Fv en dat is gelijk aan  F = ma = m u''  

Samen geeft dat    m u'' = - k u' - c u

En jawel!  Daar is íe al:  een tweede orde differentiaalvergelijking.

File:Damped spring.gif

Breng alles naar één kant en deel door m  en je hebt:     u'' + k/mu' + c/mu = 0
We zagen al dat het soort oplossing nogal afhangt van de Discriminant van de karakteristieke vergelijking.
In dit geval is  D =  (k² - 4cm)/m2
Er zijn drie mogelijkheden, net als in de vorige les:
   
1.  D > 0:  Overdemping.
     
  In dit geval was de algemene oplossing gelijk aan
u(t) =  A • eλ1t + B • eλ2t

De l's voldoen aan de karakteristieke vergelijking  mλ² +  kλ + c = 0
Dat geeft:

 

  Het deel onder de wortel is kleiner dan 1, dus dat geeft twee waarden die beiden negatief zijn.

Dan krijg je een grafiek als hiernaast. Het "systeem" zal direct naar de rusttoestand terugkeren.
     
2.  D = 0:  Kritische demping.
     
  In dit geval was de algemene oplossing gelijk aan: 
u(t) = (At + B) • eλt
λ is de oplossing van  mλ² +  kλ + c = 0 met D = 0
Dat geeft:  l = -k/
2m

De grafiek vertoont exponentieel verval, soms voorafgegaan door een kleine piek zoals hiernaast (afhankelijk van de beginwaarden).
Het blijkt in het algemeen dat bij kritische demping het systeem het snelst weer in zijn rusttoestand is. Bij overdemping gaat het er langzamer naar toe, bij onderdemping (zie hieronder) schiet het systeem door en gaat oscilleren.

     
3. D < 0:  Onderdemping.
     
  In dit geval was de algemene oplossing gelijk aan 
u(t) = eat(Asin bt + Bcosbt)
Daarin is  a = -k/2m  en  b = √(c/m - k²/4m²).  Die b bepaalt dus de periode van de trilling en wordt ook wel w genoemd.
Als k = 0 gaat de
w naar  w0 = c/m, en dat is de frequentie van het ongedempte systeem; de gewone harmonische oscillator.

Als je twee sinussen met dezelfde periode optelt krijg je weer een sinusgrafiek met die periode. De trilling ziet er daarom uit zoals hiernaast. Het is een sinusoïde, waarvan de amplitude de grafiek van eat is.

     
   
   
  OPGAVEN
   
1. Een  massa van 4 kg hangt aan een veer met veerconstante 60 N/m. De dempingscoëfficiënt is gelijk aan 32 kg/s.
       
  a. De massa wordt vanuit evenwichtsstand 10 cm omlaag getrokken en daar stilgehouden.
Geef de vergelijking voor u(t) als de massa op t = 0 wordt losgelaten. 
       
  b. De massa krijgt op t = 0 in zijn evenwichtsstand door een duw een snelheid van 2 m/s omlaag.
Bereken de plaats van de massa op t = 2.
       
2. Een mountainbike heeft altijd schokbrekers in het frame opgenomen. De schokbrekers bij een bepaalde fiets zijn instelbaar en hebben op dit moment een veerconstante van c = 3000 N/m.
De dempingscoëfficiënt blijkt gelijk te zijn aan 2100 kg/s
       
  a. Bij welke massa zal kritische demping optreden?  
     

36,75 kg

  b. Op welke veerconstante moeten de schokbrekers worden afgesteld om bij 80 kg kritische demping te geven?
     

13781,25

  c. Een mountainbiker heeft zijn schokbrekers afgesteld op c = 8000. Hij weegt samen met zijn fiets 140 kg. Als hij door een kuil rijdt worden zijn schokbrekers ingedrukt tot 8 cm.
De fiets begint te trillen.
Hoe lang duurt het voordat de maximale uitwijking van de schokbrekers minder dan 0,5 cm is?
     

0,37 sec.

       
Een elektrische oscillator.
     
Hiernaast zie je een elektrisch circuit met daarin een weerstand R, een condensator C, en een spoel  L. Over de condensator staat een spanning V en er loopt door het circuit een stroom I.
Wat weten we voor de spanning V, de stroom I, en de lading Q bij deze drie onderdelen?
•  Weerstand:  V = I • R       .......(1)
•  Condensator:  Q = C • V  .......(2) 
•  Spoel:  V = L • dI/dt             .......(3)

Omdat I = -dQ/dt  geldt  met vergelijking (2) dat  I = -C • dV/dt   ......(4)
 
 
De totale spanning V is de spanning over de weerstand plus de spanning over de spoel:   V = I • R + L • dI/dt
Vul nu (4) in, en je krijgt:  V = -RC dV/dt - LC d²V/dt²
Dat is precies zo'n tweede orde differentiaalvergelijking als we de vorige les hadden.
Kijk maar:
 
 
Stel dat we in het circuit hiernaast de condensator opladen tot 10 V en dan op t = 0 de schakelaar sluiten.
Dan hangt het van de grootte van de weerstand R af wat er precies gebeurt in het circuit.
De differentiaalvergelijking is in dit geval   V'' + 0,01R • V'  + V = 0

Verder zijn de beginwaarden V(0) = 100 en  V'(0) = 0  (want de stroom op t = 0 is nul). Als we het spanningsverloop bekijken voor verschillende waarden van R krijg je zoiets:

     

     
3. Stel formules op voor de vier grafieken hierboven.
V = e-0,1t(10sint + 100cost)
V = (100t + 100)•e-t
V = e-0,3t(31,5sin(0,95t) + 100cos(0,95t))
V = 103e-0,17t - 3e
-5,83t
     
4. Hiernaast staat weer een circuit, deze keer met R en L parallel geschakeld.
Voor dit circuit geldt:

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Geef een vergelijking voor V(t) in het geval van kritieke demping als   L = 100mH en C = 0,01mF
Neem weer  V(0) = 100  en  V'(0) = 0
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)