© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. m • u'' = - k • u' - c • u     wordt in dit geval   4u''  = -32u'  - 60u
4u''  + 32u' + 60u = 0  met  u(0) = -10  en  u'(0) = 0
u'' + 8u' + 15 = 0
karakteristieke vergelijking    λ2 + 8λ + 15 = 0
(λ + 5)(λ + 3) = 0
λ = -5  ∨   λ = -3
Algemene oplossing:   u(t) = A • e-3t + B • e-5t 

u(0) = -10  geeft   A + B = -10  dus  B = -10 - A
u' (0) = 0 geeft   -3A - 5B = 0
de eerste invullen in de tweede geeft   -3A - 5(-10 - A) = 0  dus  A = -25  en dan is  B = 15
u(t) = -25e-3t + 15e-5t 
       
  b. Algemene oplossing:   u(t) = A • e-3t + B • e-5t 
u(0) = 0 geeft  A + B = 0  dus  B = -A
u' (0) = -2  geeft  -3A - 5B = -2
de eerste invullen in de tweede geeft  -3A - 5(-A) = -2   dus  A = -1  en dan is B = 1
u(t) =  -e-3t + e-5t

t = 2  geeft dan   u(10) =  -0,0024 cm
       
2. a. m • u'' = - k • u' - c • u     wordt in dit geval   mu''  = -910u'  - 2000u
mu''  + 910u' + 2000u  = 0
D = b2 - 4ac = 0  geeft   9102 - 4 • 2000 • m = 0
8281200 - 8000m = 0
m = 103,51 kg
       
  b. m • u'' = - k • u' - c • u     wordt in dit geval   80u''  = -910u'  - cu
80u'' + 910u'  + cu = 0
D = b2 - 4ac = 0  geeft  9102 - 4 • 80 • c = 0
8281200 - 320c = 0
c = 25878,75
       
  c. m • u'' = - k • u' - c • u     wordt in dit geval   140u'' = -410u' - 2000u
140u''  + 410u'  + 2000u = 0
karakteristieke vergelijking  140λ2 +  410λ + 2000 = 0
λ = (-410 ± √(-951900))/280 =  (-410 + i • 975,65)/280  = -1,464 ± 3,484i
Algemene oplossing:   u(t) = e-1,464t • (Acos3,484t + Bsin3,484t)
u(0) = -8  geeft   -8 = 1 • (A + 0)  dus  A = -8
u'(0) = 0  geeft   -1,464e-1,464•0 (-8 • 1 + B • 0)  +  e-1,464 • 0 (A • 0  + B • 1 • 3,484)
11,71 + 3,484B = 0  dus B = -3,36
De oplossing is  u(t) = e-1,464t • (-8cos3,484t  - 3,36sin3,484t)

Plotten en dan snijden met  u = ±0,5 geeft als laatste snijpunt  t = 1,34 sec.
       
3.  V'' + 0,01R • V'  + V = 0

eerste grafiek.
R =  20  geeft  karakteristieke vergelijking   λ2 + 0,2λ + 1 = 0
λ = (-0,2 ±√-3,96)/2 = -0,1 + 0,995i
Algemene oplossing:  V(t) =  e-0,1t • (Acos0,995t + Bsin0,995t)
V(0) = 100  geeft  100 = 1 • (A + 0)  dus  A = 100
V' =  -0,1e-0,1t (Acos0,995t + Bsin0,995t) +  e-0,1t (-0,995Asin0,995t + 0,995Bcos0,995t)
V'(0) = 0  geeft samen met A = 100  dan    0 = -0,1 • 1 • (100 + 0)  + 1 • (0 + 0,995B)  en dat geeft  B = 10,05
De oplossing is dan   V(t) = e-0,1t (100cos0,995t + 10,05sin0,995t)

tweede grafiek.
R = 200  geeft karakteristieke vergelijking   λ2 + 2λ + 1 = 0
(λ + 1)2 = 0  ⇒  λ = -1
Algemene oplossing  V(t) = (A + Bt) • e-t
V(0) = 100  geeft   A = 100
V'(t) =  -e-t • (A + Bt) + B • e-t 
V'(0) = 0  geeft  met A = 100 dan   0 = -1 • (100 + 0) + B • 1   dus  B = 100
De oplossing is dan  V(t) = (100 + 100t) • e-t

derde grafiek
R = 60  geeft karakteristieke vergelijking  λ2 + 0,6λ + 1 = 0
λ = (-0,6 ±√-3,64)/2 = -0,3 + 0,954i
Algemene oplossing:  V(t) =  e-0,3t • (Acos0,954t + Bsin0,954t)
V(0) = 100  geeft  100 = 1 • (A + 0)  dus  A = 100
V' =  -0,3e-0,3t (Acos0,954t + Bsin0,954t) +  e-0,3t (-0,954Asin0,954t + 0,954Bcos0,954t)
V'(0) = 0  geeft samen met A = 100  dan    0 = -0,3 • 1 • (100 + 0)  + 1 • (0 + 0,954B)  en dat geeft  B = 31,45
De oplossing is dan   V(t) = e-0,3t (100cos0,954t + 31,45sin0,954t)

vierde grafiek.
R = 600  geeft karakteristieke vergelijking  λ2 + 6λ + 1 = 0
λ = (-6 ±√32)/2 = -3 ± 2√2 = -0,172 Ú  -5,828
Algemene oplossing:   V(t) =  Ae-0,172t + Be-5,828t
V(0) = 100  geeft  100 = A + B  dus  B = 100 - A
V'(0) = 0  geeft  0 = -0,172A - 5,828B
de eerste invullen in de tweede:    0 = -0,172A - 5,828(100 - A)   en dat geeft  A = 103  en dan is  B = -3
De oplossing is  V(t) = 103e-0,172t - 3e-5,828t 

       
4. a. Noem de stroom door de weerstand R omhoog gelijk aan I3.
Dan is  I1 + I2 + I3 = 0  (komen bij een knooppunt bij elkaar)
Dus ook  I1'+ I2'+ I3'= 0    .....(1)

Over de condensator, de spoel en de weerstand staat overal een spanning V (ze staan parallel)
condensator:  V = Q/C dus  V' = Q'/C = I1/C   dus  V''  = I1'/C   dus  I1'= CV''
spoel:  V = L • I2'  dus  I2' =  V/L
weerstand:  V = I3 • R  dus  V' = I3' • R  dus  I3' = V'/R

Deze laatste drie invullen in (1):   
CV'' + V/L + V'/R = 0
V''  + 1/RC • V'  +  L/C • V = 0 
       
  b. L = 100mH en C = 0,01mF geeft    V''  + 100/R • V'  + 10000 = 0
karakteristieke vergelijking:   λ2 + 100/R • λ  + 10000 = 0
Kritieke demping als D = 0  ⇒  (100/R)2 - 40000 = 0  ⇒ 10000/R² - 40000 = 0  Þ  R = 0,5 
λ2 + 200λ + 10000 = 0
(λ + 100)2 = 0
λ = -100
Algemene oplossing:   V(t) = (A + Bt) • e-100t
V(0) = 100  geeft   100 = A • 1  dus  A = 100
V'(t) = -100e-100t (A + Bt)  + e-100t • B
V'(0) = 0  geeft  -100 • 1 • (100 + 0) + 1 • B = 0  dus  B = 10000
De vergelijking voor V is  V(t) = (100 + 10000t) • e-100t 
       
   

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)