Verschuiven van grafieken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De grote vraag vandaag is  "Wat gebeurt er met de formule die bij een grafiek hoort, als je de grafiek opzij of omhoog of omlaag verschuift?"
Daar hebben we meteen al 2 verschillende gevallen:

1.  Omhoog of omlaag verschuiven.

2.  Naar links of naar rechts verschuiven.

Geval 1.  Omhoog of Omlaag verschuiven.
Laten we als voorbeeld een grafiek bekijken die 2 omhoog wordt geschoven. Zie de figuur hiernaast.
De blauwe grafiek wordt 2 omhoog geschoven.
Dat betekent dat alle rode punten 2 hoger liggen dan hun blauwe partners. Alle zwarte pijlen hebben dus lengte 2.
Op de y-as zie je bij twee zulke koppeltjes dat dan geldt dat yNIEUW ook 2 hoger ligt dan yOUD.  Dus:
yNIEUW = yOUD + 2

Maar de y is eigenlijk de uitkomst van de hele formule, dus staat hier eigenlijk:   NIEUWE FORMULE = OUDE FORMULE + 2

En wat voor 2 geldt, geldt natuurlijk voor elk getal.
Conclusie:

Grafiek a omhoog schuiven  ⇒  f(x)  wordt  f(x) + a

En als de grafiek a omláág wordt geschoven dan wordt dat natuurlijk  f(x) - a  maar dat snapte je waarschijnlijk al wel.
Geval 2:  Naar links of naar rechts schuiven.
Laten we als voorbeeld een grafiek bekijken die 2 naar rechts wordt geschoven. Zie de figuur hiernaast. De blauwe grafiek gaat over in de rode.
Bekijk nu een punt van de nieuwe grafiek bij de rode x.
De y-waarde die daarbij hoort is dan fNIEUW(x).
Maar in de figuur zie je dat dat de y van de blauwe grafiek is, die hoort bij x - 2, dus dat is fOUD(x - 2)

Conclusie: 
fNIEUW(x) = fOUD(x - 2)
In woorden:  je krijgt het nieuwe functievoorschrift van de verschoven grafiek door in het oude de x te vervangen door x - 2.
En wat voor 2 geldt, geldt natuurlijk voor elk getal.

Je kunt het ook zo beredeneren:
Als je x vervangt door (x-2), dan moet je van de x die je wilt invullen eerst 2 aftrekken. Dus om dezelfde y-waarde als bij de oorspronkelijke grafiek te vinden, moet x dan juist 2 groter zijn.
Conclusie:

Grafiek a naar rechts schuiven  ⇒  x vervangen door (x - a)

•  Het zal je niet verbazen dat je de grafiek a naar links kunt schuiven door in de formule x te vervangen door (x+ a).
•  Als er meerdere x-en in de formule staan moet je ze allemaal vervangen door (x ± a)
   
  OPGAVEN
1.  Schets zonder de GR te gebruiken de grafieken van de volgende functies:
         
a. y =  (x - 3)2 e. f(x) = √(x - 3)
b. y = x2 - 4 f. y = 3 + √(x + 2)
c. f(x) 1/(x - 5) g. f(x) =  4 + 1/(x + 2)
d. y = (x + 2)2 + 3 h. f(x) =  (x + 1)3 
2. Als je de lijn  y = 2x + 4  over een afstand 3 naar rechts schuift krijg je precies dezelfde grafiek als wanneer je hem 6 omlaag schuift.  
Toon dat aan!
3. De top van een parabool is het punt (3, 6).   Geef een mogelijke vergelijking van zo'n parabool.
4. a. De grafiek van y = x3 wordt zó verschoven dat hij door het punt (2, 1) gaat
Geef een mogelijke formule voor de grafiek die dan ontstaan is.
   

x3-7 of  (x-1)3

b. De grafiek van y = 1/x wordt zo verschoven dat hij door (-1, 6) gaat.
Geef een mogelijke formule voor de grafiek die dan ontstaan is.
   

1/x+7 of 1/(x + 7/6)

  c. De grafiek van y = √x  wordt 3 omhoog geschoven en daarna een afstand opzij.
Na afloop gaat de grafiek door  (9, 8)
Hoeveel is de grafiek opzij geschoven, en welke kant op?
   

16 naar links

     
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)