tellen voor gevorderden


Tellen voor gevorderden.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Deze les bekijken we de problemen van combinaties en permutaties door elkaar (in plaats van netjes per onderwerp) en bovendien bestuderen we nog drie nieuwe principes die we kunnen gebruiken bij het handig tellen.

Principe 1: Plak ze even aan elkaar!

vraag:
In mijn boekenkast staan op de eerste plank 24 boeken op een rij. Eerst vraag ik me af op hoeveel verschillende manieren ik die boeken op een rij kan zetten. Het antwoord daarop is simpel natuurlijk: dat zijn de permutaties van 24 uit 24. Ofwel op 24! = 620448401733239439360000 manieren.
Maar nou komt het: het zijn 10 wiskundeboeken en 14 andere boeken. En ik wil eigenlijk wel graag die wiskundeboeken naast elkaar hebben staan. De vraag is: op hoeveel manieren kan ik de boeken rangschikken als de wiskundeboeken naast elkaar moeten staan?

antwoord:
Het antwoord is erg eenvoudig, je moet er alleen even opkomen.
Als die wiskundeboeken naast elkaar moeten staan, dan doe ik daar gewoon even een elastiek om.......
Dan heb ik nog 15 "boeken" over, namelijk 14 gewone boeken en één superdik WISKUNDEBOEK (die met het elastiek erom). Die 15 boeken kan ik op 15! manieren rangschikken.
Als ik ze op één van die manieren heb neergezet haal ik het elastiek weer van de wiskundeboeken af, en dan kan ik die 10 wiskundeboeken onderling nog weer op 10! manieren herrangschikken.
Bij elk van de 15! manieren krijg ik zo 10! nieuwe manieren, dus in totaal kan dat op 15! • 10! = 4,75 • 10¹⁸ manieren.

Principe 2: Deel door de dubbelen.

vraag:
13 voetbalteams spelen een halve competitie. Dat betekent dat elk team één keer tegen elk ander team moet spelen.
Hoeveel wedstrijden worden er in totaal gespeeld?

antwoord:
Elk team speelt tegen 12 anderen, dus dat zijn in totaal 13 × 12 = 156 wedstrijden.
Maar dan heb je elke wedstrijd dubbel geteld, immers als A tegen B én als B tegen A.
Het werkelijke aantal is daarom de helft: ¹⁵⁶/₂ = 78 wedstrijden.

Principe 3: Tel de tussenruimtes.

Mijn kleine dochtertje Marijke heeft op de basisschool net optellen geleerd. "papa, er komt uit heel veel sommen 10" zei ze trots. "Kijk maar: 1 + 9, en 2 + 2 + 6 en 9 + 1 en 1 + 1 + 5 + 2 + 1 en ......" zo ging ze nog wel even door.

Ik vroeg mij af: Uit hoeveel sommen komt 10?
(een andere volgorde is voor Marijke uiteraard een andere som, en nullen komen niet voor, dat snap je wel)

oplossing:

Leg 10 stenen op een rij.

Een som maken is dan precies hetzelfde als tussen deze stenen schotten neerzetten. Hiernaast zie je hoe met drie schotten de som 2 + 5 + 1 + 2 = 10 wordt gemaakt.

Er zijn 9 plaatsen waarvan je elke keer moet beslissen of je er een schot neerzet of niet.
Dat geeft in totaal 2⁹ = 512 mogelijke sommen waar 10 uitkomt ( we beschouwen het getal 10 zelf ook als som).

OPGAVEN

Ik stapel 12 verschillende muntstukken op elkaar.
Daarbij zit een muntstuk van 1 euro en een muntstuk van 2 euro.
Op hoeveel verschillende manieren kan ik ze stapelen zonder dat de 1-euro munt en de 2 euro munt elkaar raken?

399168000

(examenvraagstuk)
Veel diersoorten leven in kudden waarbinnen een zekere rangorde is vastgelegd. Neem een kudde van 10 dieren, dan zijn daarbinnen verschillende patronen van rangorde mogelijk.
In de volgende figuur zijn drie verschillende patronen getekend.

In patroon 2 en 3 is er spraken van een groepje van drie dieren waarbinnen geen verschil in rangorde bestaat. De rangorde van deze drie dieren ten opzichte van de andere zeven dieren is wel vastgelegd. Zo'n groepje van drie heet een triade. Het is zelfs mogelijk dat er verschillende groepjes in een kudde voorkomen, maar de groepjes zijn wel steeds triaden. Een triade kan niet aan het hoofd van een kudde staan.

Toon aan dat er 7 verschillende patronen zijn waarbij één triade voorkomt.

Bereken hoeveel patronen er in totaal mogelijk zijn bij een kudde van 10 dieren.

Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.

Op hoeveel verschillende manieren kan dat?

120

Op hoeveel manieren kan dat als de drie overblijvende plaatsen naast elkaar liggen?

Uit een groep van 15 heren en 5 dames moet een bestuur gekozen worden, bestaande uit een voorzitter, een penningmeester en 4 leden.

Op hoeveel verschillende manieren kan dat?

1162800

Op hoeveel manieren kan een bestuur met precies 2 dames erin gekozen worden?

409500

Er is een bestuur gekozen dat dus bestaat uit 6 mensen.

Op hoeveel verschillende manieren kan zo'n bestuur in een kring gaan staan? Beschouw alle leden als verschillende mensen.

120

Een muziektoonladder bestaat uit 12 verschillende tonen (C - C# - D - D# - E - F - F# - G - G# - A - A# - B)

Een melodie bestaat uit een willekeurige serie van de tonen na elkaar. We letten even niet op de lengte van de tonen. Hoeveel verschillende melodieën van 6 tonen zijn er te maken binnen één toonladder?

2985984

Een akkoord bestaat uit een aantal verschillende tonen (uit deze 12) tegelijk.
Hoeveel akkoorden van drie tonen bestaan er?

220

Iemand beweert dat hij een wijnkenner is, en goed het verschil tussen de soorten Medoc en Bordeaux kan proeven.

Eerst krijgt hij tien keer een glas met willekeurig één van beiden voor zich en moet steeds raden

Als hij zomaar wat gokt, hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er dan?

1024

Daarna krijgt hij 10 glazen voor zich waarvan er zes met Medoc en 4 met Bordeaux zijn gevuld. Dat weet hij van tevoren. Hij zal daarom zes keer Medoc gaan zeggen en 4 keer Bordeaux.

Hoeveel mogelijkheden zijn er nu voor hem als hij volledig moet gokken?

210

Je hebt een houten kubus die je graag wilt gaan verven.
Je hebt de beschikking over rode verf en blauwe verf.
Op hoeveel verschillende manieren kun je de kubus verven?
(manieren die door de kubus te draaien hetzelfde resultaat opleveren tellen we uiteraard niet als verschillend)

(olympiade)
Op een feestje schudde elke man iedereen de hand, uitgezonderd zijn eigen echtgenote.
Er waren geen handdrukken onder vrouwen onderling.
13 gehuwde koppels (man-vrouw) woonden dit feestje bij.
Hoeveel handdrukken vonden er plaats tussen deze 26 mensen?

234

In een rooster van 3 bij 3 vierkanten, met dus 16 roosterpunten, ga ik driehoeken tekenen, waarvan de hoekpunten allemaal op een roosterpunt liggen. Bijvoorbeeld:

Hoeveel verschillende driehoeken zijn er mogelijk?
(driehoeken met dezelfde vorm maar op een verschillende plaats tellen als verschillend)

516

10.

Een bedelketting is een ketting waaraan je losse figuurtjes kunt hangen; de zogenaamde “bedeltjes”. Hiernaast zie je een bedelketting met 7 bedeltjes eraan. Kitty heeft maar liefst 10 zulke bedeltjes. Ze zijn allemaal verschillend, maar het zijn 4 dierenafbeeldingen, 3 muziekinstrumenten en 3 hartjes.

Op hoeveel verschillende manieren kan zij er een halsketting van maken?

3628800

Op hoeveel verschillende manieren kan ze er een halsketting van maken als ze alle dieren naast elkaar wil hebben hangen en alle hartjes ook?

17280

Een bedelarmband werkt hetzelfde, alleen die hang je om je pols. Die kan dus vrij ronddraaien. Neem aan dat het sluitinkje van de armband niet zichtbaar is.

Hoeveel verschillende bedelarmbanden kan Kitty van haar 10 bedeltjes maken? (elke volgorde kan)

362880

11.

In een museum heeft men permanent één themazaaltje met alleen schilderijen van Hollandse meesters. Men heeft in de collectie 5 schilderijen van Frans Hals, 6 schilderijen van Johannes Vermeer, 3 schilderijen van Rembrandt van Rijn en 6 schilderijen van Jan Steen.
In het zaaltje hangen in totaal 10 schilderijen in één lange rij naast elkaar, de rest ligt in het magazijn. Elke week verandert men de collectie die tentoongesteld wordt.

Hoeveel weken kan men het volhouden dat er nooit precies dezelfde collectie hangt die er al een week eerder hing?

184756

Als men de collectie voor de volgende week heeft uitgekozen, op hoeveel verschillende manieren kan die dan opgehangen worden?

3628800

De collectie voor de volgende week is 3 schilderijen van Rembrandt, 5 van Hals en 2 van Steen Op hoeveel manieren kan men deze 10 schilderijen ophangen als de schilderijen van dezelfde schilders allemaal naast elkaar moeten hangen?

8640

Hoeveel mogelijkheden zijn er als men eerst 10 schilderijen uitkiest, en dan deze op een rij gaat hangen waarbij alle schilderijen van Rembrandt naast elkaar moeten hangen?

≈3,94 • 10¹¹

12.

Zes mensen gaan gezellig samen uit eten. Ze gaan een maaltijd bestellen, bestaande uit een voorgerecht, een hoofdgerecht en een nagerecht. Het restaurant heeft de beschikking over 8 verschillende voorgerechten, 10 hoofdgerechten en 6 nagerechten.

Op hoeveel verschillende manieren kunnen deze zes mensen een maaltijd nuttigen?

≈1,22 • 10¹⁶

Op hoeveel manieren kan dat als geen enkel gerecht meer dan één keer wordt besteld?

≈ 2,19 • 10¹²

13.

Een tuinder gaat 3 eiken, 4 wilgen en 5 berken op een lange rij planten.
De bomen zijn allemaal verschillend.

Hij wil ze graag zo plaatsen dat er geen twee berken naast elkaar staan.
Daarom plant hij eerst de wilgen en de eiken en laat er voldoende ruimte tussen

Op hoeveel manieren kan hij de wilgen en de eiken planten?

Op hoeveel manieren kan hij vervolgens de 5 berken daar tussenin planten?

8 nCr 5 • 5!

Hoeveel manieren zijn er in totaal om de bomen zo te planten dat er geen twee berken naast elkaar staan?

7!•(8nCr5)

Hoe veranderen de bovenstaande antwoorden als de bomen van één soort niet van elkaar te onderscheiden zijn?

a wordt 7 nCr 3
b wordt 8 nCr 5

14.

Wapenkunde vindt zijn oorsprong in de middeleeuwen bij de ridders en tornooien. Om zich tijdens steekspelen te beschermen staken de ridders zich in harnassen. Hierdoor werden ze onherkenbaar voor elkaar. Daarom bracht men op het schild een kleurcode aan. Men kon kiezen uit 2 metaalkleuren (goud (geel) en zilver (wit)) en 5 specifieke grondkleuren (keel (rood), azuur (blauw), sinopel (groen), purper (violet) en sabel (zwart)). Men deelde het schild in 2 of in 4 vakken en kleurde deze in. Hiernaast zie je van beide mogelijke indelingen van zulke "basiswapenschilden" een voorbeeld.
De regel was dat nooit twee grondkleuren of twee metaalkleuren aan elkaar mochten grenzen.

En later werden daar natuurlijk nog versieringen in aangebracht (zoals je hiernaast ziet), maar we richten ons in deze opgave alleen op de basisschilden.

Hoeveel verschillende basisschilden waren er mogelijk met de kleuren en de indeling zoals hierboven genoemd is?

220

15.

Hiernaast zie je een schilderij van de schilder Piet Mondriaan. Het bestaat uit een onregelmatig patroon van rechthoeken, die gekleurd zijn in de kleuren wit, blauw, geel of rood.

Stel dat Mondriaan eerst de rechthoeken heeft getekend en daarna pas bij elke rechthoek besloot welke kleur die zou krijgen.

Hoeveel verschillende kleuringen waren dan mogelijk?

1048576

Hoeveel verschillen de kleuringen waren mogelijk met precies zes witte rechthoeken?

17010

16.

Een dierentuininkoper gaat op zoek naar Antilopes, Beren, Chimpansees en Dromedarissen om te kopen.
In totaal gaat hij 30 beesten kopen, minstens één van elke soort.
Als hij ze naast elkaar zet geeft dat een rij van 30 beesten: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Hoeveel verschillende aankopen zijn er mogelijk?

3654

Neem de getallen 1, 2, 3, ..., 30.
Een erg lastig probleem is: Op hoeveel manieren kun je hier drie verschillende getallen uit halen zodat de som ervan deelbaar door drie is?
Het probleem is op te lossen door de getallen in drie klassen in te delen:
Klasse I: getallen deelbaar door 3.
Klasse II: getallen die bij deling door 3 rest 1 opleveren.
Klasse III: getallen die bij deling door 3 rest 2 opleveren.

De som van drie getallen is deelbaar door 3 als die getallen allemaal uit dezelfde klasse komen óf allemaal uit een verschillende klasse. Toon dat aan.

Beantwoord de beginvraag.

3160

18.

Kleine Tim gaat in de snoepwinkel 12 snoepjes kopen. Hij wil van elk soort snoep minstens één snoepje.
De snoepwinkel heeft 4 verschillende soorten snoepjes in voorraad.
Op hoeveel verschillende manieren kan Tim snoepjes gaan kopen?

165

19.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1992.

Als je in Budapest met de metro wilt reizen, moet je eerst een kaartje kopen. Zo'n kaartje is voorzien van negen vakjes met daarin de cijfers 1 tot en met 9 (zie figuur). Zodra je bent ingestapt moet je je kaartje in een ponsapparaatje steken (volgens de pijlrichting en met de bedrukte zijde boven). Eén of meer (maximaal 9) cijfers worden dan in één keer weg geponst. Daarmee is aan het kaartje te zien in welke trein je reis is begonnen.
Hiernaast zie je een afbeelding van een gebruikt kaartje, waarbij de vakjes 1, 6 en 9 zijn voorzien van een gaatje.

Bereken op hoeveel verschillende manieren er in een kaartje 3 gaatjes kunnen worden geponst.

In een kaartje worden 2 gaatjes geponst die niet in dezelfde rij of kolom zitten.

Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er? Licht je antwoord toe.

Het aantal cijfers dat wordt weg geponst mag variëren van 1 tot en met 9. Op een dag rijden op het metronet 400 treinen.

Is het mogelijk dat in elke trein op een verschillende wijze gaatjes in een kaartje worden geponst? Licht je antwoord toe.

20.

examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2014.

Op de foto zie je een stad van keramiek, gemaakt door de kunstenares Elly van de Merwe.
De huisjes zijn in 3 rijen geplaatst. Er zijn 13 huisjes in het kunstwerk zelf en er is nog 1 reservehuisje.
De voorste rij heeft 4 posities om huisjes te plaatsen, de middelste rij heeft 5 posities en de achterste rij weer 4 posities.
De opstelling van de huisjes kan veranderd worden. Je kunt daarbij de huisjes op de voorste rij en de huisjes op de middelste rij willekeurig verwisselen.
De huisjes op de achterste rij kunnen alleen onderling verwisseld worden. Het reservehuisje past alleen op de voorste twee rijen.

Bereken hoeveel opstellingen er mogelijk zijn met de 14 verschillende huisjes.

87091200

21.

Olympiadevraagstuk.

Een streepjescode als hiernaast bestaat uit een aantal strepen, om en om wit en zwart.
De eerste en de laatste streep zijn zwart.
Elke streep (wit of zwart) heeft breedte 1 óf breedte 2.
De totale breedte is 12.

Leg uit dat het totaal aantal strepen 7, 9 of 11 is.

Hoeveel verschillende van deze streepjescodes zijn mogelijk?

116