© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Tel eerst het aantal manieren waarop ze elkaar WEL raken.
Plak ze even aan elkaar, dan heb je 11 "munten" over, en die kun je op 11! = 39916800 manieren rangschikken
Dan haal je de tape lod en kun je die twee nog op 2 manieren onderling wisselen.
Dat geeft in totaal 2 • 39916800 = 79833600 manieren waarop de munten elkaar WEL raken.

In totaal waren er voor 12 munten 12! = 479001600 manieren

Dus zijn er 479001600 - 79833600 = 399168000 manieren waarop de twee munten elkaar NIET raken.
       
2. a. Als je de triade als ιιn dier ziet, zijn er 8 plaatsen in de kudde.
De triade kan op de plaatsen 2 tm 8 staan en dat zijn 7 plaatsen.
Dus er zijn 7 patronen.
       
  b. Met nul triades 1 patroon

Met ιιn triade 7 patronen (vraag a)

Twee triades:  als je een triade als ιιn "dier"ziet zijn er  6 "dieren"
Voor die twee triades zijn er 5 plaatsen (2 tm 6)  en die kun je op  5 nCr 2 = 10 manieren kiezen. Dus 10 mogelijke patronen.

Drie triades:  dan is er nog maar ιιn dier voor aan kop over, dus 1 patroon

In totaal zijn dat 1 + 7 + 10 + 1 = 19 patronen.
       
3. a. Voor de eerste auto 6 mogelijkheden, voor de tweede auto 5, voor de derde auto 4.
Samen geeft dat 6 • 5 • 4 = 120 mogelijkheden  (of 6 nPr 3)
       
  b. De drie lege plaatsen kun je kiezen als de nummers 123, 234, 345, 456 dus dat kan op 4 manieren.
Voor de eerste auto zijn daarna og 3 mogelijkheden, voor de tweede auto 2, en voor de derde auto 1.
Samen geeft dat  4 • 3 • 2 • 1 = 12 mogelijkheden.
       
4. a. De voorzitter:  20 mogelijkheden
De penningmeester:  19 mogelijkheden.
De 4 leden:  kies er 4 uit de 18, dat kan op  18 nCr 4 = 3060 manieren.
Samen geeft dat  20 • 19 • 3060 = 1162800 mogelijkheden.
       
  b. Kies eerst de zes personen die het bestuur gaan vormen.
2 dames kan op  5 nCr 2 = 10 manieren
4 heren kan op 15 nCr 4 = 1365 manieren.
De zes personen kun je op 10 • 1365 = 13650 manieren kiezen.

Kies nu welk van de zes voorzitter wordt:  6  manieren.
Kies dan de penningmeester:  5 manieren.
Samen 13650 • 6 • 5 =  409500 manieren.
       
  c. Ze kunnen op een rij gaan staan op  6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 6! = 720 manieren.
Als zo'n rij een kring maakt zijn er dus 720 kringen, maar dan heb je elke kring 6 keer meegeteld (ιιn plaatsje ronddraaien geeft dezelfde kring)
Dus zijn er 720/6 = 120 kringen.

OF
Begin bij ιιn persoon (willekeurig)
Voor degene rechts naast hem zijn er 5 mogelijkheden, voor de volgende 4, enz.
Samen geeft  5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5! = 120 mogelijkheden.
       
5. a. Voor elke toon 12 mogelijkheden, dus 126 = 2985984 melodieλn
       
  b. Kies er 3 uit de 12. Dat kan op  12 nCr 3 = 220 manieren.  
       
6. a. Elke keer 2 mogelijkheden, en dat 10 keer geeft  210 = 1024 manieren.  
       
  b. Hij zal een rijtje als MMBBMBMBMM maken.
Rijtje letters:   10 nCr 4 = 210 mogelijkheden.		  
       
7. Splits naar het aantal kleuren van de vlakken;

0 rood en 6 blauw:  kan op 1 manier.
1 rood en 5 blauw kan op 1 manier.
2 rood en 4 blauw kan op 2 manieren:  de roden tegenover elkaar of aan elkaar
3 rood en 3 blauw  kan op 2 manieren:  de 3 roden rondom een hoek of de 3 roden op een rij
4 rood en 2 blauw  kan op 2 manieren:  de blauwen tegenover elkaar of de blauwen aan elkaar
5 rood en 1 blauw kan op 1 manier
6 rood kan op 1 manier.

Samen geeft dat  1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10 manieren.
       
8. 13 koppels betekent 26 mensen.

man-vrouw handdrukken:
Elke man schudt 12 vrouwen de hand dus dat zijn 13 • 12 = 156 handdrukken.

man-man handdrukken:
Elke man schudt 12 mannen de hand dus dat zijn ook 156 handdrukken, maar nu is elk dubbel geteld dus blijven er 78 over.

in totaal zijn dat 156 + 78 = 234 handdrukken.
       
9. Kies 3 hoekpunten uit de 16, dat kan op 16 nCr 3 = 560 manieren.
Maar de gevallen waarbij de drie punten op ιιn rij liggen vallen af.
Dat zijn er 44  (16 horizontale rijen, 16 verticale rijen en 12 diagonale rijen (8 op de hoofddiagonalen, en 4 ernaast))
Dus blijven over 516 driehoeken.
       
10. a. Voor het eerste bedeltje 10 manieren, voor de volgende 9, dan 8, enz.
Dat geeft  10! = 3628800 manieren.
       
  b. Zie de dieren als ιιn bedeltje en de hartjes ook. Dan zijn er  5 "bedeltjes"
Die kan ze op 5! = 120 manieren rangschikken.
Daarna kan ze de dieren onderling nog op 4! = 24 manieren rangschikken en de hartjes op 3! = 6 manieren.
In totaal geeft dat 120 • 24 • 6 = 17280 manieren.
       
  c. Elke ketting geeft ook een armband, dus 10! = 3628800 armbanden.
Maar dan is elke armband 10 keer meegeteld (steeds alles ιιn plaatsje opschuiven levert dezelfde armband op)
Het echte aantal is dus  3628800/10 = 362880
       
11. a. Voor een collectie kies je er 10 uit de 20.
Dat kan op 20 nCr 10 = 184756 manieren.
       
  b. Voor het eerste schilderij 10 mogelijkheden, voor het tweede nog 9, dan 8, .....
in totaal  10! = 3628800 manieren.
       
  c. Bundel de schilderijen van een schilder.
Dan heb je drie "schilders"over en die kun je op 3! = 6 manieren rangschikken.
Daarna kun je de Rembrandt schilderijen nog op 3! = 6 manieren rangschikken
De Hals schilderijen op 5! = 120 manieren
De Steen schilderijen op 2! = 2 manieren.
In totaal geeft dat  6 • 6 • 120 • 2 = 8640 manieren.
       
  d. Met 0 Rembrandt schilderijen:
Voor het kiezen van de collectie  17 nCr 10 = 19448 manieren
Voor het rangschikken:  10! = 3628800 manieren
In totaal  19448 • 3628800 = 7,1 • 1010 manieren

Met 1 Rembrandtschilderij:
Voorhet kiezen van de collectie:  3 • 17 nCr 9 = 72930 manieren
Voor het rangschikken:  10! = 3628800 manieren
in totaal  72930 • 3628800 = 2,65 • 1011  manieren

Met 2 Rembrandt schilderijen:
Voor het kiezen van de collectie:  (3 nCr 2) • (17 nCr 8) = 72930 manieren
Voor het rangschikken:  9! • 2 = 725760 manieren
In totaal  5,3 • 1010 manieren

Met 3 Rembrandt schilderijen:
Voor het kiezen van de collectie  1 • (17 nCr 7) =  19448 manieren
Voor het rangschikken:   3! • 8! = 241920 manieren
In totaal  241920 • 19448 = 0,5 • 1010  manieren

Samen geeft dat   7,1 • 1010 +  26,5 • 1010 +  5,3 • 1010 + 0,5 • 1010 = 39,4 • 1010  manieren
       
12. a. Eιn persoon kan op 8 • 10 • 6 = 480 manieren een maaltijd kiezen.
6 personen elk 480 manieren geeft in totaal  4806 = 1,2 • 1016 manieren.
       
  b. eerste persoon:  8 • 10 • 6
tweede persoon:  7 • 9 • 5
enz.
samen geeft dat   (8 • 7 • 6 • 5  • 4 • 3) • (10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5) • (6 •5 • 4 • 3 • 2 • 1)
=  (8 nPr 6) • (10 nPr 6) • (6 nPr 6) = 2,2 • 1012  manieren.
       
13. a. 7 verschillende bomen op een rij planten kan op  7! = 5040 manieren.
       
  b. Hij heeft voor de berken 8 mogelijke plaatsen.
Daar kiest hij er 5 uit:  kan op  8 nCr 5 = 56 manieren.
Voor de eerste plaats 5 mogelijke berken
Voor de tweede nog 4,
enz.
in totaal  56 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 56 • 5! = 6720 manieren.
       
  c. 5040 • 6720 = 33868800 manieren.  
       
  d. vraag a.
Maak een rijtje  WWWWEEE.  Dat kan op  7 nCr 3 =  35 manieren.

vraag b.
kies 8 plaatsen uit de 5; kan op  8nCr 5 = 56 manieren

vraag c.
35 • 56 = 1960 manieren.
       
14. Schilden met twee vlakken:
De kleuring is  MG of GM
Dat kan op 2 • 5 + 5 • 2 = 20 manieren

Schilden met 4 vlakken.
De kleuring is;
    MG    of    GM
GM           MG		  
       
  Kan elk op  2 • 5 • 2 • 5  = 100 manieren, dus in totaal 200 manieren

Samen zijn dat 220 manieren.
       
15. a. Er zijn 10 rechthoeken.
Voor elke rechthoek 4 mogelijkheden geeft in totaal  410 = 1048576 mogelijkheden.
       
  b. Voor het kiezen van de witte rechthoeken zijn er  10 nCr 6 = 210 manieren.
De overige vier kunnen elk nog op 3 manieren worden gekleurd. Dat geeft  34 = 81 manieren.
In totaal  210 • 81 = 17010 manieren.
       
16. Je vindt een mogelijkheid door in de rij van dertig kruisjes ergens 3 schotten te zetten.

bijvoorbeeld:
xxxx | xxx | xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx | x   betekent dat  4 apen, 3 beren, 22 chimpansees en 1 dromedaris.

Dus je moet uit 29 plaatsen er 3 kiezen om een schot neer te zetten
Dat kan op  29 nCr 3 = 3654 manieren.
       
17. a. Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3.

allemaal uit een verschillende klasse geeft voor de som van de cijfers:
(3a) + (3b + 1) + (3c + 2)  = 3a + 3b + 3c + 3 = 3(a + b + c)  en dat is dus deelbaar door 3.

allemaal uit dezelfde klasse:
(3a) + (3b) + (3c) = 3(a + b + c)  en dus deelbaar door 3
(3a + 1) + (3b + 1) + (3c + 1) = 3(a + b + c + 1)  en dus deelbaar door 3
(3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2) = 3(a + b + c + 2)  en dus deelbaar door 3
       
  b. elke klasse heeft  10 getallen.

drie getallen uit dezelfde klasse kan op: 10 • 9 • 8 = 720 manieren per klasse.
in totaal dus 3 • 720 = 2160 manieren

allemaal uit een verschillende klasse kan op 10 • 10 • 10 = 1000 manieren.

samen geeft dat 2160 + 1000 = 3160 mogelijkheden.
       
18. Noem de snoepjes soorten a, b, c, d
Leg de snoepjes op een rij met eerst de a, dan b, dan c, dan d
Dat geeft een rij xxxxxxxxxxxx
Daar moet je drie schotten in zetten om een mogelijkheid voor Tim te krijgen.
bijvoorbeeld  xx | xxxx |  x | xxxxx betekent  2a + 4b + 1c + 5d
Voor het kiezen van de plaatsen van de schotten zijn er 11 tussenruimtes beschikbaar.
Dat kan dat op  11 nCr 3 = 165 manieren.
       
19. a. Kies er 3 uit de 9. Dat kan op  9 nCr 3 = 84 manieren
       
  b. Voor het eerste gaatje 9 mogelijkheden.
Voor het tweede daarna nog 4 (niet in dezelfde rij of kolom)
samen zou dat 9 7 4 = 36 manieren zijn.
Maar nu is elke dubbel geteld.
Dus blijven over  18 manieren.
       
  c. Voor elk gaatje zijn er 2 mogelijkheden:  WEL of NIET
In totaal geeft dat voor 9 plaatsen  29 = 512 mogelijkheden.
De mogelijkheid NNNNNNNNN valt af, dus zijn er 511 mogelijkheden over.
Dat si meer dan 400 dus het is wel mogelijk.
       
20. Voor de achterste rij:  4 huisjes voor 4 plaatsen kan op 4 • 3 • 2 • 1 = 24 manieren.
De voorste twee rijen; 10 huisjes voor 9 plaatsen kan op 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 = 3628800 manieren
Samen geeft dat  3628800 • 24 = 87091200 manieren.
       
21. a. De eerste en de laatste streep zijn zwart dus het totale aantal strepen aantal is oneven.
Als alle strepen 1 zijn dan zijn er 12 strepen, dus het maximum is 11.
Als alle strepen 2 zijn dan zijn er 6 strepen dus het minimum is 7.
Dat is dus 7 of 9 of 11.
       
  b. Met 7 strepen zijn er 5 van 2 en 2 van 1, dus een rijtje TTTTTEE  en daarvan zijn er  7 nCr 2 = 21
Met 9 strepen zijn er 3 van 2 en 6 van 1 dus een rijtje TTTEEEEEE en daarvan zijn er  9 nCr 3 = 84
Met 11 strepen is er 1 van 2 en zijn er 10 van 1 dus een rijtje TEEEEEEEEEE en daarvan zijn er 11 nCr 1 = 11
Samen is dat 21 + 84 + 11 = 116 mogelijkheden.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)