Tangens.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Voor de tangens van een hoek α geldt  tanα = sinα/cosα
Dat volgt bijvoorbeeld direct al uit sos-cas-toa:

   
Dat tangens een breuk is heeft belangrijke gevolgen voor de grafiek van y = tanx. Immers als de noemer van een breuk nul is, dan bestaat die breuk niet, en dat geeft in de grafiek een verticale asymptoot.
Dus op de plaatsen waar cosx = 0 zal de grafiek van tanx een asymptoot hebben. Dat is bij x = 1/2π  en  x = 11/2π  (en natuurlijk dan ook  21/2π, 31/2π, enz.).
De tangensgrafiek ziet er daarom uit als hieronder:
   

   
Je ziet dat de periode van deze grafiek niet 2π is zoals bij sinx en cosx, maar π.
   
Vergelijkingen met tangens.
   
Dat periodiek zijn van de grafiek heeft gevolgen voor het oplossen van vergelijkingen.
Als je moet oplossen  tanx = dan kun je één oplossing natuurlijk makkelijk vinden met  x = tan-1a, net zoals bij sinus en bij cosinus. Maar omdat de periode van de tangensgrafiek gelijk is aan π, zijn alle waarden  x = tan-1a + kπ  óók oplossingen.
   

tanx = tana   x = a + k π

   
Voorbeeld.
Los op  in [0, 2π]:   2 + 4tan(2x + 1) =  10.  Geef je antwoord in twee decimalen.
2 + 4tan(2x + 1) = 10
4tan(2x + 1) = 8
tan(2x + 1) = 2
2x + 1 = 1,11 + k • π      (hier is dus tan-1(2) gebruikt om die 1,11 te vinden)
2x = 0,11 + kπ
x = 0,55 + k •  0,5π
Dat geeft in interval [0, 2π] vier oplossingen:   0,55  en  2,12 en 3,70 en 5,27.
   
   
1. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval [0, 2π]. Geef je antwoorden in twee decimalen.
       
  a. 5 - 2tan(1 - x) = 8

2.16 , 5.30

  b. 2 + tan(2x + 8) = 12

1.45, 3.02
4.59, 6.16

  c. 4tan2x  - 16 = 0

1.32 , 4.47,
1.82, 4.96

  d. 3tan(0,5x) =  5 - tan(0,5x)

1,79

       
2. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval  [0, 2π]. Geef exacte oplossingen.
       
  a. 2tan2x + 1 = 7

1/3π, 2/3π,
4
/3
π, 5/3π

  b. tan2x - tanx = 0

0, 1/4π, π , 5/4π

  c. 2tan(x- 1/2π) = 2/3√3

2/3π, 12/3π

  d. tan(2x + π) = tan(1/3π + x)

1/3π, 11/3π

       
3. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op, op het interval  [0, 2π]. Geef zo mogelijk exacte oplossingen.
       
  a. tanx = 2sinx

0, π, 1/3π, 5/3π

  b. tanx • sinx = cosx

1/4π, 3/4π
5/4
π, 7/4π

  c. 3tanx + 2cosx = 0

11/6π, 15/6π

  d. tanx = 2/3sin2x

0, π, 2π

  e. tanx = 3sinx - sin2x

  π/3, 5π/3

  f. 1/2sin2x = √3cos2x

π/2, 3π/2, π/3, 4π/3

       
4.
       
5.

Voor x tussen 0 en 1/2π geldt:    als  tanx = 3  dan is  sin2x = 0,6

Toon dat aan.

       
6.
       
7.

Nee maar:   tan1° • tan2° • tan3° • ... • tan89°  = 1

bewijs dat!

Hint:  Toon eerst aan dat  tan(90º - x) = 1/tanx

       
8.
       
9.
  HINT:  gebruik de verdubbelingsformules voor sinx en cosx
       
10.
       
11.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)