tan(α + β).

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Eigenlijk altijd als ik een formule zie met "tanx" erin, dan maak ik daar sinx/cosx van.
Ik heb nou eenmaal niet zoveel fantasie.
En dat bevalt mij prima.......
Dus doe ik dat hier ook maar.
       

       
Maar voor de sin(α + β) en cos(α + β) hebben we de vorige les net formules afgeleid.
Laten we die dus maar invullen:
       
 

       
Het mooie komt als je de teller en de noemer van deze breuk beiden gaat delen door  cosαcosβ. Kijk maar:
       

       
Daar aan de rechterkant lijkt de zaak nu veel ingewikkelder geworden, maar schijn bedriegt....
Er vallen een heleboel cosinussen weg, en verder kun je ook een aantal keer van sin/cos weer tan maken.
       

       
En als je β vervangt door -β dan krijg je automatisch een formule voor tan(α - β). 
Bedenk daarbij dat  tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) = -sinx/cosx = -tanx
       

       
  OPGAVEN
       
1.
         
2. Bereken in de figuur hiernaast  tanα

       

15/53

3.
         
4. a.

     
  b. Los met behulp van de vorige vraag het volgende probleem op.
In de rechthoekige driehoek ABC (met rechte hoek B) is AD de bissectrice van hoek A. Het blijkt dat BD = 3/8 en AB = 1.
Bereken de exacte waarde van lijnstuk DC.
   

219/440

         
5. Vlaamse Olympiade.

De vergelijking  tan2x - 4tanx + 1 = 0  heeft in het interval  [0, 2π]  vier oplossingen.
Bereken exact de som van die vier oplossingen.
 
       

3π

         
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)