Symmetrie.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Er zijn bij grafieken van functies twee soorten symmetrie te onderscheiden:  lijnsymmetrie en puntsymmetrie.
De vraag in deze les is:  als je vermoedt dat een functie symmetrisch is ten opzichte van een lijn of een punt, hoe toon je dat dan aan met het functievoorschrift?

1. Lijnsymmetrie  
   
In dit geval gaat het eigenlijk altijd over spiegelen in een verticale lijn, dus een lijn x = p
Een grafiek van een functie  kan nooit symmetrisch zijn in een horizontale lijn, want dan horen er bij één x-waarde twee y-waarden, en dan is het geen functie. (Om dezelfde reden kan zo'n grafiek trouwens ook niet symmetrisch zijn in een schuine lijn).
Hiernaast zie je een rode grafiek die symmetrisch is in de lijn x = p

Wat betekent dat nou eigenlijk
?

Nou, als je vanaf de symmetrieas  x = p een stapje a naar rechts gaat  dan kom je uit bij het punt dat hoort bij  x =  p + a  En als je een even groot stapje a naar links gaat, dan kom je uit bij een punt dat hoort bij x = p - a.
Als de grafiek lijnsymmetrisch is, dan liggen die punten even hoog (zijn elkaars gespiegelde).

Dat betekent voor de formule:
 

f(p - a) = f(p + a)

 

Voorbeeld Toon aan dat de grafiek van    y = x2 - 4x - 6   symmetrisch is in de lijn x = 2
Dan volgens de regel hierboven moet gelden dat  f(2 - a) = f(2 + a)
Invullen geeft:  (2 - a)2 - 4(2 - a) - 6  =(??)=  (2 + a)2 - 4(2 + a) - 6
haakjes wegwerken:  4 - 4a + a2 - 8 + 4a - 6 =(??)=  4 + 4a + a2 - 8 - 4a - 6
dat geeft  a2 - 10 =(??)= a2 - 10
dat klopt inderdaad voor elke a dus is de grafiek symmetrisch in x = 2
   
2. Puntsymmetrie
   
De functie hiernaast is symmetrisch ten opzichte van het punt (p, q).

Dat betekent het volgende:
Als je vanaf dat punt een stapje a naar links gaat en een stapje a naar rechts, dan liggen de bijbehorende y-waarden even ver van q af. De ene is even veel omhoog gegaan als de andere omlaag.
Dat betekent dat het gemiddelde van die y-waarden gelijk is aan q.
Ofwel, in formule:
 
 

Voorbeeld:  Toon aan dat de grafiek van    y = (3x - 5)/(x - 2)   symmetrisch is ten opzichte van het punt (2,3)   
   
 
Als je dat door 2 deelt komt er inderdaad 3 uit!
q.e.d.
 
   
       
  OPGAVEN
       
1.
  Bewijs dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. het punt  (1,0).
       
2.
  Bewijs dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. het punt  (2,1).
       
3. Gegeven is de functie  f(x) = x3 - 3x2 + 3x + 3
  Toon aan dat de grafiek van deze functie symmetrisch is t.o.v. het punt  (1,4)
       
4. Gegeven is de functie  f(x) = (3x - 1)/(x - 1)
Toon aan dat de grafiek van deze functie symmetrisch is t.o.v het punt  (1, 3). 
       
5. Een polynoom  is een formule waarin gehele positieve machten van x voorkomen, en geen andere vormen met x
Voorbeelden zijn:

A.   y =  4x3 + 2x2 - 5x + 2
B.   y =  2x4 - 128 + 4x6
C.   y =  -x7 + 4x5  - 6x
D.   y =   2x5 - 5x4 + x3
E.   y  =   3x8 - 4 + 2x2  
       
  Sommige van deze polynomen zijn symmetrisch t.o.v. de y-as, en sommigen zijn symmetrisch t.o.v. de oorsprong.
Leg uit hoe je in één oogopslag (dus zonder uitgebreid rekenwerk te verrichten)  kunt zien welke van bovenstaande polynomen symmetrisch zijn en met welke soort van symmetrie.
       
6. Examenvraagstuk

Hieronder is de grafiek van een functie f getekend.
Voor x ≤ 0 geldt het functievoorschrift  f(x) = 2x 
Voor x ≥ 0 geldt voor f een ander voorschrift.
Gegeven is verder dat de grafiek van f puntsymmetrisch is in het punt (0,1), wat betekent dat bij spiegeling in (0,1) de grafiek  van f in zichzelf overgaat.
       
 

       
  a. Bereken f(1) en bereken f(5)
       
  b. Stel voor x ≥ 0 het functievoorschrift voor f op.
       
  Hieronder is de grafiek van de afgeleide functie f ' getekend voor x ≤ 0.
       
 

       
  c. Voltooi in deze figuur de grafiek van  f ' door ook het gedeelte dat hoort bij x > 0 te tekenen. Licht je werkwijze toe.
       
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1995.

De functie  f  met domein R is gegeven door:  f :  x   4 - x2   
Van een functie g is gegeven:
•  g(x) = f(x)  voor  x ≤ 1.
•  de grafiek van g is symmetrisch ten opzichte van het punt (1,3).

Druk g(x) uit in x voor x ≥ 1. Motiveer je antwoord.
       
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011 (gewijzigd).
       
 
  Toon aan dat de grafiek van f(x) symmetrisch is ten opzichte van het punt (0,1)
       
9. Examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2016-II
       
  De functies f en g worden gegeven door:
       
 

 

       
  De grafieken van f en g staan in onderstaande figuur.
       
 

       
  Een verticale lijn snijdt de grafieken van f en g in de punten A en B.
P is het midden van AB.
Als de grafieken van f en g elkaars gespiegelde zijn in de lijn y = 1 dan moet gelden dat yP = 1 voor elk punt P.

Toon aan dat de grafieken elkaars gespiegelde zijn in de lijn y = 1.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)