Structuren herkennen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     



modulo-rekenen
Soms zijn groepen van dingen die verschillend lijken toch eigenlijk hetzelfde.....

Met "hetzelfde" wordt dan bedoeld:  "met dezelfde basisopbouw".
Het is natuurlijk dan de moeite waard de eigenschappen van die "basisopbouw", die "structuur", te onderzoeken, want alles wat je dan ontdekt geldt voor elke groep die die structuur heeft.
Tijd voor twee op het oog verschillende voorbeelden die toch veel overeenkomsten hebben....
       
De groep van de positieve oneven getallen, met de bewerking "rekenen modulo 8"
       
Als je de getallen 1, 3, 5, 7, ..... modulo-8 op gaat schrijven dan ontdek je iets bijzonders;

18 = 1,  38 = 3,  58 = 5,  78 = 7,  98 = 1,  118 = 3,  138 =  5,  158 = 7,  178 = 1, 198 = 2,  218 = 3, .....   

       
Er komen maar vier verschillende antwoorden uit!
Met dat in gedachten kun je alle oneven positieve getallen verdelen in 4 groepen:
•  groep 18 = {1, 9, 17, 25, 33, ....}
•  groep 38 = {3, 11, 19, 27, 35, ...}
•  groep 58 = {5, 13, 21, 29, 37, ...}
•  groep 78 = {7, 15, 23, 31, 39, ...}
Vanaf nu beschouwen we bijvoorbeeld  {5, 13, 21, 29, 37, ...}  allemaal als het ene nieuwe  "getal"  of "ding"  58.
Dan hebben we een verzameling over van nog maar 4 "dingen". Zo'n "ding" is dus een oneindig grote verzameling van oneven getallen.

Die "dingen" gaan we met elkaar vermenigvuldigen:

Bijv:   38 • 58 = 78
Waarom is dat zo? Dat kun je wel met "gewoon" vermenigvuldigen zien.  Immers 38 zijn alle "gewone" getallen die te schrijven zijn als  3 + m • 8  met m een willekeurig geheel positief getal.
Dus  38 • 58 = (3 + m • 8) • (5 + n • 8) = 15 + 40m + 24n + 64mn = 15 + 8 • (5m + 3n + 8mn)
Maar als m en n geheel zijn, dan is  5m + 3n + 8mn dat ook.  Noem dat een nieuw geheel getal k.
Dan staat er  15 +  k • 8 = 158  = 78
 
Op dezelfde manier kun je de vermenigvuldigtabel hiernaast helemaal invullen.

Daar vallen meteen twee dingen aan op (tenminste mij wel):

•

 18 38 58 78
18 18 38 58 78
38 38 18 78 58
58 58 78 18 38
78 78 58 38 18
• Elk ding,  vermenigvuldigd met 18, levert zichzelf op.
We noemen 18 daarom wel het "eenheidselement"  van deze groep.
• Twee dingen uit deze groep leveren, als je ze met elkaar vermenigvuldigt, altijd wéér een ding uit de groep op.
We noemen deze groep daarom "gesloten" voor vermenigvuldigen.
       
       
De groep van de symmetrieën van een ruit, met de bewerking  "na-elkaar-uitvoeren"
       
Een "symmetrie" is een manier om een figuur te veranderen, zodat het beeld van de figuur op zichzelf terechtkomt. Neem de ruit hiernaast, dan vallen twee symmetrieën direct op,denk ik, namelijk "spiegelen in de x-as"  en  "spiegelen in de y-as", want in beide gevallen komt het beeld van de ruit precies bovenop de oorspronkelijke ruit terecht. We noemen ze Sx en Sy.

Zijn er nog meer symmetrieën?
Eén hele flauwe is natuurlijk: de ruit oppakken en precies zo weer neerleggen. Ofwel;  "niets doen".  Die symmetrie noemen we I  (identiteit) maar erg spectaculair is hij niet.

Toch is er nog een vierde symmetrie, en die vind je door Sx en Sy na elkaar uit te voeren. Dat noteren we als  Sx o Sy  en dat rondje moet je lezen als "NA", dus in dit geval wordt eerst Sy toegepast en dan Sx. Kijk maar wat er gebeurt (de ruit is gekleurd om de zijden in de gaten te kunnen houden)
       

       
Zie je wat er nu netto met de ruit is gebeurd?  Hij is gedraaid over 180º. Dat noemen we R180  (R van "rotatie")
Dus geldt:  Sx o Sy = R180
       
Met de vier bewerkingen Sx, Sy, I en R180 kunnen we nu een "na elkaar uitvoeren"-tabel maken. Die staat hiernaast.

Zie je het al......?

Het is gewoon dezelfde tabel als hierboven!!
De volgende drie tabellen zijn eigenlijk qua structuur exact gelijk aan elkaar:

o

 I Sx Sy R180
I I Sx Sy R180
Sx Sx I R180 Sy
Sy Sy R180 I Sx
R180 R180 Sy Sx I
       

•

 18 38 58 78
18 18 38 58 78
38 38 18 78 58
58 58 78 18 38
78 78 58 38 18

o

 I Sx Sy R180
I I Sx Sy R180
Sx Sx I R180 Sy
Sy Sy R180 I Sx
R180 R180 Sy Sx I

*

 © Å g õ
© © Å g õ
Å Å © õ g
g g õ © Å
õ õ g Å ©
       
Deze structuur heet ook wel de Viergroep van Klein, en wordt wel aangegeven met V4.
Als je nu algemene eigenschappen van V4 weet te vinden, dan kun je die meteen zowel op de symmetrieën van de ruit als op de mod 8 verzameling toepassen.  Lekker efficiënt toch?
       
Een paar eigenschappen van V4....
 
• V4 bestaat uit één zogenaamd "triviaal" element; dat is de 18 of de I. Bij dit element gebeurt er eigenlijk niks, het wordt meestal het eenheidselement e  genoemd, dus  e * A = A * e = e
• De andere drie elementen zijn van orde 2, dat betekent dat ze, als je ze met zichzelf gebruikt, direct I opleveren.
• Overal geldt  A * B = B * A; de volgorde van de bewerkingen maakt niet uit. Dat heet de commutatieve eigenschap.
       
Homomorfismen.

Omdat de structuur van de twee groepen hierboven hetzelfde is, kun je de elementen aan elkaar koppelen. Bijvoorbeeld (er zijn meer mogelijkheden) zó:
 

       
Zo'n afbeelding van de ene groep (rood) naar de andere (blauw) heet een homomorfisme. Erg belangrijk is dat een homomorfisme de bewerking van een groep respecteert. Dat betekent het volgende:

Als je de groepsbewerking op twee rode elementen toepast, dan krijg je een derde element uit de rode groep. Maar je kunt ook eerst met het homomorfisme beide elementen (rood)  "omzetten naar elementen uit de andere groep (blauw) ". Als je dan met die twee andere (blauwe) elementen de groepsbewerking in de blauwe groep uitvoert dan krijg je een derde element van de blauwe groep.
Een homomorfisme respecteert de bewerkingen van de groepen als het derde rode element hoort bij het derde blauwe element.  Dat betekent eigenlijk dat de routes in onderstaande twee figuren eindigen in hetzelfde eindpunt (R180)
       

       
Ik hoop dat je je kunt voorstellen dat het interessant kan zijn om structuren van de ene groep te onderzoeken. Alles wat je dan ontdekt geldt automatisch voor de andere groep!! Dat is nou precies wat groepentheorie probeert te doen:  Algemene structuren vinden (en daarna eigenschappen ervan toepassen natuurlijk).
       
         
  OPGAVEN
         
1. a. Bereken binnen één minuut hoe groot  38 • 78 • 58 • 58 • 78 • 38 is.
     

18
  b. Met een ruit zoals bovenaan deze les wordt achtereenvolgens het volgende gedaan:
    1.  Spiegelen in de y-as
2.  Draaien over 180º
3.  Spiegelen in de x-as
4.  Draaien over 180º
5.  Spiegelen in de y-as
6.  Spiegelen in de x-as
7.  Spiegelen in de y-as
8.  Draaien over 180º
Hoe ligt de ruit na afloop ten opzichte van zijn beginpositie?
   
2. De symmetrieën van een gelijkzijdige driehoek vormen geen V4-groep, bijvoorbeeld al omdat er 6 symmetrieën zijn.
         
  a. Leg uit hoe je aan de volgorde van de hoekpunten A, B en C van een gelijkzijdige driehoek meteen kunt zien dat er zes symmetrieën moeten zijn.
         
  b. Maak van deze zes symmetrieën een "na elkaar uitvoeren tabel" zoals hierboven ook is gebeurd bij de ruit.
         
3. Kies het priemgetal p = 5
Bekijk nu de resten van een willekeurig natuurlijk getal bij deling door p, dat zijn de mogelijke getallen 0, 1, 2, 3, 4
Die resten vormen een groep met 4 elementen.

Je kunt ook een groep maken met resten bij optellen van twee willekeurige natuurlijke getallen. Dat zijn ook de mogelijke resten 0, 1, 2, 3, 4
Ook die vormen een groep.

Welk isomorfisme bestaat tussen beide groepen?
Waarom moesten we een priemgetal kiezen?
         
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)