Modulo-rekenen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Modulo-rekenen heet ook wel "klokrekenen". En dat is niet zomaar natuurlijk.
Stel dat het op een moment 20 uur is  (acht uur 's avonds), en je telt daar 7 uur bij op. Dan zou het volgens "gewone" rekenmethodes dus 20 + 7 = 27 uur moeten zijn.
Maar niemand noemt dat 27 uur, iedereen zegt 3 uur. Dat komt natuurlijk omdat het de volgende dag is geworden en die 24 uur van de vorige dag interesseren ons niet zoveel meer.

Als het bijvoorbeeld 6 uur is, en je kijkt 132 uur later, dan is het echt niet 138 uur, nee, je trekt daar de hele dagen die voorbij zijn gegaan vanaf, dus het is dan 18 uur want er gaan 5 keer 24 uren van af.
Wat doe je dan eigenlijk?
Je kijkt hoe vaak 24 van 138 afgetrokken kan worden (de voorbijgegane dagen). Dat is 5 keer, dus het is dan 138 - 5 • 24 = 18 uur.

Wiskundigen noemen dat modulo-rekenen, en noteren dat als:  138 (mod 24) = 18.  Die 24 heet de "modulus".
       
Als je bijvoorbeeld  modulo-8 wilt rekenen, zul je in gedachten de klok hiernaast gebruiken. Daaruit volgt bijvoorbeeld, dat (ga dat na!):

26 (mod 8) = 2
-13 (mod 8) = 3
257 (mod 8) = 1
enz.

Om aan te geven dat er sprake is van modulo-rekenen gebruikt men meestal een een "is-gelijk-teken" van drie streepjes boven elkaar, dus zoiets:  26 Ί 2 (mod 8)  of   257 (mod 8) Ί 1.
Er is ιιn verschil met een klok:
Bij modulo-rekenen  gaat het alleen om gehele getallen
 
Eigenlijk is een modulo-getal dus een hele verzameling getallen. Zo is  3 (mod 5) Ί {...-7, -2, 3, 8, 13, 18, ....}
Het wordt ook wel een restklasse genoemd, immers  3 (mod 5) bestaat uit alle getallen die bij deling door 5 een rest van 3 opleveren.
Bij modulo-5 rekenen bestaan er dus eigenlijk maar 5 restklassen, namelijk  0, 1, 2, 3 en 4.
Je zou natuurlijk net zo goed kunnen kiezen voor de getallen  5, 6, 7, 8 en 9 maar laten we afspreken dat we die modulo-getallen zo eenvoudig mogelijk kiezen.
 
Modulo op de GR berekenen.
 
Kijk wat er gebeurt als je 23 (mod 5) uitrekent:
Je kijkt hoe vaak 5 in de 23 past, en dat is 4 keer. (23 : 5 = 4,6)
Dan haal je die 4 keer er af:  23 - 4 • 5 = 3.
Conclusie:  23 (mod 5) = 3.

Bij grote getallen gaat het precies zo. Neem  1276345 (mod 1629)
Kijk hoe vaak 1629 in 1276345 past:  1276345 : 1629 = 783,514...
Haal er 783 keer 1629 van af:  1276345 - 783 • 1629 = 838.
Conclusie:  1276345 (mod 1629) = 838.

Het mini-programmaatje op de GR hiernaast berekent ook A mod B op deze manier.
ClrHome
Prompt A
Prompt B
Disp (A - B * int(A/B))
   
Rekenregels voor modulo-rekenen.

Om rekenregels af te leiden of te bewijzen is het meestal handig om zo'n modulo-getal (zo'n restklasse) toch weer te schrijven als een "gewoon" getal. Dat kan zσ:   3 (mod 5) = 3 + k • 5  waarbij k een willekeurig geheel getal is. Het voordeel van zo'n notatie is dat we met 3 + k • 5 weer kunnen rekenen als met de "gewone" getallen die we al kennen.

slordige afspraak:  in het vervolg noem ik zulke getallen k, die elk geheel getal kunnen zijn allemaal k, ook al zijn ze verschillend. Dus  k + 3 = k  (immers als k een willekeurig geheel getal is, dan is k + 3 dat ook), en ook is k1 + k2 = k.

Genoeg afspraken, hoogste tijd voor de eerste stelling:
 

a (mod m) + b (mod m)  =  (a + b)  (mod m)

       
Haha!  Een ιιn-regelbewijs:  
a
(mod m) + b(mod m) = a + k1•m + b + k2•m = a + b + (k1 + k2m = a + b + k•m = (a + b) (mod m)
       
Zo geldt bijvoorbeeld   68 (mod 12) + 125 (mod 12) = 193 (mod 12) = 1, en inderdaad is 8 + 5 = 13 Ί 1 (mod 12)
       
Meteen dan maar kijken of het voor vermenigvuldigen ook geldt, vind je niet?

a (mod m) • b(mod m) = (a + k1•m) • (b + k2•m) = ab + ak2m + bk1m + k1k2m2  = ab + m • (ak2 + bk1+ k1k2m)
Dat laatste stuk is een geheel aantal keer m, dus dat kunnen we best weer k • m noemen.
Dan staat er  ab + k• m = ab (mod m). En dat geeft de tweede stelling:
       

a (mod m) • b (mod m) = ab (mod m)

       
Dan kun je zo ook kwadrateren:  (a (mod m))2 =  (a (modm)) • (a (modm)) = aa (modm) = a2 (mod m)
En op dezelfde manier krijg je a3, a4, a5  enz.  Dus ook voor machtsverheffen geldt:
       

(a (modm))n  =  an  (mod m)

       
Snel machtsverheffen.
       
Deze regels voor modulo-rekenen betekenen dat je erg snel kunt machtsverheffen, ook met grote getallen. Door steeds tussendoor modulo m  te vereenvoudigen  kun je grote getallen snel verkleinen, kijk maar:

Stel dat je wilt uitrekenen  332052  (mod 28)
•  Dat getal past niet op je GR, dus gewoon uitrekenen zal niet lukken.
•  Maar 3320 (mod 28) = 16, dus dit is gelijk aan 1652 (mod 28). Dat past nog steeds niet op je GR
•  168 past er wιl op, dat is 4294967296, en (mod 28) is dat gelijk aan 4.
•  (168)6 (mod 28) is dan gelijk aan  46 (mod 28) en dat is 8 en dat is dus al  1648
•  164 (mod 28) = 16, dus  1652 (mod 28) = 16 • 8 (mod 28) = 128 (mod 28) = 16 
Conclusie:  332052 (mod 28) = 16.
       
         
1. Bereken:
         
  a. 234 (mod 11)  

  3 

  b. 123456789  (mod 14)  

  1 

  c. -56729034  (mod 2368)  

  1142 

         
2. Bereken:
         
  a. 12675  (mod 56)  

  48 

  b. 678569  (mod 1234)  

  804 

  c. 14582345 (mod 1228)  

  412 

         
         
       
Een toepassing:  Controlecijfers.
       
Nederlandse bankrekeningnummers zijn niet zσmaar nummers....

De rekeningnummers bestaan allemaal uit 9 cijfers, maar het laatste van die negen cijfers is een controlecijfer dat kijkt of het opgegeven nummer wel een bankrekeningnummer kan zijn. Dat werkt zσ:
Stel het rekeningnummer is  c1c2c3c4c5c6c7c8c9
Bereken dan  9 • c1 + 8 • c2 + 7 • c3 + ...   + 1 • c9
Nu is c9 zσ gekozen dat, als je dit getal  (mod 11) neemt, er nul uitkomt.
Neem bijvoorbeeld het bankrekeningnummer waarvan de eerste 8 cijfers zijn  45824365
Dan is  9 • 4 + 8 • 5 + 7 • 8 + ... + 2 • 5 = 204  en  204 mod 11 = 6
Dus zal het laatste cijfer een 5 zijn, want er moet nog 5 bij om er 11 uit te krijgen.

De Belgen maken het nog bonter....
Daar bestaat een bankrekening uit 12 cijfers, maar nu zijn de laatste twee cijfers zσ gekozen, dat het getal van de eerste 10 cijfers modulo 97 gelijk is aan het getal van de laatste twee cijfers.

Dit principe van een controlegetal kom je bijvoorbeeld ook tegen bij het ontwerpen van streepjescodes.
Elke keer als de kassajuffrouw voor jou een artikel scant wordt daar aan modulorekenen gedaan!

Kom je toch vaker tegen dan je had gedacht, nietwaar.....?

       
         
3. a. Controleer of  455692634 een geldig Nederlands rekeningnummer is.
       

 NEE

  b. Een Nederlands bankrekeningnummer is  3446X8574.  Bereken X.
       

X = 2

  c. Een Belgisch rekening nummer begint met  2388453047  Bereken de laatste twee cijfers.
       

28

         
Nog een toepassing:  de datum van Paaszondag.
         
Paaszondag is de eerste zondag na de eerste volle maan na 21 maart.
Waarom na 21 maart?
21 maart wordt gebruikt als de "Equinox" = de datum waarop dag en  nacht even lang zijn (de werkelijke equinox kan 1 of 2 dagen verschillen)
Nou herhalen de data van volle maan zich heel nauwkeurig om de 19 jaar. Daarom kun je de datum van paaszondag als volgt berekenen:

• Bereken  (jaartal modulo 19) + 1
• Zoek die waarde in onderstaande tabel op.
• Paaszondag is de eerste zondag na de datum uit de tabel.
         
0 27 maart
1 14 april
2 3 april
3 23 maart
4 11 april
5 31 maart
6 18 april
7 8 april
8 28 maart
9 16 april
10 5 april
11 25 maart
12 13 april
13 2 april
14 22 maart
15 10 april
16 30 maart
17 17 april
18 7 april
19 27 maart
         
Het kan ook zonder zo'n lelijke tabel en zonder nog weer te moeten kijken wanneer de eerstvolgende zondag is.
Gauss ontwikkelde het volgende algoritme: ( ↓ betekent: naar beneden afronden op geheel getal).
         
 
a =  jaartal modulo 19
b = jaartal modulo 4
c = jaartal modulo 7
k  =  jaartal/100
p(13 + 8k)/25  ↓
qk/4
M = (15 - p + k - q)  modulo 30
N = (4 + k - q)  modulo 7
d = (19a + M) modulo 30
e = (2b + 4c + 6d + N) modulo 7
Paaszondag is 
(22 + d + e  maart)  OF  (d + e - 9 april)
als d = 29 en e = 9  vervang dan  26 april door 19 april.
als d = 28 en e = 6 en (11M + 11 modulo 30) < 19,  vervang dan 25 april door 18 april. 
         
Voorbeeld voor het jaar 2019:
a = 5
b = 3
c = 3
k = 20
p = 6
q = 5
M = 24
N = 5
d = 29
e = 1
29 + 1 - 9 april = 21 april.
         
 
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)