Stochasten optellen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Deze les gaan we kijken wat er gebeurt als je meerdere dingen die van kansen afhangen (stochasten) bij elkaar optelt.
Laten we beginnen twee volomen verschillende dingen bij elkaar op te tellen.

Zomaar als experiment.
   
Stel dat ik uit de vaas hiernaast willekeurig 4 knikkers pak, en tel hoeveel roden erbij zijn. Daarna draai ik de schijf, en tel het getal dat de schijf oplevert bij dat aantal rode knikkers op. Dan krijg ik een nieuw getal.

Hoe zit het met dat nieuwe getal?
Wat is het gemiddelde?
Wat is de standaarddeviatie?

   
Eerst maar eens apart uitrekenen.....

Voor het aantal rode knikkers geldt de volgende kansverdeling (je had uiteraard het vaasmodel herkend toch?)
   
aantal rood 0 1 2 3 4
kans 0,0707 0,3535 0,4242 0,1414 0,0101
 
Rechts zie je dat geldt  E = 12/3  en  σ = 0,841
Precies hetzelfde voor de schijf is nog eenvoudiger:  
   
cijfer van de schijf 1 2 3
kans 1/3 1/3 1/3
 
Rechts zie je dat geldt  E = 2  en  σ = 0,816
   
En daarna bij elkaar opgeteld....

Als je het aantal rode ballen optelt bij het getal van de schijf, dan variëren de mogelijke uitkomsten nu van 1 (nul rode en schijf 1)  en tot en met 7 (4 roden en schijf 3).
Dat geeft de volgende kansverdeling:
   
som 1 2 3 4 5 6 7
kans 0,0236 0,1414 0,2828 0,3064 0,1919 0,0505 0,0034

 
Rechts zie je dat geldt  E = 32/3  en  σ = 1,172
   
Wat hebben die getallen met elkaar te maken?

Nog even samengevat:
We vonden  E1 = 12/3  en E2 = 2 en  Esom = 32/3
En we vonden  σ1 = 0,841 en  σ2 = 0,816 en  σsom = 1,172

Ik denk dat je het verband tussen die E's wel ziet:  Esom is gewoon die andere beide E's bij elkaar opgeteld.

Maar hoe zit het met de standaarddeviaties?

Wat is het verband tussen  0,841 en  0,816 en 1,172 ???

Dat is lastig te zien.
Totdat je je realiseert dat de standaarddeviatie werd uitgerekend als de wortel van iets.
Neem de drie standaarddeviaties in het kwadraat, dan krijg je  0,707 en 0,666 en 1,374.
Waarschijnlijk valt nu op dat die laatste de som van die andere twee is (het kleine verschil komt door afrondfouten).
Ofwel:  σsom2 = σ12 + σ22 .  Kortom:
   

Esom = E1 + E2 + ...
σsom2 = σ12 + σ22 + ...

   
Een (nogal lastig) bewijs dat dat altijd zo is staat hiernaast. Daarvoor moet je nog wel weten hoe die standaarddeviatie ook alweer werd berekend...
 
Speciaal geval:  Dezelfde dingen bij elkaar optellen.
   
Dat komt erg vaak voor, namelijk elke keer als je een "experiment" vaker uitvoert. Een eenvoudig voorbeeld is bijvoorbeeld het gooien van 5 dobbelstenen en de ogen ervan optellen. Dat is natuurlijk precies hetzelfde als vijf keer één dobbelsteen gooien.
Voor het gooien van één dobbelsteen is de kansverdeling erg eenvoudig, dus zijn de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie makkelijk uit te rekenen.
Hiernaast zie je dat geldt  E = 3,5  en  σ = 1,7078

Dan geldt voor de som van vijf dobbelstenen:
E = 3,5 + 3,5 + ...  = 5 · 3,5 = 17,5
σ2 =  1,70782 + 1,70782 + ... = 5 · 1,70782 = 14,5829  dus  σ = 3,82

Dat gaat een stuk makkelijker dan als je een kansverdeling voor alle vijf de stenen samen moet maken!!!

   
Als we n  dezelfde dingen bij elkaar optellen geeft dat:

Esom = E1 + E2 + .... = E + E + .... = n ·  E
σsom2 = σ12 + σ12 + .... = σ2 + σ2 + ..... = n · σ2   dus  σsom = √(n · σ2) = σ√n

Dit laatste heet de √n - wet:

tel n dezelfde dingen bij elkaar op:

Esom = nE
 σsom = σ√
n
 

   
De binomiale verdeling.

Dat laatste:  dingen bij elkaar optellen gebeurt eigenlijk altijd bij de binomiale verdeling. Daar werden het "aantal successen" geteld bij n experimenten.
Als je nou de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van het aantal successen bij één experiment weet, dan kun je met bovenstaande regels voor E en σ makkelijk uitbreiden naar n experimenten (bij de binomiale verdeling zijn die n experimenten allemaal gelijk, dus je telt automatisch alleen dezelfde dingen bij elkaar op).

Laten we E en σ voor één experiment gaan uitrekenen.
Als de kans op succes gelijk is aan p, dan ziet de kansverdeling daarvan er zó uit:

   
één experiment, kans op succes p
aantal successen X kans
0
1
1 - p
p
   
De verwachtingswaarde is dan  E =  0 · (1 - p) + 1 · p = p
Voor de standaarddeviatie gaan we de tabel uitbreiden met  (X - E)  en  (X - E)2 :
   
één experiment, kans op succes p
aantal successen X kans (X - E) (X - E)2
0
1
1 - p
p
 0 - p
1 - p
p2
(1 - p)2
   
De gemiddelde kwadratische afwijking is dan   (1 - p) · p+ p · (1 - p)2 = p2 - p3 + p - 2p2 + p3 = p - p2 = p(1 - p)
De standaarddeviatie bij één experiment is daar dan de wortel van:  σ = √(p(1 - p))

Bij n dezelfde experimenten kunnen we nu de eerder gevonden  regels voor de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie gebruiken:  Esom = n · E = n ·en   σsom = σ√n = √(p(1 - p)) · n = √(np(1 - p)).

Conclusie:
   

voor de binomiale verdeling geldt:
E =  n · p   en  
σ = (np(1 - p)).

   
   
  OPGAVEN
   
1. Als ik 20 dobbelstenen maak zoals op de bouwplaat hiernaast, en ik gooi al die 20 dobbelstenen op tafel, wat zullen dan het gemiddelde en de standaarddeviatie van de som van al die ogen zijn?

     

46,67 en 5,58

       
2. Koos en Francien willen beiden graag een willekeurig getal van 2 t.m.12 hebben.
Koos gooit twee dobbelstenen en telt het totaal aantal ogen.
Francien heeft een vaas met ballen, genummerd 2 t.m.12 en trekt er willekeurig een bal uit.
       
  a. Beredeneer zonder berekening te maken wie van beiden de grootste standaarddeviatie zal krijgen.
       
  b. Bereken beide standaarddeviaties.
     

 2,42 en 3,45

       
3. Een dronkeman staat in een lange straat en is volledig zijn oriëntatie kwijt.
Hij neemt elke keer een stap óf vooruit, óf achteruit. Beiden hebben kans 50%.
Neem aan dat zijn stappen allemaal even groot zijn.
       
  Na 10 stappen heeft hij een aantal stappen naar voren gedaan. Het gemiddelde daarvan is uiteraard 5.
       
  a. Hoe groot is de standaarddeviatie van dit aantal?  
     

1,58

  b. Op een gegeven moment is de standaarddeviatie van het aantal stappen naar voren gelijk aan 3. Hoe groot is het gemiddeld aantal stappen naar voren op dat moment?
     

18

  Na 10 stappen heeft hij een bepaalde afstand tot zijn beginpunt.
       
  c. Wat zijn de standaarddeviatie en de verwachtingswaarde van die gemiddelde afstand?
     

2,46 en 1,98

       
4. Bij een casino is de draaischijf verdeeld in de getallen 0 tm 36
Het getal nul is groen, en van de overige 36 getallen zijn er 18 rood en 18 zwart.
Een gokker gaat naar het casino en is van plan €10,- te gaan besteden, maar twijfelt nog over twee verschillende tactieken om zijn geld in te zetten.
• tactiek 1:  zet elke keer €1,-  op  zwart. Als dat lukt krijgt hij €2,- terug van het casino, anders niets.
• tactiek 2:  zet elke keer €1,- op  het getal 8. Als dat lukt krijgt hij €36,- terug van het casino, anders niets.

Het geld dat hij terugkrijgt legt hij apart en gebruikt hij dus niet om verder mee te spelen. In totaal zal hij bij beide tactieken dus 10 keer gaan spelen. 

       
  a. Bereken voor beide tactieken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van het totale bedrag dat de gokker na 10 keer spelen apart zal hebben gelegd.
     

 1:  9,73  en 3,16
2:   9,73 en 18,46

  b. Het casino heeft natuurlijk het liefst een vaste stabiele bron van inkomsten. Welke tactiek zal het casino daarom het liefst bij zijn klanten zien?  Geef een wiskundige uitleg en maak daarin gebruik van het begrip standaarddeviatie.
       
5. Iemand heeft een verzameling van 6 dobbelstenen waar je 1 tm 8 mee kunt gooien plus nog 3 dobbelstenen waar je 1 tm 4 mee kunt gooien, zoals je in het plaatje hiernaast ziet.

Als je al deze 9 dobbelstenen in één keer gooit, en het totaal aantal ogen telt, wat zijn dan de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van het aantal ogen?

 

     

34,5 en 5,94

6. a. Zes voetbalvrienden hebben naar een wedstrijd elk een aansteker, een tomaat en een ei meegenomen om naar de scheidsrechter te gooien. Bij de eerste  in hun ogen foute beslissing gooien ze alle zes één van hun voorwerpen naar de scheidsrechter.
X is het aantal eieren dat er op dat moment gegooid wordt.
Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van X.
     

4/3 en 0,9248

 

  b. Een voetbalfan heeft naar een wedstrijd een zak met 4 aanstekers, 4 tomaten en 4 eieren meegenomen om naar de scheidsrechter te gooien. Bij de in zijn ogen eerste foute beslissing gooit hij vier willekeurig gekozen voorwerpen uit zijn tas naar de scheidsrechter.
X is het aantal eieren dat hij op dat moment gooit.
Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van X.
     

4/3 en 0,8039

  c. Zodra er een ei is gekozen wordt de kans op weer een ei iets kleiner.  En ook als er een niet-ei wordt gekozen is daarna de kans op weer een niet-ei ietsje kleiner geworden. Dat betekent dat het aantal eieren minder snel heel extreem groot/klein zal zijn.
Dus zal de spreiding in het aantal eieren gemiddeld kleiner zijn.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)