De standaardnormale verdeling.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Die normale verdeling is eigenlijk maar knap lastig, om een oppervlakte uit te rekenen heb je een gemiddelde m nodig en een standaarddeviatie σ, en een ondergrens en een bovengrens, en dan pas kun je aan 't rekenen. Niet iets wat je zomaar even in een tabelletje opzoekt.
   
Als je dat zou willen moet je voor elke μ en σ combinatie een aparte tabel maken. Dat worden er nogal veel. Daarom gaan we deze les proberen of we niet één eenvoudige μ-σ tabel kunnen maken waar we dan al die anderen uit kunnen afleiden.

Dat gaat lukken! (of verraad ik nou alles?)
       
We beginnen gewoon met de allersimpelste  normale verdeling die er te verzinnen is, en dat is die met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1.
Dat noemen we de "standaardnormale verdeling". De x daarbij wordt meestal z genoemd, en de oppervlakte naar links toe heet Φ, zoals je in de figuur hiernaast kunt zien.
Als je nou één tabel hebt voor allerlei z-waarden met bijbehorende Φ, dan kun je daaruit alle andere normale verdelingen afleiden.

       
Om dat te doen gaan we gewoon een willekeurige normale verdeling (met μ en σ) stap voor stap veranderen in de standaardnormale verdeling. Dat gaat in twee stappen, en laten we daarbij in de gaten houden wat er met een willekeurige x gebeurt.
•  Eerst schuif je de klokvorm m naar links.  Dan komt die x terecht bij  x - μ
• 
Daarna maak je de afstand van elk punt tot de y-as 1/σ keer zo groot. Dan komt die x - μ  terecht bij 1/σ (x - μ)
Hieronder zie je wat er gebeurt (met als voorbeeld μ > 0 en σ > 1, maar met andere waarden gaat het precies zo).  
       

       
Daar rechts is de standaardnormale verdeling verschenen.
En het mooie is:  omdat die Φ een percentage voorstelt (de rode oppervlakte als percentage van de totale oppervlakte) is die niet veranderd.  Het percentage rood in de rechterfiguur is gelijk aan dat in de linkerfiguur.
Conclusie:  een willekeurige normale verdeling met μ en σ  geeft bij een bepaalde x-waarde dezelfde oppervlakte naar links als de standaardnormale verdeling  bij z = (x - μ)/σ.
       
       
De Grafische Rekenmachine.
       
Op de TI kun je natuurlijk gewoon voor de standaardnormale verdeling gebruiken normalcdf(a, b, 0, 1). Er is echter ook een "omgekeerde" berekening en dat gaat met de optie  invNorm.  Die vind je bij  2nd - distr - 3: invNorm(
Als je achter invNorm een percentage intoetst  (een oppervlakte Φ), dan geeft de GR je als antwoord bij welke waarde van z dat percentage vanaf links van de klokvorm wordt bereikt. Dus  invNorm(Φ) = z

     

invNorm(Φ) = z

       
Dat heeft als voordeel dat je, als je een oppervlakte weet, niet dat hele gedoe met intersect hoeft te gebruiken. Het heeft alleen als nadeel dat je de gevonden z wel weer moet omrekenen naar een x.

Voorbeeld.
Het gemiddelde CSE cijfer Wiskunde was vorig jaar een 6,4 met een standaarddeviatie van 1,6
Welk cijfer moet je gehaald hebben om bij de beste 20% van Nederland te horen?

Als je bij de beste 20% hoort, dan heb je 80% achter je gelaten, en daarbij hoort invNorm(0,80) = 0,8416 = z
Dus  (x - 6,4)/1,6 = 0,8416 ⇒  x - 6,4 = 1,3466 ⇒  x = 7,746  dus je moet minstens een 7,8  hebben gehaald.
       
Wááááát? Is dat alles?   Moet ik daar deze hele les voor leren??
Kon ik ook met Intersect!!!
       
Rustig, rustig, neem even een slokje water.
Er zijn ook vragen die je alleen maar met deze invNorm kunt oplossen.

Dat zijn problemen waarbij zowel μ als σ onbekend zijn.
 
Neem de klokvorm hiernaast.
Onder de x = 42 zit 20%  en boven de x = 68 zit 10%.
Met alleen maar normalcdf  kun je nu niet berekenen wat m en s zijn.
Maar met invNorm kan het wél. kijk maar:

invNorm(0,20) = -0,8416 = (42 - μ)/σ  ofwel  -0,8416σ = 42 - μ
invNorm(0,90) = 1,2816 = (68 - μ)/σ  ofwel  1,2816σ = 68 - μ.

       
Dat zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden, en die zijn makkelijk op te lossen.
Maak bijvoorbeeld van de eerste μ = 42 + 0,8416σ  en vul dat in in de tweede.
Dat geeft  1,2816σ = 68 - 42 - 0,8416σ  ⇒  2,1232σ = 26  ⇒  σ = 12,25 
Dan is μ = 42 + 0,8416 • 12,25 = 52,31
       
Zo. 
Tevreden?
Toch nog wat geleerd??
       
           
  OPGAVEN
           
1. Het aantal pagina's dat je met een blauwe BIC vulpen kunt schrijven is normaal verdeeld met een gemiddelde van 360 en een standaarddeviatie van 24.
Bereken via de standaardnormale verdeling hoe groot de kans is dat het aantal pagina's bij een willekeurige pen tussen de 330 en 340 ligt.
 
           
2. a. Bereken μ en σ bij de volgende normale verdeling:
   
           
  b. Bereken het rood gekleurde gebied bij de volgende normale verdeling
   
           
3. Bereken de waarde van X hieronder als de groene oppervlakte gelijk is aan 16%.
           
 

           
4. Heb je bij vraag 1 aan de continuïteitscorrectie gedacht?  Zo nee, maak de vraag dan nog een keer en nu goed graag!
           
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005

De snelheidsmeter van een auto geeft meestal niet precies aan wat de werkelijke snelheid is waarmee de auto rijdt. Voor een bepaald type snelheidsmeter geldt het volgende: als de snelheidsmeter een snelheid van v km/u aangeeft is de waarde van de werkelijke snelheid normaal verdeeld, waarbij het gemiddelde gelijk is aan v en de standaardafwijking gelijk is aan 1,5% van dat gemiddelde.

Bij snelheidscontrole wordt een marge aangehouden van 3%. Dus bijvoorbeeld bij een maximumsnelheid van 100 km/u wordt er beboet bij snelheden van 103 km/u en hoger.

Van een auto is de snelheidsmeter van bovenstaand type. De bestuurder rijdt volgens de meter steeds met precies  de toegestane maximumsnelheid.

Stel dat de toegestane maximumsnelheid 70 km/u is. De kans dat de werkelijke snelheid van de bestuurder zo groot is dat hij voor een boete in aanmerking komt is dan, afgerond op 3 decimalen, gelijk aan 0,023. 

           
  a. Toon dit aan.      
           
  De kans dat hij in aanmerking komt voor een boete is bij elke toegestane maximumsnelheid even groot
           
  b. Toon dit aan.      
           
  De bestuurder passeert in een jaar 200 keer een elektronisch bord dat waarschuwt wanneer men te hard rijdt, dat wil zeggen wanneer men de boetegrens overschrijdt. De kans dat de bestuurder voor een boete in aanmerking komt is telkens 0,023.
           
  c. Bereken de kans dat de bestuurder van die 200 keer meer dan 2 keer gewaarschuwd wordt.
       

0,84

           
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)