De snijlijn van twee vlakken.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
 

punten, lijnen en vlakken

We zagen in een eerdere les al dat er voor de ligging van twee vlakken twee mogelijkheden zijn: de vlakken zijn evenwijdig of de vlakken snijden elkaar. Als ze elkaar snijden, dan vormen de punten die in beide vlakken liggen samen een rechte lijn:  de snijlijn.

De vraag van vandaag:
   
Hoe teken je zo'n snijlijn?  
   
Nou, dat is gelukkig erg makkelijk. Omdat je al wt dat het een rechte lijn moet zijn is het genoeg als je er twee punten van kunt vinden. Ofwel:  zoek gewoon twee punten die in beide vlakken liggen, en trek daar een rechte lijn door.

Neem de vlakken BED en PQRS hiernaast.
Als je bijvoorbeeld een "wandeling" maakt langs de rand van vlak PQRS en elke keer als je k in vlak BED zit een dikke stip zet, dan kom je vrij makkelijk aan die twee rode stippen hiernaast.
Die zitten dus in beide vlakken, dus de lijn ertussen is de snijlijn van beide vlakken. Het is de rode lijn hiernaast.

   
complicatie 1.
Af en toe zul je eerst de vlakken die gegeven zijn groter moeten maken. dat doe je voorlopig door de randen ervan gewoon "door te trekken" (later zullen we ingewikkelder manieren bekijken om vlakken groter te maken).
   

   
Als je van de linkerfiguur de snijlijn van de vlakken FPC en BCH wilt tekenen maak je die beide vlakken eerst groter. Ik hoop dat je ziet dat ze hetzelfde zijn als de vlakken FEDC en EBCH.
De punten die in beide vlakken liggen zijn E en C en de gezochte snijlijn is dus EC. Dat zie je in de rechterfiguur.
   
complicatie2.  
Het kan zelfs zo zijn dat de snijlijn van twee vlakken buiten een figuur valt.
Stel dat we in de linkerfiguur hieronder de snijlijn van het gele en het groene vlak willen tekenen.
   

   
De beide vlakken in de linkerfiguur zijn in de middelste figuur eerst groter gemaakt, maar ze snijden elkaar nog steeds nergens! Pas als je de beide vlakken doortrekt tot buiten de kubus dan vind je de snijlijn, zoals in de rechterfiguur is gebeurd.
   
De Drievlakkenstelling
   
Er is nog een aardige stelling die ons kan helpen bij het tekenen van snijlijnen, en dat is de drievlakkenstelling.
Die luidt als volgt:
   
Als er drie vlakken zijn, waarvan geen enkel vlak evenwijdig is aan een ander vlak,
dan zijn er voor de snijlijnen drie mogelijkheden:
   
    de snijlijnen vallen samen.
  de snijlijnen zijn evenwijdig.
  de snijlijnen gaan door n punt.
   
   
Hieronder zie je van alle drie de mogelijkheden een plaatje:
   

   
Andere mogelijkheden dan deze drie zijn er niet. Zo gauw je bijvoorbeeld in de middelste figuur n van de vlakken ietsje "schever"zet, dan krijg je direct de rechterfiguur.
   
Deze eigenschap kunnen we af en toe gebruiken om een snijlijn te vinden zonder de vlakken helemaal door te trekken".
Het beroemdste voorbeeld staat hiernaast.
In een piramide met vierkant grondvlak wordt gevraagd de snijlijn van het linker- en het rechter-zijvlak te tekenen.
 

   
We bekijken nu DRIE vlakken; het linkerzijvlak, het rechterzijvlak en het grondvlak. Hiernaast zijn twee snijlijnen tussen die drie vlakken al getekend; de van de zijvlakken met het grondvlak.

Het zijn de beide rode lijnen in de figuur hiernaast.
Het valt ons natuurlijk meteen op dat die twee evenwijdig zijn.

   
Maar.....
Als twee snijlijnen evenwijdig zijn, dan kan het alleen nog maar de middelste mogelijkheid van de drievlakkenstelling zijn! Dat betekent dat de derde snijlijn ook automatisch evenwijdig aan de anderen is.
Omdat we verder weten dat die derde lijn door de top van de piramide moet gaan (ligt immers in linker- n rechterzijvlak) kunnen we hem tekenen.
Handig h?

   
   
1. In de volgende stapelingen van kubusjes zijn steeds twee vlakken rood gekleurd.
Teken de snijlijn van die twee vlakken.
       
 

       
2. Teken de snijlijn van de volgende vlakken.
       
 

  a. b. c.
       
 

  d. e. f.
       
 

  g. h. i.
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)