Punten, lijnen, vlakken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
In de ruimtemeetkunde houden we ons bezig met de eigenschappen van punten, lijnen en vlakken. Hun onderlinge ligging, hoeken die ze met elkaar maken, afstanden tot elkaar.
Laten we deze drie hoofdrolspelers eerst maar eens  voorstellen.
   
PUNT.

Nou, daar is niet zoveel spectaculairs over te vertellen.
Bedenk vooral dat een punt geen afmetingen heeft! Geen lengte, breedte hoogte of dikte!!

Eigenlijk bestaat een punt dus niet!!!

Het is in feite meer een "plaats in de ruimte".
Punten geven we voortaan aan met een hoofdletter. En ook al tekenen we vaak een stip op de plaats van een punt, bedenk jezelf steeds dat die stip geen afmetingen heeft (zo gauw hij grootte heeft is 't immers een cirkel(tje)?)

   
   
LIJN.  
   
Als we het voortaan hebben over een lijn, dan wordt bedoeld een rechte lijn. (bij gekromde lijnen hebben we het meestal over een kromme).
Verder is een lijn oneindig lang:  hij heeft geen beginpunt of eindpunt. Als het gaat om een stukje lijn met wél een begin- en een eindpunt, dan spreken we van een lijnstuk. (En dan heb je ook nog het geval van aan één kant een beginpunt, maar aan de andere kant geen eindpunt. Dat heet een halve lijn)
   

   
Bedenk ook later (en later is in dit geval over ongeveer twee minuten) bij ruimtelijke figuren dat lijnen in principe oneindig lang zijn ook al is maar een stukje getekend.
Hiernaast zie je bijvoorbeeld een kubus ABCD.EFGH met ribbe 4, en een punt P zo dat DP = 4, en ADP is een rechte lijn.

Ga de volgende uitspraken na:
•  P ligt wel op lijn AD
•  P ligt niet op lijnstuk AD
•  P ligt niet op lijnstuk FM.
•  P ligt wel op lijn FM  (waarom is dat zo?)

Als we het dus hebben over een punt op lijnstuk BC, dan moet dat punt verplicht tussen B en C in liggen. Als het gaat om een punt op lijn BC, dan hoeft dat niet.
   
Een lijn wordt bepaald (= volledig vastgelegd) door twee punten, en wordt dan ook meestal aangegeven door twee hoofdletters  ("lijn AB"). Soms als we een lijn een aparte naam willen geven dan doen we dat met een kleine letter  ("lijn l gaat door P en Q")

De ligging van twee lijnen.

Laten we even het flauwe geval van twee lijnen die samenvallen (dan is het immers eigenlijk maar één lijn) vergeten, dan zijn er voor de ligging van twee lijnen ten opzichte van elkaar drie mogelijkheden:
   
A. Ze zijn evenwijdig
Dat betekent dat de afstand tussen de twee lijnen overal gelijk is. Het woord evenwijdig zegt het eigenlijk al:  het is overal "even wijd". Evenwijdig heet ook wel parallel.
De lijnen hebben in zo'n geval  geen enkel punt gemeenschappelijk.

B.  Ze snijden.
Dat betekent dat er ergens een punt is dat op beide lijnen ligt. (dat punt heet uiteraard het snijpunt).

C.  Ze kruisen.
Dan hebben de lijnen weer geen enkel punt gemeenschappelijk, maar ze lopen niet in dezelfde richting. Ze lopen als het ware "langs elkaar heen". Dat kan alleen in een ruimtelijke figuur gebeuren: in een tweedimensionaal plat vlak zullen twee lijnen óf elkaar snijden, óf evenwijdig zijn.
   

   
VLAK.
   
Als we het voortaan hebben over een vlak, dan bedoelen we een plat vlak. Een  vlak is ook altijd oneindig groot en heeft geen "randen" (alhoewel we die wel vaak tekenen om aan te geven waar een vlak zich bevindt).
Dat  is bijvoorbeeld de reden dat in de kubus hieronder drie keer hetzelfde vlak is getekend.
   

   
"Vlak EFC"  is precies hetzelfde als "vlak EFCD"  en ook als het vlak in de derde tekening. Merk op dat die randen alleen getekend zijn om een idee te geven waar dat vlak ligt. Het vlak "stopt" daar niet.

Je kunt een vlak op meerdere manieren aangeven. De makkelijkste manier is om drie punten te noemen die in het vlak liggen, maar dan mogen die drie punten niet op één lijn liggen (als dat wel zo is zijn er nog vele vlakken mogelijk, namelijk door te draaien om die lijn).
Je kunt ook een lijn noemen die in het vlak ligt plus een punt dat niet op die lijn ligt.
Tenslotte kun je ook twee snijdende of evenwijdige lijnen noemen die in het vlak liggen. Ook daarmee ligt het vlak vast.
   

   
De ligging van twee vlakken.  
   
Nu zijn er (los van het "flauwe"geval van twee samenvallende vlakken) maar twee mogelijkheden.
Twee vlakken zijn evenwijdig als ze geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
In alle andere gevallen snijden de twee vlakken elkaar, en in die gevallen hebben ze meteen een hele lijn van punten gemeenschappelijk. Juist:  de snijlijn.
   

   
De linkerkubus bevat twee snijdende vlakken FCDE en ADGF waarbij de rode lijn FD de snijlijn is.
In de rechterkubus zijn de vlakken FCDE en PQRS evenwijdig (tenminste als FC en PQ en ook QR en CD en de andere "randen" evenwijdig zijn).
   
Nou is dat niet altijd zo eenvoudig te zien als in de voorbeeldjes hierboven. Neem de volgende twee voorbeelden.
   
voorbeeld 1.
Hoe zit het met de vlakken BCH en DGP hiernaast? Snijden die of zijn die evenwijdig?
En hangt dat nog af van de precieze plaats van P en Q  op de ribben af of niet?

Het blijkt dat de vlakken elkaar snijden.

Dat kun je zien door ze in gedachten "groter te maken". Als je bijvoorbeeld GP verlengt in de richting van P, en ook CB in de richting van B dan zullen die lijnen elkaar ergens daar ver links snijden. Dat snijpunt S hoort dus bij beide vlakken, dus snijden de vlakken, dus is er een snijlijn.

   
voorbeeld 2.
De vlakken CFH en BED hiernaast?
Die zijn wel evenwijdig.
Dat is lastig te zien waarschijnlijk. Het zit hem erin dat de drie richtingen van de "randen" van het ene vlak ook alle drie voorkomen in het andere vlak (FH, FC en CH zijn evenwijdig aan respectievelijk BD, ED en BE)
Je kunt het ook zien door bijvoorbeeld het groene vlak groter te maken, zoals hieronder.

   
Een vlak en twee lijnen.
   
De vraag is:  kun je door twee lijnen altijd een vlak tekenen?
Het antwoord is:  NEE.

Als twee lijnen elkaar kruisen, dan kun je niet één vlak vinden waar ze allebei in liggen. Als ze snijden of evenwijdig zijn, dan kan dat wel altijd.
   

lijnen snijden of zijn evenwijdig   ⇔   lijnen liggen in één vlak

   
Denk er goed om dat je deze bewering twee kanten op kunt gebruiken:
•  ALS twee lijnen snijden of evenwijdig zijn DAN liggen ze in één vlak.
•  ALS twee lijnen in één vlak liggen DAN snijden ze of zijn de evenwijdig.

En ook de beide omkeringen mag je gebruiken:
ALS twee lijnen kruisen, DAN liggen ze niet in één vlak
ALS twee lijnen niet in één vlak liggen, DAN kruisen ze.
   
Vooral die laatste bewering kun je makkelijk gebruiken om aan te tonen dat twee lijnen elkaar kruisen.

Neem de kubus hiernaast met de lijnen BQ en DP. Die kruisen elkaar.
Het bewijs?
Nou kijk:

•  Als de twee lijnen in één vlak zouden liggen, dan moet dat wel vlak FBDH zijn, want daar ligt lijn PD in en ook punt B.
•  Maar punt Q ligt duidelijk niet in dat vlak.
•  Dus liggen de lijnen PD en BQ niet in één vlak, dus kruisen ze.

   
  OPGAVEN
   
1. Leg uit wat de volgende uitspraken te maken hebben met de wiskundige eigenschappen van punten, lijnen en vlakken
       
  a Een statief op drie poten staat altijd stevig.
(dus bij een tafel met 4 poten hoeft maar één van de vier poten verstelbaar te zijn, en je kunt hem zonder wiebelen neerzetten!)

  b. Een deur die is opgehangen met een aantal scharnierpunten kun je opendraaien.
     
  c. Een deur met een scharnier aan één kant en een slot op een ander punt kan niet open als hij op slot zit.
       
2. Geef van de lijnen in de figuur hiernaast aan of ze evenwijdig zijn, kruisen of snijden. Alle punten die aangegeven zijn, zijn hoekpunten van de figuur óf middens van de ribben waar ze op liggen.
Je kunt ook aangeven "??" als je denkt dat er meer mogelijkheden zijn, afhankelijk van de precieze afmetingen van het huis.
       
  a. GI en HK.

kruisen

  b. MO en AH.

evenwijdig

  c. AF en HM.

kruisen

  d. BK en CI.

snijden

  e. GK en CE.

??

  f. DO en CP.

snijden

  g. EI en HK.

snijden

  h. FP en BD.

kruisen

  i. ON en BJ.

kruisen

  j. AO en EK.

kruisen

  k. EC en IG.

kruisen

  l HF en CK.

kruisen

 
       
3. Geef van onderstaande vlakken aan of ze elkaar snijden of evenwijdig zijn, of dat dat nog onbepaald is (als het afhangt van de afmetingen van de figuur).
Punten op ribben zijn steeds de middens van die ribben.
Probeer elke keer uit te leggen waarom de vlakken wel of niet snijden.
       
 

a. 

onbepaald

b. 

evenwijdig

c. 

evenwijdig

     

d. 

snijden

e. 

evenwijdig

f. 

evenwijdig

     

g. 

evenwijdig

h. 

evenwijdig

i. 

snijden

     
     
4. De graficus Maurits Escher heeft een aantal tekeningen gemaakt die "niet kloppen". Vaak kreeg hij dat voor elkaar door lijnen die eigenlijk kruisen als snijdend te tekenen. Of een lijn die voor een andere langsloopt erachter te tekenen.
Probeer bij de vier onderstaande afbeeldingen van Escher uit te leggen wat er is gebeurd.
       
 

       

Toch zijn er veel zogenaamde "echte" foto's van zulke onmogelijke objecten te vinden.
Linksonder zie je een foto van een stapeltje dobbelstenen, rechtsonder zie je een kunstwerk (staat echt in Perth, Australië!)
       
 
 

       
  Als je op de rechterfoto klikt krijg je een soort van verklaring; hetzelfde standbeeld vanaf een andere kant gezien. Loop er in gedachten omheen en kijk of je je kunt voorstellen hoe het "werkt".
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)