De snijlijn van twee vlakken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Ach, snijden is nou eenmaal gelijkstellen.....

Stel dat je twee vlakken V en W hebt.
In een punt dat op beide vlakken ligt zijn de xy - en z - coördinaat van beide vlakken gelijk (namelijk die van dat snijpunt).
Dus xV = xW  en  yV = yW  en  zV = zW  
Dat betekent dat de bovenste,  middelste en onderste "regel" van de vectorvoorstellingen gelijk zijn. 't Is eigenlijk precies zoals bij het snijpunt van een lijn en een vlak.

Het grote verschil zie je vanzelf als je een voorbeeld bekijkt.

Voorbeeld  (NOU!  Toevallig zeg! Daar is al een voorbeeld. Net nou we het erover hebben!!)
Die laatste letter is de Griekse t en die spreek je uit als "tau".
Gelijkstellen  geeft het volgende stelsel van drie vergelijkingen:

       
En nu de verrassing:  Drie vergelijkingen, met Vier onbekenden dat valt (in het algemeen) niet op te lossen!

Het slechte nieuws is: Drie vergelijkingen, met Vier onbekenden dat valt (in het algemeen) niet op te lossen!

Gelukkig is er ook goed nieuws.

       
Waarom is dat goed nieuws?
Nou, je wilt ook helemaal geen oplossing. Als je precies één mogelijkheid voor  λ, μ, ρ en τ zou vinden waarvoor die vergelijkingen kloppen, dan is er dus maar één snijpunt. En dat kan helemaal niet. Twee vlakken hebben helemaal niet één snijpunt, die hebben in het algemeen een hele snijlijn.

De aanpak van dit stelsel vergelijkingen is als volgt:
       

ga de letters van één vlak wegwerken.

       
Dat betekent dat je hierboven eerst moet kiezen of je λ en μ gaat wegwerken of ρ en τ.
Omdat die tweede vergelijking al zonder λ is, kies ik ervoor om λ en μ te gaan wegwerken, dat lijkt mij in dit geval minder werk.
Het oplosproces gaat als volgt:
3 vergelijkingen met 4 onbekenden  ⇒ 2 vergelijkingen met 3 onbekenden ⇒ 1 vergelijking met 2 onbekenden (ρ en τ).
Om letters weg te werken kun je weer kiezen voor substitutie of voor lineaire combinatie (beiden is mogelijk).
Laten we deze keer kiezen voor lineaire combinaties.
Dat geeft:

       
Die middelste is overgenomen en die nieuwe ontstaat door tweemaal de onderste te nemen en dan de bovenste er af te trekken.  Bedenk goed dat je vanaf hier geen keus meer hebt: je moet nu μ wegwerken. Dat gaat bijvoorbeeld zó:
       

       
Daarvan kun je vrij makkelijk maken  τ = -1 - 4ρ. 
Kijk wat er gebeurt als je dit laatste voor τ in de plaats in dat tweede vlak invult. 

Kijk en geniet.....
Daar helemaal rechts staat de vectorvoorstelling van een lijn:  JAWEL:   de snijlijn!
         
OPGAVEN
   
1. Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van de volgende twee vlakken:
         
  a.
         
  b.
         
  c.
         
  d.
   
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)