h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. (1):   -2 + 2λ + 3μ = 9 - 3ρ - τ
(2):  -3 + 2μ = 8 + ρ + 5τ
(3):  2 + 3λ + μ = -12 + 5ρ + τ

we gaan λ en μ wegweken  (in de tweede staat al geen λ).
vermenigvuldig (1) met 3 en  (3) met -2:    -6 + 6λ + 9μ = 27 - 9ρ - 3τ  en  -4 - 6λ - 2μ = 24 - 10ρ - 2τ
optellen:  -10 + 7μ = 51 - 19ρ - 5τ  dus we hebben nu de vergelijkingen

(2):  -3 + 2μ = 8 + ρ + 5τ
(4):  -10 + 7μ = 51 - 19ρ - 5τ

vermenigvuldig (2) met 7  en  (4) met -2:   -21 + 14μ = 56 + 7ρ + 35τ  en  20 - 14μ = -102 + 38ρ + 10τ
optellen:   -1 = 45ρ + 45τ - 46
45ρ + 45τ = 45
ρ + τ = 1
τ = 1 - ρ  en dat kun je invullen in het tweede vlak om een vectorvoorstelling van de snijlijn te krijgen:
   
       
  b. (1):  1 + 2λ - 2μ = 2 + ρ - 2τ
(2):  μ = 1 + ρ
(3):  3 + 5l + 4μ = 3ρ + τ

we gaan λ en μ wegwerken. 
(2)  invullen in (1) en (3) geeft:

(1b):  1 + 2λ - 2(1 + ρ) = 2 + ρ - 2τ  ⇒  2λ - 3ρ + 2τ = 3
(3b):  3 + 5λ + 4(1 + ρ) = 3ρ + τ  ⇒   5λ + ρ - τ = -3

uit (1b)  volgt  l = 11/2ρ - τ + 11/2  en dat kun je invullen in  (3b):
Dat geeft   5(11/2ρ - τ + 11/2) + ρ  - τ = -3  ⇒   81/2ρ - 6τ = -101/2
6τ = 81/2ρ + 101/2
τ = 17/12ρ + 7/4
Invullen in de vergelijking van het eerste vlak:
   
       
  c. (1):   -3 + λ + 5μ = -2ρ
(2):   4 + 2λ + 9μ = -23 + 5ρ + 8τ
(3):   -6 + λ - 2μ = 10 - 5τ

we gaan r en t wegwerken
vermenigvuldig  (2) met 5  en  (3) met 8:    20 + 10λ + 45μ = -115 + 25ρ + 40τ  en  -48 + 8λ - 16μ = 80 - 40τ
optellen:  -28 + 18λ + 29μ = -35 + 25ρ, dus nu hebben we de volgende twee vergelijkingen:

(1):   -3 + λ + 5μ = -2ρ
(4):   -28 + 18λ + 29μ = -35 + 25ρ

vermenigvuldig (1)  met 25 en (4) met 2:   -75 + 25λ + 125μ = -50ρ  en  -56 + 36λ + 58μ = -70 + 50ρ
optellen geeft:   -131 + 61λ + 183μ = -70
61λ + 183μ = 61
λ + 3μ = 1
λ = 1 - 3μ
Invullen in de vergelijking van het eerste vlak:
   
       
  d. (1):  1 + 2λ + 5μ = -1 - ρ - 3τ
(2):  2μ = 9 + 3ρ + 8τ
(3):  5 + 3λ + 4μ = -5 + 2ρ - τ

we gaan λ en m wegwerken.
vermenigvuldig (1) met 3 en (3) met -2:   3 + 6λ + 15μ = -3 - 3ρ - 9τ   en   -10 - 6λ - 8μ = 10 - 4ρ + 2τ
optellen:   -7 + 7μ = 7 - 7ρ - 7τ   ofwel  -1 + μ = 1 - ρ - τ, dus dat geeft de volgende twee vergelijkingen:

(2):   2μ = 9 + 3ρ + 8τ
(4):   -1 + μ = 1 - ρ - τ  ofwel  μ = 2 - ρ - τ  en die kun je invullen in (2):
2(2 - ρ - t) = 9 + 3ρ + 8τ  ⇒   4 - 2ρ - 2τ = 9 + 3ρ + 8τ  ⇒  -5ρ - 10τ = 5  ⇒  ρ = -1 - 2τ
invullen in de vergelijking van het tweede vlak:
   
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)