Simuleren.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hoe groot is de kans om met vier dobbelstenen een totaal van 15 ogen te gooien?

Oei!

Uitschrijven door te proberen is nogal een werk:
15 kan  zijn  1 + 4 + 6 + 4  of  2 + 2 + 6 + 5  of  6 + 4 + 2 + 3..... 
Dat duurt wel even. En voor je weet vergeet je er eentje.
Een kansboom maken is k nogal veel werk; die krijgt  6 6 6 6 = 1296 takken.

Misschien kunnen we wel het snelst gewoon heel vaak met 4 dobbelstenen gooien en kijken hoe vaak er 15 uitkomt.
Als je dat maar vaak genoeg doet, dan zegt de "wet van de grote aantallen" dat de gevonden kans steeds nauwkeuriger gelijk zal zijn aan de echte kans. Dat "naspelen" heet in de wiskunde  "SIMULEREN".
Maar ja, dat gooien gaat niet zo heel snel; steeds weer die 4 getallen optellen en noteren, en dan steeds weer die stenen oprapen van tafel (en vast soms van de grond), dan weer opnieuw gooien.....  Dat kost wel even wat tijd voordat je 500 keer hebt gegooid.

Het goede nieuws:

Onze TI-83 kan dat voor ons doen!!
   
Toets maar mee:
MATH - PRB - randInt(1,6) - ENTER  geeft een willekeurig geheel getal van 1 t.m.6. Eigenlijk een dobbelsteenworp dus.
Druk nog maar een paar keer op ENTER en je rekenmachine "dobbelt" nog een paar keer:

Hij kan ook in n keer 100 worpen doen:  randInt(1,6,100)

We gaan die 100 worpen opslaan in onze rekenmachine.
Dat gaat als volgt:
STAT - EDIT -  en je krijgt het venster hiernaast te zien.
Daarin staan een aantal lijsten (L1, L2, ...) waarin we getallen kunnen opslaan.

Als er al getallen in de lijsten staan kun je die schoonmaken door op de naam  van de lijst te gaan staan en dan op CLEAR - ENTER te drukken.
Als je lijsten anders heten, of als er lijsten missen, kun je de begininstelling krijgen via   STAT - SetUpEditor - ENTER
Een lijst vullen:
Ga op de naam van de lijst (L1) staan en druk op ENTER. Dan staat je cursor nu onderin beeld.
Toets nu in  MATH - PRB - randInt(1,6,100) en in lijst 1 komen 100 willekeurige dobbelsteenworpen te staan.
Vul op dezelfde manier ook de lijsten L2, L3 en L4 met 100 dobbelsteenworpen (zie hiernaast).

Lijsten bij elkaar optellen:
L1 stelt de eerste dobbelsteen voor, L2 de tweede enz.
We gaan nu de vier stenen bij elkaar optellen en het resultaat in L5 zetten.
Ga op de naam L5 staan en druk op ENTER (cursor komt weer onder in beeld). Toets daar nu in  L1 + L2 + L3 + L4  (de L's vind je boven de getallenknoppen, dus je moet 2nd gebruiken)
Druk op ENTER en L5 vult zich met de 4 stenen samen.

Een lijst testen:
We willen nu testen of er in L5 het getal 15 staat of niet.
Ga op L6 staan en druk op ENTER.
Toets nu in  L5  2nd  TEST   =  15   ENTER
in lijst L6 verschijnt nu een serie enen en nullen. Een 1 als L5 gelijk is aan 15, een nul als dat niet zo is.

En lijst optellen.
Tot slot willen we natuurlijk graag weten hoeveel enen daar in L6 staan, immers zo vaak was de som van de ogen gelijk aan 15.
Dat gaat als volgt:
Verlaat het lijstenscherm (2nd  QUIT)
Toets nu in    2nd  LIST  MATH   SUM (2nd L6)   ENTER
Dat geeft het aantal enen in L6.

Bij mij waren het er 14. Dus de conclusie is nu dat er 14 van de 100 gevallen som 15 uit is gekomen, dus we schatten de kans voorlopig in op 14/100 = 0,14.
(De werkelijke theoretische waarde is  35/324 ≈ 0,11 dus ik zat al redelijk in de buurt. Met bijvoorbeeld 500 of 1000 keer simuleren (randInt(1,6,500))  zul je nog dichter in de buurt komen).
Wat kan je TI-83 nog meer met lijsten?
LIST - MATH - min(L2,L3) geeft het minimum (het laagste getal) van de lijsten L2 en L3.
LIST - MATH - max(L4,L6) geeft het maximum (het grootste getal) van de lijsten L4 en L6.
TEST -  L4 > L3 geeft een 1 als het getal in L4 groter is dan dat in L3, en anders een 0.
TEST -  L2 < 6 geeft een 1 als het getal in L2 kleiner is dan 6, en anders een 0.
Benader de volgende kansen door telkens 100 keer te simuleren:
   
1. Gooi drie dobbelstenen en vermenigvuldig de aantallen ogen met elkaar.
Hoe groot is de kans dat er meer dan  30 uitkomt?
2. Meneer Jansen gooit met drie dobbelstenen. Benader de antwoorden op de volgende vragen.
a. Hoe groot is de kans dat het aantal ogen van de derde steen precies gelijk is aan de som van de ogen van de eerste en de tweede steen samen?
b. Hoe groot is de kans dat het laagst aantal ogen 2 is?
3. Meneer Jansen gooit met drie dobbelstenen. Mevrouw Jansen gooit met twee dobbelstenen. Benader de kans dat Mevrouw tch in totaal meer ogen gooit dan Meneer.
4. Je hebt voor drie wiskunde proefwerken drie cijfers gehaald. De leraar geeft cijfers tussen 3,0 en 10,0 met n cijfer achter de komma. Je bent alleen je cijfers vergeten.
Je weet nog wel dat het tweede cijfer een onvoldoende was en dat het derde cijfer hoger dan 7,0 was. Van het eerste cijfer weet je helemaal niets meer.
Bereken de kans dat je nu gemiddeld een voldoende hebt (alle cijfers tellen even zwaar mee).
5. Meneer Jansen tekent twee punten P en Q willekeurig op de omtrek van een cirkel. met middelpunt M.
Benader door 100 keer te simuleren de kans dat driehoek MPQ scherphoekig is. Bedenk dat de driehoek gelijkbenig is, dus de basishoeken kunnen niet scherp zijn. Het gaat er alleen om of hoek PMQ stomp is of niet...

       
6. Twee schakers gaan 60 partijen tegen elkaar spelen. De kans dat speler A wint is 30%, de kans op remise is 20% en de kans dat speler B wint is 50%. Een winstpartij levert twee punten voor de winnaar op, remise geeft een 1-1 uitslag.
Bepaal hoe groot de kans is dat speler A in totaal meer dan 50 punten zal halen.
       
7. Ik ben jarig en mag als cadeautje uit vijf portemonnees die voor mij liggen een briefje trekken. In elke portemonnee zitten vijf briefjes van 10 euro en vijf briefjes van 5 euro. Ik moet zonder te kijken willekeurig een briefje trekken.

Bepaal de kans dat ik in totaal 35 euro verzamel.
       
Soms moet je niet een geheel getal hebben maar moeten kommagetallen ook mogelijk zijn. In dat geval heb je niet veel aan de randInt functie van je rekenmachine, maar moet je  MATH - PRB - rand gebruiken.
rand   geeft een willekeurig getal tussen 0 en 1

Wil je een willekeurig getal tussen 0 en 5 hebben dan doe je eenvoudig  5 * rand
Wil je een willekeurig getal tussen 4 en 5 hebben dan doe je natuurlijk  rand + 4
Wil je een willekeurig getal tussen 3 en 7 hebben, dan doe je uiteraard  3 + 4 * rand

Tussen haakjes kun je invullen hoeveel getallen je wilt, dus  rand(100) geeft 100 getallen tussen 0 en 1.

Voorbeeld:  we gaan lekker π benaderen!

Dat doen we doordat we weten dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan πr2 . Dus de oppervlakte van een cirkel met straal 2 zal gelijk zijn aan 4π. Dus een kwartcirkel met straal 2 zal oppervlakte π hebben.

Hiernaast zie je zo'n kwartcirkel met straal 2.  Eromheen is een vierkant met zijden 2 getekend.
We laten onze rekenmachine nu een willekeurig punt P binnen dit vierkant kiezen. Dat doen we door willekeurig een x-cordinaat tussen 0 en 2 te kiezen en die in L1 te zetten, en daarna  willekeurig een y-cordinaat tussen 0 en 2 te kiezen en die in L2 te zetten.

L1 = 2 * rand(100)  en  L2 = 2 * rand(100)  geeft 100 zulke willekeurige punten P.

Nu gaan we de afstand tot die punten tot de oorsprong berekenen, en die in L3 zetten.
Dat kan met Pythagoras:  OP = √(x2 + y2 )  en dat geeft in dit geval  L3 = √(L1^2 + L2^2)
Nu gaan we testen of de punten P binnen de cirkel liggen. Dat is zo als de afstand tot de oorsprong kleiner is dan 2.

L4 =  L3 2nd TEST < 2

Sum(L4)  geeft tenslotte aan hoeveel van die 100 punten binnen de cirkel vielen. Dus delen door honderd geeft hoeveelste deel van die punten binnen de cirkel vielen.
En nu komt de denkstap:  Het deel dat binnen de cirkel valt  is gelijk aan de verhouding van de oppervlakten. Immers als een oppervlakte bijvoorbeeld dubbel zo groot wordt zullen er ook dubbel zoveel punten "toevallig" binnen vallen.
Dat is gelijk aan  opp. kwartcirkel/opp. vierkant = π/4
Vermenigvuldig dat percentage met 4 en je hebt een benadering voor π.

Mijn TI-83 gaf  π ≈ 3,16.  Niet slecht voor maar 100 keer simuleren!
Benader de volgende antwoorden door 100 keer te simuleren.
8. Meneer Jansen krijgt elke ochtend de krant op een willekeurig tijdstip tussen 6.00 en 7.00 uur. Hij vertrekt elke ochtend op een willekeurig tijdstip tussen  6.30 en 7.30 naar zijn kantoor.
Bepaal hoe groot de kans is dat meneer Jansen de krant mee kan nemen naar kantoor.
   
9. Meneer Jansen plant in zijn tuin van 12 bij 12 meter op twee willekeurige plaatsen een boom. Bepaal door te simuleren de gemiddelde afstand tussen die twee bomen.
10. De grafiek van y = 4x - x2  is voor x tussen 0 en 4 een parabooldeel boven de x-as.
Benader de oppervlakte tussen dit parabooldeel en de x-as.
11. Twee cirkels met straal 4 en oppervlakte dus 16p gaan door elkaars middelpunt.
Benader de oppervlakte van het overlappende deel.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)