Scheiden van Variabelen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Bij sommige differentiaalvergelijkingen zijn de y en de x uit elkaar te halen.  De y-en aan de ene kant van het =-teken, en de x-en aan de andere kant.
   
Hoe werkt het ?
   
Neem de differentiaalvergelijking  y' = x/y²
Daarin is y de één of andere functie van x.  Dus  y = f(x) maar die functie die kennen we nog niet.
Als je die y2 naar de andere kant brengt, dan staat er  y2y' = x  ofwel  (f(x))2f ' = x
Ga nu beide kanten primitiveren (met als variabele de x).

De primitieve van x is dan  1/2x2 + c1.
De primitieve van  y2 y'
 is  1/3y3 + c2 , immers als je y als f(x) ziet, dan is de afgeleide van (f(x))3 gelijk aan  3• f(x)2 f'(x)  waarbij die laatste f '(x) komt van de kettingregel.

Dus krijg je  1/3y3 + c2 = 1/2x2 + c1 .
 
En nu zijn de x en de y gescheiden!
 

Als je nu de c2 naar de andere kant brengt geeft dat c1 - c2 en omdat de beide c's toch constanten zijn mag je dat ook wel weer een nieuwe c noemen:    1/3y3 = 1/2x2 + c.
Het komt er eigenlijk op neer dat je bij het primitiveren maar aan één kant een c hoeft te zetten.

   
Nogmaals differentialen.
   
We merkten al eerder op dat differentialen  (dy en dx) in feite oneindig kleine stukjes Δx en Δy zijn.
Liefst zo klein mogelijk.
Liefst nul, maar dat kan niet, dan valt alles uit de vergelijkingen weg.
 

Differentialen alléén stellen niets voor!!

 

Het gaat altijd om de verhouding tussen dy en dx. Die stelt wél iets voor, namelijk de helling. Kijk naar de volgende vier vergelijkingen:

1.  dy • 4 = 2x • dx
2.  6 + 2xdy = 3xdx
3.  dy/dx = 4 + 3x
4.  2xdx = 4 • dy/dx
   
Twee daarvan zijn normaal, twee anderen zijn je reinste flauwekul!  Zie je welke?????

Ik hoop dat je door hebt dat de tweede en de vierde lariekoek zijn. Onzin.
In de tweede wordt iets met dy en iets met dx vergeleken met 6. Dat kán echt niet,: die 6 is oneindig veel keer groter dan die stukken met dy en dx want die nemen we immers zo klein mogelijk!
En in de vierde gebeurt hetzelfde: dy/dx is een verhouding, en daar komt een normale waarde uit, terwijl dat stukje met dx naar nul gaat!

Er zijn maar twee manieren om dy of dx uit een vergelijking weg te krijgen:

   
1.  Als afgeleide: je kunt dy/dx vervangen door een "gewone" formule.
2.  Als integraal: een heleboel kleine stukjes bij elkaar optellen geeft één waarde
     (als de stukjes kleiner worden, worden het er ook meer)
   
Met dit in je achterhoofd kun je de bovenstaande differentiaalvergelijking ook zó noteren:
 y' = x/y² dy/dx = x/y²
dy = x/y² • dx
 y² • dy = x • dx
 
  1/3y³ + c1 = 1/2x² + c2
  1/3y³ = 1/2x² + c.
   
In de vierde regel bedoelen we dus niet een stuk oppervlakte uitrekenen, maar gewoon de primitieve functie nemen. In de vijfde regel verdwijnen de differentialen.
In het vervolg zullen we beide notaties (die met y' en die met dy/dx) door elkaar gebruiken. Wen er maar aan!

Tenslotte kun je "voor het mooi"  de slotoplossing natuurlijk ook nog als  y = ....  gaan schrijven:
1/3y³ = 1/2x² + c     y3 = 11/2x2 + c   y = (11/2x2 + c)1/3    (daarbij is 3c vervangen door een nieuwe constante c)
Dit is weer de algemene oplossing. De c kun je vinden door een punt in te vullen.

   
Voorbeeld

Gegeven is de differentiaalvergelijking  dy/dx = 2y + 6.  Geef de oplossingskromme die door  (0,4) gaat.

scheiden:  dy = (2y + 6)dx   dy • 1/(2y + 6) = dx
primitiveren:  0,5ln(2y + 6) = x + c
ln(2y + 6) = 2x + c
2y + 6 = e2x + c = e2x ec = c e2x
2y = c e2x - 6
y
= c e2x - 3
Daarbij hebben we tussendoor elke nieuwe constante gewoon weer c genoemd.   
x = 0 geeft  y = c - 3 = 4  dus  c = 7.  De gezochte kromme is  y = 7e2x - 3

Hoe zie je snel of x en y  te scheiden zijn?

In het algemeen kun je een vergelijking van eerste orde in de vorm  M(x, y) + N(x, y) • y' = 0 schrijven waarbij M en N dus functies van x en y zijn
Dat is trouwens hetzelfde als  M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.
De variabelen zijn te scheiden als M en N beiden als een product van een functie van x en een functie van y geschreven kunnen worden.  Dus als  M(x, y) = f1(x) • f2(y)  en  N(x, y) = g1(x) • g2(y)
   
   
  OPGAVEN
   
1. In  welke van de volgende vergelijkingen kun je x en y scheiden, en in welke niet?
       
  a. 2ydx + 4dy = y2dy

WEL

  b. 3xydy + 4dx =  2ydx

WEL

  c. 2x2dy = 4xdx + ydy

NIET

  d. y' + 2x = 3y

NIET

  e. ydy = 2xdy + 4dx

NIET

  f. xy • y' = 3y  + y'  

NIET

       
2. Geef de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
       
  a. y' = 4y + 2

y = ce4x - 0,5

  b. dy/dx(x + 2)/y

y = ±√(x2 + 4x + c)

  c. 2xydx - ydy = ydx

y = x2 - x + c

  d. xdy = 3ydx - 2dy

y = c • (x + 2)3

  e. xy' x + 3y'

y = x + ln(x -1) + c

       
3. Geef de oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
       
  a. dy - 3dx = ydx, en de kromme gaat door  (0, 4)

y = 7ex - 3

  b. ydy + 2dx = 4xdx, en de kromme gaat door (0,0)

y = (3x2 - 3x)2/3

  c. y' = 1/2y2 • sinx,  en de kromme gaat door (0,8)

y = 2/(-0,75 + cosx)

  d. y'  = 4x - 2xy, en de kromme gaat door (0,5)

y = 2 - 3e-x²

       
4. Radioactieve stoffen vervallen in andere stoffen. De hoeveelheid radioactieve stof die vervalt is afhankelijk van hoeveel stof er is. Als er meer is, vervalt er ook meer, dat klinkt logisch niet?
Wiskundig kunnen we dat in een formule gieten:  dN/dt = -l • N.
Daarin is l de zogenaamde vervalconstante, die per stof verschilt. 
Voor bijvoorbeeld Jodium-131 is l = 10-6

Geef een formule voor de hoeveelheid Jodium-131 als functie van de tijd als de beginhoeveelheid gelijk is aan N0.
     

N(t) = N0 e-lt

5. Als een condensator in het stroomschema hiernaast is opgeladen, zal hij gaan ontladen als de schakelaar wordt gesloten.
Voor de spanning V over de condensator geldt  Q = C • V
(waarin Q = lading, C = capaciteit en V = spanning)
Voor de stroom I die loopt geldt  I = -dQ/dt
Voor deze stroom door de weerstand geldt ook  V = I • R

       
  Uit deze drie formules kun je afleiden dat moet gelden  -C • dV/dt = V/R
       
  a. Toon dat aan.
       
  b. Geef een formule voor de spanning V(t), als de spanning over de opgeladen condensator gelijk is aan 50 Volt, de capaciteit van de condensator is C = 10-6 Farad, en de weerstand R is 1600 Ohm.
     

V(t) = 50 • e-625t

       
6. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1986.

Gegeven is de differentiaalvergelijking  D:    sinxdy  = ycosxdx, waarbij  x ∈ [-π, π] en y R.
     
  a. Teken ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy de verzameling van de punten waarin het lijnelement dat aan D voldoet een positieve richtingscoëfficiënt heeft.
     
  b. Stel een vergelijking op van de integraalkromme van D die door het punt (1/6π, 4) gaat.
       
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1991.
       
 
       
  a. Geef door arcering het gedeelte van het Oxy-vlak aan waar de richtingscoëfficiënten van de door D bepaalde lijnelementen positief zijn.
       
  b. Toon aan dat de kromme K gegeven door:  x = 1 + 2sint  en   y = ln(1 + cost) een oplossingskromme van D is.
       
  L is de oplossingskromme van D die door het punt (-2, ln3) gaat.
       
  c. Stel een vergelijking van L op.
       
8. Gegeven is de differentiaalvergelijking:  ydx - xdy = y2 (x + 1)dx
       
  a. Voor welke a en b is   y =  1/(ax + b)  een oplossing?  
     

a = 1/2, b = 1

  b. Toon aan dat de grafiek van   y = -x/(x + 1)  een isokline is van deze vergelijking.
       
  c. Leg duidelijk uit waarom de variabelen x en y niet te scheiden zijn.
       
  We kiezen een nieuwe variabele door te substitueren:  y = x/u, dan geldt:   dy = 1/u • dx - x/u² du
       
  d. Leg duidelijk uit waarom dat zo is.  
       
  e. Geef met behulp van deze substitutie een algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.
       
9. Gegeven is de differentiaalvergelijking:  xdy - 2dy = ydx,
De oplossingskromme die door  (3,3)  is de kromme   y = (1/2ln(x - 2) ±√3)2  
       
  a. Toon dat aan.  
       
  Huh?  Door die ±√3 staan daar twee krommen, die elkaar snijden in (3, 3).  
We weten al dat twee oplossingskrommen elkaar alleen kunnen snijden in een singulier punt.
       
  b. Laat zien dat  (3, 3) géén singulier punt van deze differentiaalvergelijking is.
       
  c. Hoe kan het dat we tóch twee oplossingen vinden?  Wat is hier aan de hand?
       
 
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)