Schaalverdelingen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Met schaalverdelingen wordt er een boel gerommeld....

Voor een deel komt dat omdat mensen zich vergissen omdat ze niet zoveel verstand van wiskunde hebben.....

Maar voor een ander deel komt dat ook omdat mensen juist wl verstand van wiskunde hebben en dat verstand misbruiken om andere mensen te misleiden!

Kortom: Zorg dat je verstand van wiskunde krijgt en andere mensen kunnen jou niet misleiden (of jij juist anderen wl...)
       

Het misbruik van schaalverdelingen komen we elke dag tegen!

Elke dag?
Ja, elke dag!!!

Tenminste als je de krant leest......
Daar staan op de financile pagina's altijd mooie grafiekjes om aan te geven hoe het met de beursindexcijfers gegaan is.

Wacht maar even, dan loop ik naar beneden om de krant te halen......
 

Zo daar ben ik alweer.  Even kijken... Ja hiernaast  bijvoorbeeld. Het grafiekje hiernaast uit de Volkskrant geeft het verloop van de AEX-index weer.
Het lijkt op het eerste gezicht dit jaar stormachtig te verlopen met de AEX. Toppen en dalen wisselen elkaar af.

Totdat je je realiseert dat de schaalverdeling op de verticale as niet bij nul begint (de zaagtand die er dan hoort te staan is voor het gemak maar weggelaten).
Ja hoor! Zo kan ik ook nieuws uit het niets fabriceren. In maart heeft vast in de krant een verontrustend artikel over de sterke daling van de beursindex gestaan, natuurlijk direct verbonden met een verontrustend verhaal over de economie in het algemeen.

       
Maar als je de schaalverdeling wl correct weergeeft dan krijg je iets als hiernaast.

Nogal een verschil!

Van de woeste schuimkoppen van de index is nog slechts een "rustig kabbelend beekje overgebleven!
Die spectaculaire daling in maart met dat verontrustende artikel, daar blijft zo eigenlijk niets meer van over.

Maar ja, dan heb je als krant geen nieuws te melden.......

       
Twee schaalverdelingen tegelijk.

Het kan ook zijn dat je twee dingen met elkaar wilt vergelijken die nogal in grootte verschillen, bijvoorbeeld om te ontdekken of er een verband is tussen wanneer de ene stijgt en wanneer de andere stijgt. In zo'n geval gebruikt men vaak twee y-assen; eentje aan de linkerkant en eentje aan de rechterkant.

   
Hiernaast zie je het BNP (Bruto Nationaal Product) van de landen Japan en Portugal beiden in miljarden dollars. Omdat dat nogal verschilt is het niet handig om dezelfde schaalverdeling te gebruiken; dan zou je van Portugal helemaal niets zien!!

Daarom is Japan getekend met de linker y-as en Portugal met de rechter y-as. Zo kun je toch de veranderingen vergelijken met elkaar.

Bedenk wel dat dat snijpunt daar helemaal niets voorstelt!

Bedenk ook dat de hellingen niet met elkaar te vergelijken zijn. Die "steile" afname van Portugal tussen 1985 en 1990 is bijvoorbeeld absoluut veel kleiner dan de "lichte" afname van Japan tussen 1995 en 2000.......
Omdat beide verticale assen ook nog scheurlijnen hebben is er zelfs niets over de procentuele toename of afname te zeggen!
       
   

steekproeven

   

oppervlakte, inhoud, lengte

       
1. Hieronder staan twee grafieken over de winst van een bedrijf in 2010 en in 2011.
       
 

       
  In het jaarverslag van 2011 lezen we een optimistisch stukje over de spectaculaire winststijging dit jaar, vergeleken met de lichte afname vorig jaar.
       
  a Welke misleiding is er gebruikt?
       
  b. Hoe heeft men de stijging in 2011 nog eens extra spectaculair willen laten lijken?
       
  c. Was die spectaculaire stijging in 2011 wel genoeg om de lichte daling van 2010 weer goed te maken?
       
2. Hiernaast zie je de binnenlandse verkoop (linkerkant) en de buitenlandse verkoop (rechterkant)  van een bedrijf voor de laatste jaren.

     
  a. Welke misleidende suggestie wekt de figuur en hoe komt dat?
     
  b. Teken de figuur als er maar n schaalverdeling gebruikt wordt.
     
  c. Teken de figuur opnieuw, maar nu met n schaalverdeling in procenten, waarbij de waarde in 2000 gelijk aan 100% gesteld wordt.
     
  d. In welke gevallen kan het gebruik van verschillende verticale assen in n figuur wl nuttig en niet misleidend zijn?
     

bij cht verschillende eenheden

       
3. Een amateur geograaf gaat zich verdiepen in de gemiddelde temperatuur van de aarde.
De geograaf vindt na enig onderzoek de gegevens uit de tabel hiernaast.

Hij maakt met deze gegevens de volgende grafiek
jaar gemiddelde
temperatuur
1860 14,57 C
1900 14,60 C
1950 14,79 C
1980 15,50 C
1990 15,20 C
2000 15,25 C
     
 
       
  Hmm... niet veel te beleven. De geograaf besluit een ander onderwerp te gaan onderzoeken.

Een collega denkt daar echter heel anders over.
Die ziet dat de temperatuur schommelt rond de 15 C en maakt daarom een grafiek met op de y-as de afwijking van de temperatuur ten opzichte van de 15 C
       
  a. Teken die grafiek in het assenstelsel hieronder.  
       
 

       
  Maar het kan nog spectaculairder!
Dat komt omdat de grafiek nog steeds een beetje een rare x-as heeft.....
       
  b. Teken de grafiek nogmaals met dezelfde y-as, maar nu met een "goede" schaalverdeling op de x-as, zoals in het assenstelsel hieronder..
       
 

       
  KIJK!! Nou warmt de aarde de laatste jaren tenminste spectaculair op!!!!
       
4. Een scheikundige voert een experiment uit waarbij zij zout (KCl) toevoegt aan 100 ml water en dan kijkt hoe het volume van de totale oplossing (in ml) afhangt van de hoeveelheid zout (in gram) die zij heeft toegevoegd.

Zij vindt de volgende meetgegevens:
       
 
gram KCl 5,2 12,1 17,5 23,8 29,9 35,0 41,2 47,1 54,8
volume (ml) 102,0 103,5 106,9 109,9 112,0 111,5 111,4 111,5 112,0
       
  Daarvan maakt zij de volgende grafiek, waarin zij laat zien dat het volume licht stijgt als er KCl wordt toegevoegd.
Precies zoals ze al wel had verwacht eigenlijk...
       
 

       
  De scheikundige heeft nu de y-as netjes bij nul laten beginnen, maar dat is hier nou juist NIET zo handig. Het gaat immers alleen maar om de volumetoename, en niet om die 100 ml water die er altijd al was.
       
  a. Maak een grafiek waarbij de y-as loopt van 100 tot 112 en de x-as van 0 tot 60. Maak de assen daarbij nu ongeveer even lang.
       
  b. Leg uit dat je met deze tweede grafiek kunt ontdekken wat "verzadiging" betekent, en met de eerste niet.
       
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2010.

Een bekende denksport is schaken. Een aantal schakers is lid van de KNSB (Koninklijke Nederlandse Schaakbond). Het ledenaantal van de KNSB verschilt van jaar tot jaar. In onderstaande figuur is weergegeven hoe het ledenaantal verliep in de periode 1963 tot en met 2003.

       
 

       
  De grafiek in deze figuur wekt op het eerste gezicht de indruk dat het ledenaantal van de KNSB in de periode 1963-1975 snel is gestegen.
Onderzoek met behulp van de figuur of de gemiddelde toename per jaar van het ledenaantal in de periode 1963-1975 groter of kleiner is dan in de periode 1975-1978. Leg duidelijk uit wat er met deze figuur aan de hand is.
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)