Samengestelde figuren.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Voor sommige lichamen hebben we niet een kant en klare standaardformule (sterker nog: voor de meeste niet).
In zulke gevallen gaan we proberen om toch standaardfiguren in de tekening te herkennen.
Dat kan op drie verschillende manieren:
METHODE 1: In stukken snijden

De figuur hiernaast heeft de vorm van een huis. Alle afmetingen staan erbij. Het huis heeft geen basisvorm. We herkennen in het onderste deel natuurlijk wel een balk, maar dat dak is gewoon "raar".

Maar als we nou die balk er afsnijden....

En daarna van dat rare dak ook bekende stukken proberen af te snijden....

In de linkerfiguur is de onderste balk van het huis afgesneden, en in de rechterfiguur is het "vreemde"dak in drie delen gesneden die we wél kennen. Het zijn een piramide, een prisma en nog een piramide.
Die vier delen zijn apart te berekenen:
•  balk:  6 • 3 • 8 = 144
•  piramide:  1/3 • G • h  =  1/3 • (8 • 2) • 3 = 16
•  prisma:  G • h = (1/2 • 8 • 3) • 2 = 24
•  piramide:   1/3 • G • h  =  1/3 • (8 • 2) • 3 = 16
Samen geeft dat inhoud  144 + 16 + 24 + 16 = 200.
METHODE 2: Inlijsten

Van de vreemde figuur hiernaast liggen  E, F, G en H recht boven de middens van AB, BC, CD en DA. De afstand van EFGH tot het grondvlak is 10.

Het is erg lastig om deze figuur in bekende stukken te snijden. Probeer het maar eens.
Maar het is veel makkelijker om deze figuur in een doos te zetten!

Dat is hiernaast gebeurd.
Onze figuur past in een blauwe doos (een balk) van 8 bij 8 bij 10.
De inhoud van deze doos is dus 8 • 8 • 10 = 640.

Om de inhoud van de balk te vinden moet je van de doos 4 piramides aftrekken (APEH en BEQF en CGFR en DHGS):
lichaam = balk - 4 × piramide

Zo'n piramide heeft inhoud  1/3Gh = 1/3 • (1/2 • 4 • 4) • 10 = 262/3
De 4 piramides samen zijn dan 1062/3 en dat moet van de inhoud van de balk af. 
Dat geeft  640 - 1062/3 = 5331/3.

METHODE 3: Doorsnijdende lichamen
Hieronder links zie je twee prisma's die elkaar doorsnijden. (zulke figuren kom je vaak tegen bij daken van huizen).
We zijn op zoek naar de inhoud van de totale figuur.

In het opengewerkte deel rechts zie je dat het gedeelte dat bij BEIDE prisma's hoort een rode piramide is.
Als je de inhoud van het blauwe prisma en de inhoud van het groene prisma optelt, dan heb je dus de rode piramide dubbel geteld. Daarom geldt:

TOTAAL = GROEN + BLAUW - ROOD
De hoogte van de figuur is de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden 4. Voor de hoogte h geldt:  h2 + 22 = 42
Daaruit volgt h = √12
• blauwe prisma:  G • h = (1/2 • 4 • √12) • 12 = 24√12
• groene prisma:  G • h = (1/2 • 4 • √12)  • 8 = 16√12
•  rode piramide:  1/3 • G • h = 1/3 • (4 • 4) • √12 = 51/3√12
totale inhoud = 24√12 + 16√12 - 51/3√12 = 342/3√12  ≈ 120.
   
  OPGAVEN
1. Bereken de inhoud van de volgende drie figuren in één decimaal nauwkeurig:

     

22,1 en 74,7 en 50,7  

2. Bereken de inhoud van het lichaam hiernaast als alle ribben lengte 4 hebben.
     

851/3√2
3.

Hierboven zie je een foto van de toren van de Walfriduskerk in Bedum, met daarnaast een wiskundig model van het bovenste gedeelte daarvan. Het grondvlak is een vierkant. De grijze delen hebben de vorm van een ruit. De afmetingen zijn in meters.
       
  a.  Bereken de inhoud van dit wiskundige model.  
     

900 m3
  b.  Bereken de gezamenlijke oppervlakte van de vier ruitvormige dakdelen in m2 nauwkeurig.
     

131 m2
4. Bereken de inhoud van het lichaam hiernaast. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek met zijden 4.  De opstaande ribben staan loodrecht op het grondvlak en hebben lengten 6 en 12.

 

417
   
5.

  Hier staat een torenspits uit het kleine Groningse plaatsje Lellens. In de rechterfiguur zie je dat de toren bestaat uit een smalle hoge piramide en een brede lage door elkaar heen. De figuur is symmetrisch.
Stel dat de groene piramide grondvlak 4 × 4 heeft en hoogte 3 en de oranje piramide grondvlak 2 × 2
en hoogte 8.
Bereken in dat geval de inhoud van de torenspits in twee decimalen nauwkeurig.
 

19,95

   
6. Hieronder staan 4 huizen geschetst.
Huis B ontstaat uit A door er een deel af te halen. 
Van huis B kun je C1  maken door er iets af te halen, of C2 door er iets bij te voegen (het driehoekige vlak bovenin staat verticaal). De afmetingen blijven verder gelijk, en alle huizen zijn symmetrisch.
   
 
   
  Bereken de inhoud van deze vier huizen.
 

720 en 688 en 680 en 6985/27
   
7. Hiernaast zie je een prullenbak met rechts daarvan een schets van het vooraanzicht.
De afstand tussen het voorvlak en het achtervlak van de prullenbak is 40 cm.

Bereken de inhoud in liters nauwkeurig.
 

281 liter
   
8.

   
  Hierboven zie je een karretje dat als verrijdbare afvalbak kan dienen. Rechts staat een wiskundig model met de afmetingen in centimeters.
     
  a.  Bereken de inhoud van het wiskundige lichaam rechts.
     
  Conny gaat het karretje gebruiken om verf in te doen.  Dan kan ze niet de hele inhoud gebruiken, omdat de verf dan natuurlijk over de rand zou lopen.
   

39000
  b.   Hoeveel procent van de inhoud kan zij maximaal gebruiken om met verf te vullen?
 

30,8%
   
9. Een dik make-up potlood heeft diameter 2 cm, en ook de lengte van het afgeslepen deel is 2 cm.
De inhoud blijkt gelijk te zijn aan 25 cm3
Bereken de lengte van het totale potlood in mm nauwkeurig

 

93 mm
   
10. Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2000

In de kubus ABCD.EFGH met ribbe 6 cm past een lichaam L met hoekpunten ABCDPQGH
P is het snijpunt van AF en BE, Q is het snijpunt van EG en FH. Zie de figuur links hieronder.
In de figuur rechts is L apart getekend.
   
 

   
  Bereken de inhoud van L
 

153

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)